徐德同 黃金松

(1.江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究室 210013；2.常州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 213032)

在教學(xué)和研究中我們常提及“數(shù)學(xué)本質(zhì)”，2019年第6期《數(shù)學(xué)通報(bào)》刊登了“數(shù)學(xué)教學(xué)如何突出數(shù)學(xué)本質(zhì)”(下稱(chēng)文1)和“把握本質(zhì) 精心設(shè)計(jì)”(下稱(chēng)文2)兩文，讀后受益匪淺.那么，什么是數(shù)學(xué)本質(zhì)？教學(xué)中如何把握數(shù)學(xué)本質(zhì)？

文1指出：“從哲學(xué)角度看，本質(zhì)是事物存在的根據(jù)，是某類(lèi)事物區(qū)別于其它事物的基本特質(zhì).通過(guò)事物的本質(zhì)可以知道這個(gè)事物在整個(gè)事件中的作用和運(yùn)作規(guī)律.因此，‘?dāng)?shù)學(xué)本質(zhì)’就是指數(shù)學(xué)內(nèi)容本身所固有的根本屬性，是數(shù)學(xué)內(nèi)容區(qū)別于其它學(xué)科內(nèi)容的基本特質(zhì).”文1從哲學(xué)的視角給出了數(shù)學(xué)本質(zhì)的一種解釋?zhuān)瑥姆椒ㄕ?學(xué)科育人)的視角看，數(shù)學(xué)本質(zhì)是蘊(yùn)含在“數(shù)學(xué)知識(shí)形成”和“數(shù)學(xué)問(wèn)題解決”過(guò)程中的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)精神，這種思想是“學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)學(xué)的人應(yīng)當(dāng)具備的基本思維特征”[1]，這種精神是學(xué)科育人過(guò)程中應(yīng)當(dāng)彰顯的數(shù)學(xué)的理性精神.

要很好地把握數(shù)學(xué)的基本思維特征、彰顯數(shù)學(xué)的理性精神，就必須準(zhǔn)確地理解數(shù)學(xué)，教學(xué)中從哪些視角理解數(shù)學(xué)把握本質(zhì)？下面談幾點(diǎn)思考.

1 理解數(shù)學(xué)把握本質(zhì)就是要厘清知識(shí)來(lái)龍去脈

數(shù)學(xué)中的知識(shí)大多有其發(fā)生、發(fā)展和完善的經(jīng)歷，講這些知識(shí)前對(duì)知識(shí)本身要有深刻的理解，厘清知識(shí)的來(lái)龍去脈.對(duì)知識(shí)的理解不透徹，就不能挖掘其背后深邃的數(shù)學(xué)文化，講起課來(lái)必然淡而無(wú)味，只能就事論事，就會(huì)把“光彩照人的數(shù)學(xué)講成X光機(jī)下的骨架”.

一次“對(duì)數(shù)概念和運(yùn)算”課上，教師說(shuō)把以10為底的對(duì)數(shù)稱(chēng)為“常用對(duì)數(shù)”，以e為底的對(duì)數(shù)稱(chēng)為“自然對(duì)數(shù)”.“常用對(duì)數(shù)”學(xué)生都能意會(huì)，而“自然對(duì)數(shù)”則很唐突，有學(xué)生問(wèn)“為什么以e為底的對(duì)數(shù)叫自然對(duì)數(shù)呢？”一下子把老師問(wèn)住了. 其實(shí)，這樣的問(wèn)題對(duì)高中生來(lái)說(shuō)是他們質(zhì)疑精神的自然流淌，即使沒(méi)人提出來(lái)，他們心里也是存疑的.

盡管是高一，和學(xué)生談?wù)剺O限，談一些諸如e的發(fā)現(xiàn)、對(duì)數(shù)的發(fā)明及其重要價(jià)值等史料是很有必要的，知史可究源，究源可明本.高中是培育質(zhì)疑品質(zhì)的關(guān)鍵時(shí)期，圍繞知識(shí)本質(zhì)的討論往往更能吸引學(xué)生自發(fā)地參與研究，《學(xué)記》中說(shuō)的“道而弗牽，強(qiáng)而弗抑，開(kāi)而弗達(dá)”就是這個(gè)道理.

厘清知識(shí)來(lái)龍去脈是理解數(shù)學(xué)把握本質(zhì)的基礎(chǔ)前提.

