劉燕 劉鴻英

史寧中教授認(rèn)為“在大多數(shù)情況下，數(shù)學(xué)的結(jié)果是‘看’出來的，而不是‘證’出來的，所謂‘看’是一種直接判斷，這種直接判斷是建立在長(zhǎng)期有效的觀察和思考的基礎(chǔ)之上，”[1]這種“看”和“直接判斷”正是以“建立數(shù)形聯(lián)系、幾何圖形描述問題、幾何直觀理解問題、空間想象認(rèn)識(shí)事物”[2]為基本構(gòu)成的直觀想象素養(yǎng)最為明顯的外顯體現(xiàn).而作為一線教師，在培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)過程中也有疑問：一是如何引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)與形的聯(lián)系，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題從抽象轉(zhuǎn)化為直觀;二是如何依托教學(xué)實(shí)施，幫助學(xué)生從抽象到直觀，進(jìn)而運(yùn)用空間想象認(rèn)識(shí)事物，為了解決上述問題，筆者借助智慧課堂展開了實(shí)踐探索，整體審視新課標(biāo)中直觀想象素養(yǎng)的內(nèi)涵[3]與福州華僑中學(xué)“333”教學(xué)模式[4]的構(gòu)成，不難發(fā)現(xiàn)二者之間存在著顯見的共通之處，基于此，筆者以《圓錐曲線的統(tǒng)一定義》為例，依托智慧課堂，基于直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)，借助“333”教學(xué)模式展開實(shí)踐，教學(xué)流程如圖1所示：

1課前大數(shù)據(jù)分析，確定學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)水平

好的開始是成功的一半，課前環(huán)節(jié)是學(xué)生自學(xué)的重要階段，因此，教師需要高度重視微課和課前測(cè)試環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，而且測(cè)試內(nèi)容還要依據(jù)新課標(biāo)直觀想象核心素養(yǎng)的水平要求，然后再收集學(xué)生的作答情況進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，以確定學(xué)生的直觀想象的素養(yǎng)水平，

例如使用UMU平臺(tái)發(fā)布微課視頻、手閱卡測(cè)試收集學(xué)生對(duì)軌跡法求解方程解題過程中體現(xiàn)的空間想象、直觀想象、數(shù)形結(jié)合的能力水平，從而確定學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)水平，

信息平臺(tái)收集學(xué)生的數(shù)據(jù)，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析為實(shí)施“先學(xué)后教，以學(xué)定教”提供必要的數(shù)據(jù)支持，例如圖2中顯示的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以說明，學(xué)生的測(cè)試合格率為86.11%，以此判斷大部分學(xué)生已經(jīng)掌握了軌跡法求解圓錐曲線的程的方法，學(xué)生基本達(dá)到了水平一“能夠通過圖形直觀認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問題;能夠用圖形描述和表達(dá)熟悉的數(shù)學(xué)問題、啟迪解決這些問題的思路，體會(huì)數(shù)形結(jié)合”[3]的要求，

另外，在觀察學(xué)生解題過程可以看出，大多數(shù)學(xué)生出錯(cuò)的地方在于畫圖與如何用代數(shù)語(yǔ)言描述圖形，將圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，因此，教師應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生逐步學(xué)會(huì)用圖形描述問題，進(jìn)而得出解決問題的思路，在課堂教學(xué)過程中，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解、表達(dá)數(shù)學(xué)結(jié)果并體會(huì)數(shù)學(xué)思想.

