鄢曉宇, 劉小君, 魏道高, 劉 焜, 王 偉

(合肥工業(yè)大學(xué) 摩擦學(xué)研究所, 安徽 合肥 230009)

隨著汽車設(shè)計(jì)對(duì)制動(dòng)系統(tǒng)工作性能及摩擦力預(yù)測(cè)的要求日益增強(qiáng)[1]，制動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模也成為實(shí)現(xiàn)駕駛穩(wěn)定性的重要一環(huán).學(xué)者指出，在制動(dòng)系統(tǒng)建模中，制動(dòng)片的振動(dòng)形式主要為切向振動(dòng)[2].魏道高等[3]建立了制動(dòng)片切向振動(dòng)模型，發(fā)現(xiàn)制動(dòng)系統(tǒng)在低速的情況下存在混沌和分岔等豐富的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，當(dāng)制動(dòng)片的結(jié)構(gòu)為雙層時(shí)，制動(dòng)片的振動(dòng)形式更加復(fù)雜.近期學(xué)者還發(fā)現(xiàn)，制動(dòng)片的形狀對(duì)制動(dòng)系統(tǒng)的性能也有著重要的影響[4].由這些學(xué)者的研究可以總結(jié)，對(duì)制動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模必須考慮制動(dòng)片、制動(dòng)盤以及摩擦界面的動(dòng)態(tài)變化.

摩擦副中的受限顆粒體主要是指粒徑范圍在1～104 μm之間，和摩擦界面產(chǎn)生接觸的污染顆粒或磨損顆粒[5].和表面織構(gòu)[6]以及安裝誤差[7]這類結(jié)構(gòu)上的因素不同，受限顆粒體對(duì)運(yùn)動(dòng)副的影響具有較強(qiáng)的隨機(jī)性.王超等[8]發(fā)現(xiàn)，摩擦副中的顆粒潤滑劑在長時(shí)間工作后被過度消耗，會(huì)形成局部顆粒潤滑狀態(tài)，此時(shí)顆粒的存在形式主要為受限顆粒體，并且顆粒層的破壞形式豐富多樣.Terrell等[9]建立了顆粒拋光的3D模型，發(fā)現(xiàn)當(dāng)受限顆粒體介入較小的間隙中時(shí)，會(huì)產(chǎn)生較大的接觸應(yīng)力，產(chǎn)生較強(qiáng)的材料去除效果.Kchaou等[10]研究了沙粒環(huán)境下制動(dòng)系統(tǒng)的噪聲特性，發(fā)現(xiàn)在平均顆粒粒徑較小時(shí)，低速容易導(dǎo)致噪聲次數(shù)增加，增大顆粒粒徑會(huì)使聲壓強(qiáng)度減小.Bergman等[11]發(fā)現(xiàn)，即使是極少的顆粒進(jìn)入小間隙也會(huì)導(dǎo)致摩擦力的急劇上升.可見，受限顆粒體不僅會(huì)產(chǎn)生一定的材料去除效果，也會(huì)引發(fā)摩擦界面的非線性振動(dòng)和噪音.

雖然已有許多學(xué)者對(duì)制動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模[12]以及FEM模態(tài)分析[13]，但是考慮受限顆粒體制動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的建模卻較少.這是因?yàn)楹芟揞w粒體的摩擦行為是多體動(dòng)力學(xué)問題，對(duì)所有顆粒進(jìn)行細(xì)致建模將消耗大量算力，且無法很好地應(yīng)用到制動(dòng)機(jī)構(gòu)的控制中.本文中基于制動(dòng)片切向振動(dòng)模型，提出了1個(gè)新的受限顆粒體隨機(jī)摩擦模型，研究了制動(dòng)系統(tǒng)在受限顆粒體影響下的非線性振動(dòng)問題.

1 建模原理

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

制動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模中，制動(dòng)片的振動(dòng)可以簡化為切向振動(dòng)，其原理參見文獻(xiàn)[3].考慮制動(dòng)片的切向振動(dòng)和制動(dòng)盤的扭轉(zhuǎn)，得到動(dòng)力學(xué)方程：

θ和x分別為制動(dòng)盤的扭轉(zhuǎn)角度和制動(dòng)片的切向位移；Jr、cr和Kr分別為制動(dòng)盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，轉(zhuǎn)動(dòng)阻尼以和扭轉(zhuǎn)剛度.mb、cb以及kt分別為制動(dòng)片的質(zhì)量、阻尼以及切向振動(dòng)剛度.T和F為制動(dòng)盤受到的力矩以及制動(dòng)片受到的摩擦力.圖1為彈簧-滑塊-傳送帶形式的制動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，其中轉(zhuǎn)盤受到恒定的驅(qū)動(dòng)速度w.