2 理解數(shù)學(xué)把握本質(zhì)就是要合理揭示學(xué)習(xí)之因

史寧中先生指出：“任何一個(gè)概念、方法的引入必然有它的必要性，硬性規(guī)定對(duì)培養(yǎng)孩子思考能力、核心素養(yǎng)都不利.”簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是要讓學(xué)生明白為什么要學(xué)習(xí)這些知識(shí)，從“為什么學(xué)”中體會(huì)數(shù)學(xué)發(fā)展的軌跡，探索學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)的路徑，感悟數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.

以初中“分式的概念”為例.教材(人教版、蘇科版等)是以幾個(gè)生活中的情境為引子，抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，在此基礎(chǔ)上歸納出分式的概念，這樣的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來(lái)源于生活.但這不是我們學(xué)習(xí)分式最根本的原因，而是一種感性的認(rèn)識(shí)，優(yōu)點(diǎn)是創(chuàng)設(shè)了熟悉的學(xué)習(xí)環(huán)境，不足是學(xué)生不能從因果中體會(huì)知識(shí)的本源，不會(huì)有理性的感悟，沒(méi)有揭示學(xué)習(xí)之本因.教學(xué)中，要讓孩子們明白：“式”是“數(shù)”的一般化，是“數(shù)”的發(fā)展，對(duì)于“數(shù)”我們可以做加減乘除，對(duì)于一般化的“式”理應(yīng)有相同的運(yùn)算.兩個(gè)整式相加、減的運(yùn)算即合并同類(lèi)項(xiàng)，其結(jié)果是整式；兩個(gè)整式相乘的結(jié)果也是整式；那么，兩個(gè)整式相除的結(jié)果是什么呢？找?guī)讉€(gè)整式進(jìn)行嘗試，可以發(fā)現(xiàn)，結(jié)果有些是整式，另一些不是整式，但它們有很多共性，從共性中歸納分式的概念，再通過(guò)生活情境說(shuō)明學(xué)習(xí)分式是有現(xiàn)實(shí)意義的，體現(xiàn)數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系.

數(shù)學(xué)知識(shí)的形成往往是自然的，它的概念、原理、法則都有其內(nèi)在的邏輯必然性.教學(xué)中要通過(guò)這樣的案例，著力培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的意識(shí).章建躍博士指出：“中學(xué)階段要培養(yǎng)孩子們自覺(jué)運(yùn)用‘一般觀(guān)念’進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與探究.”了解數(shù)學(xué)發(fā)展之路并運(yùn)用類(lèi)比的方式學(xué)習(xí)探究是“一般觀(guān)念”的內(nèi)涵之一.

合理揭示學(xué)習(xí)之因是理解數(shù)學(xué)把握本質(zhì)的理性表達(dá).

3 理解數(shù)學(xué)把握本質(zhì)就是要深刻剖析概念內(nèi)涵

筆者參與了蘇科版義務(wù)教育數(shù)學(xué)教科書(shū)的修訂工作，在調(diào)研中，有老師提出了一個(gè)很有意思的問(wèn)題：在講二次函數(shù)的圖象時(shí)，“列表、描點(diǎn)、連線(xiàn)”作圖法由于其局限性——描的點(diǎn)是有限的，只能大致刻畫(huà)函數(shù)圖象的走勢(shì)和方位，連線(xiàn)的過(guò)程中，學(xué)生很難理解什么是“平滑的曲線(xiàn)”？

要理解“平滑的曲線(xiàn)”的內(nèi)涵，先要清楚“平滑”的含義.《辭?！分小捌交钡姆戳x詞是“凸凹”，什么是“凸凹”？函數(shù)y=|x|在原點(diǎn)處的圖象就是“凸凹”的，是不平滑的，局部是尖的.所謂“尖”就是圖象的局部存在線(xiàn)段構(gòu)成的角，如圖(1)所示，這個(gè)角可以是銳角、直角或鈍角.我們考察二次函數(shù)，圖象上有這樣的“尖”嗎？以函數(shù)y=x2為例.作圖時(shí)列出兩點(diǎn)A(1,1)和B(2,4)，通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M不在函數(shù)圖象上，所以點(diǎn)A、B間的二次函數(shù)圖象不是一條線(xiàn)段.一般地，在二次函數(shù)圖象上任意取兩點(diǎn)P、Q，線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)都不在圖象上，所以，二次函數(shù)的圖象上是不存在線(xiàn)段的，也就沒(méi)有“尖”， “平滑的曲線(xiàn)”就是連線(xiàn)的過(guò)程中不能有這樣的“尖”.