2課中教學(xué)內(nèi)容推進(jìn)，提升學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力

2.1創(chuàng)設(shè)問題情境，激活學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的伸展點(diǎn)

課中是教師教學(xué)的主戰(zhàn)場(chǎng)，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)，第一個(gè)問題就是如何建立數(shù)與形的聯(lián)系，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題從抽象向直觀轉(zhuǎn)化，例如在學(xué)習(xí)橢圓、雙曲線、拋物線之后，要讓學(xué)生產(chǎn)生知識(shí)之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生自然而然地在具體的問題情境中提出問題——“這些內(nèi)容有什么共性呢？”為了讓學(xué)生能提出這個(gè)問題就需要教師創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程，本環(huán)節(jié)基于智慧教室，作者運(yùn)用GeoGebra等數(shù)學(xué)軟件加以實(shí)現(xiàn)，即通過GeoGebra設(shè)計(jì)圓錐與截面的截口曲線動(dòng)畫，將圓錐曲線的生成過程制作成動(dòng)畫，這些動(dòng)畫直觀、形象、生動(dòng)，比較容易抓住了學(xué)生的眼球，極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的興趣，從而方便教師引導(dǎo)學(xué)生，進(jìn)行進(jìn)一步的探究和思考，具體操作如下：

問題1通過觀察GeoGebra制作的動(dòng)畫，截面截得圓錐的截口曲線是什么圖形？

答：橢圓、雙曲線、拋物線、圓，如圖3，四種曲線都是平面截圓錐得到的截口曲線.

2.2創(chuàng)設(shè)問題鏈條，促進(jìn)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的生成

從抽象到直觀是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)要突破的第二個(gè)問題，抽象與直觀既是統(tǒng)一的，又是矛盾的，如何通過教學(xué)環(huán)節(jié)使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中多層次遞進(jìn)學(xué)習(xí)，掌握從抽象到直觀，從而讓數(shù)形結(jié)合深入思想，這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和文字語(yǔ)言三者之間的相互轉(zhuǎn)化，幫助學(xué)生從抽象的學(xué)習(xí)內(nèi)容過渡到直觀的知識(shí)，在這個(gè)過程中通過教學(xué)過程的逐步推進(jìn)，幫助學(xué)生形成探究幾何問題的一般路徑.

本節(jié)課例通過“問題2”引導(dǎo)學(xué)生從觀察方程的共同特點(diǎn)得出猜想，借助GeoGebra畫圖，進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C，再通過三個(gè)追問層層遞進(jìn)，從特殊到一般逐漸體現(xiàn)方程與曲線的相互轉(zhuǎn)換，在教師引導(dǎo)下，學(xué)生體驗(yàn)了幾何探究的過程，生成探究幾何問題的一般路徑——方程圖形直觀感知、動(dòng)態(tài)探究得出猜想、求解方程歸納總結(jié)、信息技術(shù)驗(yàn)證結(jié)論，從而培養(yǎng)學(xué)生在探究過程中生成直觀想象素養(yǎng).

問題2滿足以下條件，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程并觀察以下三個(gè)方程的共同點(diǎn).

（1）動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F（1，0）和直線，：x=2的距離之比為√2/2;

（2）距離之比改為1，其余條件不變;

（3）距離之比改為√2，其余條件不變.

追問1：如圖4，輸入方程到GeoGebra軟件，觀察對(duì)應(yīng)圖象，猜想：距離之比為已在哪個(gè)范圍內(nèi)時(shí)，曲線方程分別為橢圓、雙曲線、拋物線？

追問2：如圖5，動(dòng)手操作，拖動(dòng)軟件中M點(diǎn)，改變e的比值，驗(yàn)證你的猜想，

追問3：可否根據(jù)研究結(jié)論，歸納圓錐曲線的統(tǒng)一定義？

2.3借助探究路徑，強(qiáng)化直觀想象素養(yǎng)的應(yīng)用意識(shí)

通過以上探究過程的學(xué)習(xí)，學(xué)生了解了探究幾何問題的一般路徑，接下來就需要學(xué)生通過應(yīng)用這個(gè)路徑，自己來解決數(shù)學(xué)問題，檢驗(yàn)學(xué)生在幾何問題探究過程中的實(shí)際掌握程度，通過學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想自主探究數(shù)學(xué)問題，在解決問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生空間想象意識(shí)的應(yīng)用，在教學(xué)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般的思維過程，通過作圖探索數(shù)形結(jié)合，通過分析得出猜想，當(dāng)然需要注意的是，根據(jù)學(xué)生課前測(cè)試的情況分析，不能運(yùn)用信息技術(shù)直接給出圖象以取代學(xué)生的畫圖分析過程，