Fig.1 Spring-block-belt dynamic model of brake system圖1 制動(dòng)系統(tǒng)的彈簧-滑塊-傳送帶動(dòng)力學(xué)模型

1.2 摩擦模型

本文中使用經(jīng)典的stribeck-type模型計(jì)算時(shí)變摩擦力.

其中：vr為制動(dòng)盤和制動(dòng)片的切向速度之差w-x˙，uk和us分別為動(dòng)摩擦系數(shù)和靜摩擦系數(shù)，α和σ為常數(shù).此摩擦模型的優(yōu)點(diǎn)是在速度接近于0時(shí)，摩擦系數(shù)曲線不存在斷點(diǎn)，因此在制動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模中得到了廣泛的應(yīng)用.

1.3 受限顆粒體摩擦模型

本文中提出了1個(gè)隨機(jī)受限顆粒體的人摩擦模型，用以預(yù)測(cè)受限顆粒體高度分布變化引發(fā)的變摩擦系數(shù)效應(yīng).如果將所有顆粒的隨機(jī)行為進(jìn)行單獨(dú)考慮，會(huì)耗費(fèi)大量的算力，為此，將密度為ηa的受限顆粒體分為N份，可以得到N份顆粒的密度矩陣Aη.

ηi均值為摩擦界面中的顆粒密度η除以N，為了簡化計(jì)算，本文中假設(shè)其服從平均分布.可以假設(shè)，每份顆粒的數(shù)量和單個(gè)顆粒的參數(shù)不變，但是由于表面的隨機(jī)性，其在粗糙表面間的高度分布發(fā)生了變化.在H模型中，受限顆粒體的高度分布和微凸體高度分布相同，高度分布范圍為Xmax～Xmin= -σ～σ.假設(shè)第i組顆粒的高度分布服從于分布Ci(0,σi), 且σi的初始值為定值σ.給第i組顆粒所處形貌高度的標(biāo)準(zhǔn)差σi在當(dāng)前時(shí)步施加1個(gè)隨機(jī)產(chǎn)生的形貌波動(dòng)Δσi，Δσi服從于正態(tài)分布N(0,σ*σi)，得到：

其中σ*為顆粒高度分布波動(dòng)系數(shù)，代表了顆粒的高度分布的變化趨勢(shì)的強(qiáng)度.可設(shè)當(dāng)前時(shí)步的顆粒體最大和最小高度矩陣：

可以得到，每份顆粒產(chǎn)生的摩擦力矩陣Fη為

其中，F(xiàn)i可由H模型[14]計(jì)算：

其中Hs1、Hs2、Eas1以及Es1s2分別為上表面硬度、下表面硬度、顆粒和上表面的綜合彈性模量以及上下表面的綜合彈性模量；φa、Xmax和Xmin分別為顆粒高度分布函數(shù)、顆粒最大直徑和最小直徑.he為H模型中定義的特征間距，其計(jì)算流程見文獻(xiàn)[14].可定義函數(shù)：

HP為根據(jù)H模型建立的摩擦力計(jì)算函數(shù)，ηi為每份顆粒的密度，這里PAR為其他顆粒有關(guān)參數(shù)，假設(shè)所有顆粒除了半徑以外其他參數(shù)相等，可以認(rèn)為PAR為定值集.兩表面接觸產(chǎn)生的摩擦力Fsur可以定義為

其中S(ηi,Xmax(i),Xmin(i))為

可以估算，靜摩擦系數(shù)為

圖2為此模型顆粒引發(fā)摩擦系數(shù)波動(dòng)的機(jī)理圖，表1所列為此模型的省缺參數(shù)表.

