關(guān)于Milosevic不等式的再研究

李建潮

(浙江省湖州市南潯高級中學(xué) 313009)

1 引言

本文約定：a，b，c，R，r，s分別為△ABC的三邊長，外接圓半徑，內(nèi)切圓半徑，半周長；∑表示循環(huán)求和，∏表示循環(huán)求積.

文[1]介紹了由D.M.Milosevic提出的如下不等式:

在△ABC中，有

(1)

文[2]給出了不等式⑴的如下加強(qiáng)：

在△ABC中，有

(2)

文[3]介紹了不等式(1)的一個(gè)逆向不等式(以下(3)式)及不等式(2)的一個(gè)加強(qiáng)(以下(4)式)：在△ABC中，有

(3)

(4)

本文擬對(1)式(的和式)施行三角形恒等變換并通過Gerrestsen不等式16Rr-5r2≤s2≤4R2+4Rr+3r2(見文[4])有機(jī)應(yīng)用于文[3]三角形恒等式：

(5)

建立起不等式(4)與(3)的加強(qiáng)，即

定理1在△ABC中，有

(6)

(7)

文末，通過類比獲得關(guān)于 Milosevic不等式的和諧正切型恒等式及其不等式.

2 關(guān)于Milosevic不等式的一個(gè)相關(guān)三角形恒等式

研究發(fā)現(xiàn)關(guān)于Milosevic不等式含有以下相關(guān)恒等式.

(8)

證明由正弦定理及三角形恒等式

(8)

將三角形恒等式

與(5)式的變式

(9)

一并代入引理1，則引理1成為：

(10)

3 定理1的證明

應(yīng)用Gerrestsen不等式s2≤4R2+4Rr+3r2,有

(11)

(11)式代入(10)式，立得式(6).

類似地，應(yīng)用Gerrestsen不等式s2≥16Rr-5r2,

有

(12)

(11)式代入(10)式，可得式(7)；

至此，定理1得證.

順便指出，由定理1的證明不難看出，由(11)式與(12)式分別代入(9)式，我們實(shí)質(zhì)上已經(jīng)得到：

(14)

4 關(guān)于Milosevic不等式的正切型恒等式及不等式

通過類比進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，還有與引理1極其相似的一個(gè)正切型恒等式.

引理3在△ABC中，有

(15)

證明類似于引理1證明的處理方法，有

所以

因此，有以下Milosevic不等式的正切型形式：

定理2在△ABC中，有