圖(1)

課標(biāo)指出，要重視直觀(guān)，處理好直觀(guān)與抽象的關(guān)系.深刻的內(nèi)涵剖析可以把抽象的難點(diǎn)形象化、直觀(guān)化.教學(xué)中，我們甚至可以?huà)伌u引玉：這樣的曲線(xiàn)一般叫“光滑曲線(xiàn)”，若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，其圖象為一條處處有切線(xiàn)的曲線(xiàn)，則為光滑曲線(xiàn).簡(jiǎn)言之，若f′(x)連續(xù)，則曲線(xiàn)光滑，至于何為導(dǎo)數(shù)，愛(ài)之者必習(xí)之.

教科書(shū)往往只給出符號(hào)化、文本化的數(shù)學(xué)概念，教學(xué)的任務(wù)就是深刻剖析概念的內(nèi)涵，把復(fù)雜的、抽象的知識(shí)的文本形態(tài)轉(zhuǎn)化為蘊(yùn)含思想和精神的知識(shí)的教育形態(tài).

深刻剖析概念內(nèi)涵是理解數(shù)學(xué)把握本質(zhì)的必由之路.

4 理解數(shù)學(xué)把握本質(zhì)就是要準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)思想

4.1 理解換元思想

通常我們講的換元是將由一個(gè)或幾個(gè)變量構(gòu)成的數(shù)學(xué)表達(dá)式中的一部分用新的變量表示，以利于問(wèn)題的解決.通過(guò)引進(jìn)新的變量，利用不同的代換技巧，把陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，把未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題.不難看出換元的內(nèi)涵(本質(zhì))是“轉(zhuǎn)化”，換元的外延包括：整體換元(以“元”換“式”)、三角換元(以“式”換“元”)、均值換元等等.換元思想在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，中學(xué)階段用得比較多的是整體換元.

4.2 滲透換元本質(zhì)

求函數(shù)f(x)=4x+4-x-2x+2-x+1的值域時(shí)，學(xué)生產(chǎn)生設(shè)2x=t>0的想法很自然，是換元意識(shí)的體現(xiàn)(從表象看問(wèn)題變簡(jiǎn)單了)，但換元的目的性還不明確，沒(méi)有認(rèn)識(shí)到要轉(zhuǎn)化到已知函數(shù)模型.教學(xué)中我們要培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成聯(lián)想轉(zhuǎn)化的意識(shí)，這種意識(shí)就是“學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)學(xué)的人應(yīng)當(dāng)具備的基本思維特征”的內(nèi)涵之一.那么，如何形成轉(zhuǎn)化能力呢？能力不是一時(shí)一刻形成的，能力的形成應(yīng)當(dāng)落實(shí)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的全部過(guò)程之中. 如果我們?cè)诮虒W(xué)中能從代數(shù)式恒等變形的角度概括提煉類(lèi)似框圖中(1)(2)(3)這樣的問(wèn)題，如果我們課前能在知識(shí)的最近發(fā)展區(qū)設(shè)計(jì)類(lèi)似的思考題組，那么孩子們可能會(huì)擁有更深邃的“數(shù)學(xué)的思維”，會(huì)想得更自然，會(huì)走得更遠(yuǎn).

(1)已知x+y=1,求x2-2x+y2+2xy+2y的值.

……

準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)思想是理解數(shù)學(xué)把握本質(zhì)的重要內(nèi)涵.

5 理解數(shù)學(xué)把握本質(zhì)就是要科學(xué)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)方法

借助電腦(軟件)作圖，其本質(zhì)是用機(jī)器代替人工大量描點(diǎn)的過(guò)程.

至于借助細(xì)線(xiàn)等工具結(jié)合定義法畫(huà)圖(比如畫(huà)“圓”、“橢圓”等)，本質(zhì)上還是“描點(diǎn)法”，只是隱去了坐標(biāo)系和曲線(xiàn)的方程，把滿(mǎn)足定義的點(diǎn)(用符號(hào)語(yǔ)言表示就是滿(mǎn)足方程f(x,y)=0的點(diǎn))描出來(lái)，而且描的點(diǎn)是無(wú)限的、連續(xù)的.