表1 省缺參數(shù)表Table 1 Default parameters table

2 結(jié)果與討論

2.1 受限顆粒體對(duì)制動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)變信號(hào)的影響

取時(shí)步104以后的信號(hào)進(jìn)行分析，圖3為在不同σ*下(w=1.5)制動(dòng)片切向運(yùn)動(dòng)的相圖(第1列)和頻譜圖(第2列)，以及制動(dòng)片切向振動(dòng)(第3列中黑線)和制動(dòng)盤扭動(dòng)角可能出現(xiàn)的時(shí)變信號(hào).當(dāng)σ*=0時(shí)，模型為不考慮受限顆粒體隨機(jī)行為的準(zhǔn)靜態(tài)顆粒模型，可以發(fā)現(xiàn)此模型下制動(dòng)片的切向運(yùn)動(dòng)及制動(dòng)盤的扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)呈穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)σ*=0.001時(shí)，相圖出現(xiàn)多個(gè)穩(wěn)定軌道，制動(dòng)片振動(dòng)呈擬周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)σ*=0.01時(shí)，由圖3(c)可知，受到受限顆粒體隨機(jī)行為的影響，從時(shí)變信號(hào)可以看出制動(dòng)片呈現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)，且時(shí)變信號(hào)圖3(c3)表明制動(dòng)盤在8×103～1×104時(shí)步范圍內(nèi)呈發(fā)散狀態(tài)；當(dāng)σ*=0.03時(shí)，圖3(d1)中制動(dòng)片做混沌運(yùn)動(dòng)，由制動(dòng)片和制動(dòng)盤的時(shí)變信號(hào)圖3(d3)可知，制動(dòng)盤轉(zhuǎn)動(dòng)先為擬周期運(yùn)動(dòng)最后呈發(fā)散狀態(tài).圖4為σ*=0.03時(shí)，第二組制動(dòng)盤扭轉(zhuǎn)角的時(shí)變信號(hào)圖，從中可以發(fā)現(xiàn)，在同一樣本中，制動(dòng)盤的扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)依次呈發(fā)散、收斂及擬周期波動(dòng)等狀態(tài)，并且此樣本與圖3(d3)中有較大的差異.可見顆粒的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)不僅僅影響了制動(dòng)系統(tǒng)在相同參數(shù)下不同時(shí)間序列的差異，還影響了每組時(shí)間序列中不同部分之間的差異.

Fig.2 Calculation of total friction force and time varying characteristics of particles from group i圖2 第i組顆?？偰Σ亮τ?jì)算及時(shí)變特性

圖5(a～d)分別為和圖3(a～d)對(duì)應(yīng)的摩擦模型參數(shù)us波動(dòng)圖以及顆粒摩擦力和表面摩擦力之比fp/fs的時(shí)變信號(hào)圖.可以發(fā)現(xiàn)，在受限顆粒體高度分布不發(fā)生波動(dòng)的假設(shè)下，摩擦模型參數(shù)us的波動(dòng)為0；當(dāng)σ*=0.001，us和fp/fs會(huì)發(fā)生明顯的波動(dòng)，但是顆粒產(chǎn)生的摩擦力和兩表面產(chǎn)生的摩擦力相對(duì)比較小，fp/fs基本保持在0.1～0.2之間；當(dāng)σ*=0.01時(shí)，從圖5(c)可以發(fā)現(xiàn)，us波動(dòng)較大，fp/fs也顯著增大且增至3以上；當(dāng)σ*=0.03時(shí)，從圖5(d)可以發(fā)現(xiàn)，fp/fs上升到了12，us也上升到0.55左右.可見，微小顆粒高度分布的波動(dòng)可能會(huì)導(dǎo)致摩擦系數(shù)的巨大差異.

2.2 系統(tǒng)分岔特性的研究

取每個(gè)驅(qū)動(dòng)速度下制動(dòng)片切向振動(dòng)速度的極大值作分岔圖，可以直觀地分析制動(dòng)片振動(dòng)周期性隨驅(qū)動(dòng)速度的變化.圖6為在文獻(xiàn)[3]條件下，以w為分岔參數(shù)的制動(dòng)片切向運(yùn)動(dòng)分岔特性圖，可以發(fā)現(xiàn)，圖6(b)中分岔區(qū)的分岔點(diǎn)只對(duì)應(yīng)10個(gè)轉(zhuǎn)速，但是呈現(xiàn)邊界分明的單周期區(qū)、Hopf分岔過渡區(qū)和四周期區(qū)，可以通過研究波動(dòng)系數(shù)對(duì)3個(gè)區(qū)域內(nèi)分叉曲線形態(tài)的影響，來分析受限顆粒體高度分布對(duì)制動(dòng)片振動(dòng)穩(wěn)定性的影響.