本課例通過兩個(gè)練習(xí)題強(qiáng)化直觀想象素養(yǎng)的應(yīng)用，在練習(xí)1的設(shè)計(jì)中，學(xué)生運(yùn)用軟件作圖，并進(jìn)行圖象分析，通過圖象特征觀察得出幾何關(guān)系，從而構(gòu)造方程證明結(jié)論，在練習(xí)2的設(shè)計(jì)中，教師引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般的思考，學(xué)生通過操作軟件，觀察圖形運(yùn)動(dòng)變化中“不變”的性質(zhì)，從而驗(yàn)證結(jié)論，借助GeoGebra軟件學(xué)生可以自主探究數(shù)學(xué)問題，從而強(qiáng)化直觀想象素養(yǎng)的應(yīng)用意識(shí).

練習(xí)1：己知方程（m-1）X2 +（3 - m）y2=（m-1）（3 -m），操作軟件觀察圖形隨著m的取值變化，曲線的形狀有哪些？如圖6，學(xué)生自主操作GeoGebra驗(yàn)證結(jié)論：

練習(xí)2：過拋物線y2= 2px（p>0）的焦點(diǎn)F，作直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑畫圓，借助信息技術(shù)工具，觀察它與拋物線準(zhǔn)線，的關(guān)系，你能得到什么結(jié)論？相應(yīng)于橢圓、雙曲線如何？

追問：如圖7，不妨以特殊的y2= 4x為例，利用GeoGebra畫出圖象，進(jìn)行探究，如圖8.

3課后探究云端補(bǔ)救，提高學(xué)生的抽象思維能力

課后環(huán)節(jié)中，根據(jù)課前收集的數(shù)據(jù)分析與課中的教學(xué)反饋情況，發(fā)現(xiàn)不同學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng)水平有所不同.因此，課后作業(yè)的分層次設(shè)計(jì)成為一種必然，恰好，智慧教室的系統(tǒng)平臺(tái)為課后云端補(bǔ)救提供了技術(shù)支持，學(xué)生根據(jù)自己的需要，選擇是否重新觀看微課，或者進(jìn)行相關(guān)的練習(xí)訓(xùn)練，從而鞏固課堂學(xué)習(xí)的內(nèi)容，特別地，因?yàn)橐粋€(gè)班級(jí)中學(xué)生水平的不同、能力的不同、知識(shí)掌握的不同，決定了教師教學(xué)中，無法更多地將創(chuàng)新的內(nèi)容在課堂上完成，此時(shí)，學(xué)生可以將課中學(xué)習(xí)的探究路徑應(yīng)用在學(xué)生課后自主探究的解題過程中，以達(dá)到新課標(biāo)中直觀想象核心素養(yǎng)的水平三的要求，

當(dāng)然，基于智慧課堂的數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)，還要充分發(fā)揮智慧課堂的優(yōu)勢(shì)，從軟件角度來看，教師可以運(yùn)用GeoGebra軟件，開發(fā)適合課堂教學(xué)的圖形、圖象，既有利于學(xué)生探究意識(shí)的培養(yǎng)，又可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及學(xué)習(xí)積極性，最終達(dá)到提高教與學(xué)的效能的目的;從硬件角度來看，各種移動(dòng)終端的合理使用，有利于及時(shí)搜集學(xué)生的解題情況，根據(jù)進(jìn)行大數(shù)據(jù)分析，實(shí)時(shí)調(diào)整教學(xué)情況并進(jìn)行學(xué)習(xí)效果的評(píng)價(jià)，成為衡量學(xué)生直觀想象素養(yǎng)水平的依據(jù)，基于智慧教室培養(yǎng)學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)策略研究，還有很長(zhǎng)的路要走，例如針對(duì)高中數(shù)學(xué)不同模塊的教學(xué)設(shè)計(jì)更進(jìn)一步的研究，這也是我們一線教師可以努力的方向，

參考文獻(xiàn)

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