當(dāng)然，實(shí)際畫(huà)圖時(shí)，我們可以發(fā)揮主觀(guān)能動(dòng)性，從代數(shù)的角度先研究方程對(duì)應(yīng)圖象的特征，來(lái)優(yōu)化“描點(diǎn)法”的過(guò)程，以便少走彎路.

科學(xué)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)方法厚實(shí)了理解數(shù)學(xué)把握本質(zhì)的學(xué)科底蘊(yùn).

6 理解數(shù)學(xué)把握本質(zhì)就是要持續(xù)滲透理性精神

從一次問(wèn)卷調(diào)查說(shuō)起.π是數(shù)學(xué)中很重要的一個(gè)數(shù)，在小學(xué)和初一階段，孩子們對(duì)π有怎么樣的認(rèn)識(shí)呢？筆者就此在一所優(yōu)質(zhì)初中做了問(wèn)卷調(diào)查，調(diào)查對(duì)象是七年級(jí)學(xué)生，調(diào)查時(shí)間是小升初后一個(gè)月，調(diào)查問(wèn)題是：π是什么？請(qǐng)寫(xiě)一寫(xiě)你對(duì)它的理解.調(diào)查結(jié)果如下表：

回答摘錄π是一個(gè)字母π是3.14π是圓周率π是無(wú)理數(shù)(包括寫(xiě):3.14…、無(wú)限不循環(huán)的數(shù)、π就像生活,3后面跟著一連串不循環(huán)的數(shù),不經(jīng)歷你永遠(yuǎn)不知道下一刻會(huì)發(fā)生什么等等)π是圓的周長(zhǎng)除以直徑,結(jié)果是一個(gè)無(wú)理數(shù) 約占比2%4%40%50%4%

調(diào)查數(shù)據(jù)表明，了解π是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的比例很高，說(shuō)明學(xué)生的基礎(chǔ)認(rèn)知很扎實(shí)，但僅僅有這樣的認(rèn)識(shí)是不夠的，了解π是一個(gè)無(wú)理數(shù)僅僅是知識(shí)的表象，和孩子們談π時(shí)，讓他們知道π是一個(gè)無(wú)理數(shù)很重要，更為重要的是通過(guò)對(duì)π的學(xué)習(xí)，要能形成一個(gè)圖式：π對(duì)應(yīng)的是圓的周長(zhǎng)與直徑的比值,要讓他們感悟到任何一個(gè)圓的周長(zhǎng)與直徑的比值都是一個(gè)常數(shù).圓有千千萬(wàn)，周長(zhǎng)和半徑也隨之變化，但千變?nèi)f化中卻隱含著不變的規(guī)律.正如張奠宙先生所說(shuō)，世界是變與不變的矛盾統(tǒng)一，數(shù)學(xué)研究變化，卻以找到其中的不變性為歸宿，尋求并欣賞數(shù)學(xué)中無(wú)處不在的不變性質(zhì)，領(lǐng)略不變量和不變性的內(nèi)在魅力，是把握數(shù)學(xué)的鑰匙之一.

克萊因把數(shù)學(xué)看成是“一種精神，一種理性精神.”齊民友先生認(rèn)為數(shù)學(xué)精神集中地體現(xiàn)為“徹底的理性探索精神.”[2]張乃達(dá)先生指出：“理性精神，它表現(xiàn)為一種信念，表現(xiàn)為對(duì)真理的追求.它相信自然是可以被認(rèn)識(shí)的，因此它反對(duì)愚味與迷信，反對(duì)神秘的不可知主義，它認(rèn)為每個(gè)人都有認(rèn)識(shí)世界的天賦，都可以認(rèn)識(shí)世界.” 教學(xué)中，彰顯知識(shí)的育人價(jià)值就是要讓孩子們養(yǎng)成探求自然規(guī)律的意識(shí)和好奇心.

持續(xù)滲透數(shù)學(xué)理性精神是理解數(shù)學(xué)把握本質(zhì)的永恒追求.

理解數(shù)學(xué)路漫漫兮，吾輩將上下而求索！