圖7為不同顆粒波動(dòng)系數(shù)σ*下以w為分岔參數(shù)的滑塊切向運(yùn)動(dòng)分岔特性圖，與圖6相比可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)顆粒高度分布存在波動(dòng)時(shí)，滑塊切向運(yùn)動(dòng)的分岔特性發(fā)生了明顯的變化.當(dāng)σ*=0.000 5時(shí)，圖7(a)中原本純粹周期運(yùn)動(dòng)的考察區(qū)域出現(xiàn)了明顯的混沌區(qū)域；在圖7(b)和(c)中，此時(shí)分岔曲線仍保持較好的周期性，但是其運(yùn)動(dòng)性質(zhì)為擬周期運(yùn)動(dòng)；圖7(d)中，雖然考察區(qū)域大部分區(qū)域仍為擬周期運(yùn)動(dòng)，但是分岔曲線的結(jié)構(gòu)發(fā)生了明顯的變化，單周期區(qū)域變大，多周期區(qū)域變?yōu)槿芷谶\(yùn)動(dòng)；圖7(e)中雖然最后出現(xiàn)了明顯的多周期運(yùn)動(dòng)，但是卻出現(xiàn)了大面積的混沌區(qū)域.當(dāng)σ*=0.001時(shí)，圖7(f)中的分岔曲線呈現(xiàn)出從單周期過渡到雙周期運(yùn)動(dòng)，再到混沌運(yùn)動(dòng)的形式；圖7(g)和(h)中含有明顯的周期運(yùn)動(dòng)區(qū)間，但是大部分為混沌運(yùn)動(dòng)；當(dāng)σ*=0.003時(shí)，由圖7(i)中已難以觀測(cè)到運(yùn)動(dòng)的周期性.可見受限顆粒體能夠明顯地影響制動(dòng)片振動(dòng)的分岔特性，并且其影響具有隨機(jī)性，相同σ*下制動(dòng)副的切向振動(dòng)會(huì)呈現(xiàn)不同的分岔特性.

Fig.3 Possible forms of vibrations under the influence of random behavior of particles圖3 受顆粒隨機(jī)行為影響可能出現(xiàn)的制動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)形式

Fig.4 Second time varying signal of torsion angle under the condition of σ*=0.03圖4 在σ*=0.03條件下，第二組扭轉(zhuǎn)角的時(shí)變信號(hào)

Fig.5 The time varing signal of us and fp/fs corresponding to Fig.3(a～d)圖5 圖3(a～d)對(duì)應(yīng)us和fp/fs時(shí)變信號(hào)圖

3 結(jié)論

提出受限顆粒體高度分布波動(dòng)系數(shù)，將受限顆粒體的隨機(jī)行為和摩擦力的時(shí)變特性相聯(lián)系，分析不同波動(dòng)系數(shù)下制動(dòng)系統(tǒng)的非線性振動(dòng)特性，為受磨損顆粒或污染顆粒影響的制動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)定性研究提供參考.主要結(jié)論如下：

Fig.6 (a)Bifurcation diagram of the tangential motion of pad using w as bifurcation parameter and (b) Local enlarged graph of the graph in blue rectangluar圖6 (a)以w為分岔參數(shù)的滑塊切向運(yùn)動(dòng)分岔特性圖及(b)藍(lán)色方框內(nèi)局部放大圖

Fig.7 The bifurcation diagram of tangential motion of pad under different σ*圖7 不同σ*下以w為分岔參數(shù)的滑塊切向運(yùn)動(dòng)分岔特性圖

a.受限顆粒體的高度分布波動(dòng)能夠影響制動(dòng)系統(tǒng)的時(shí)變信號(hào)穩(wěn)定性，使得制動(dòng)片的振動(dòng)由周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)閿M周期運(yùn)動(dòng)甚至混沌運(yùn)動(dòng).

b.受限顆粒體高度分布的隨機(jī)波動(dòng)能明顯影響制動(dòng)系統(tǒng)的分岔特性，其影響具有隨機(jī)性，在特定的參數(shù)下使原本的周期運(yùn)動(dòng)區(qū)域變成擬周期甚至混沌區(qū)域.