張文濤 林 健

(廣東深圳中學(xué) 518024)

1 引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》[1]強(qiáng)調(diào)學(xué)生綜合實踐素養(yǎng)能力的培養(yǎng)，并由此推動育人模式的改革.新課標(biāo)把“數(shù)學(xué)建?！绷袨閿?shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，而“數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動”作為高中數(shù)學(xué)課程四大主線之一，被列入必修與選擇性必修課程.數(shù)學(xué)建模具有綜合性強(qiáng)、與其他五大核心素養(yǎng)聯(lián)系緊密的特點，是培養(yǎng)學(xué)生綜合實踐素養(yǎng)的重要內(nèi)容.

數(shù)學(xué)建?；顒邮腔跀?shù)學(xué)思維運用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動，以課題研究的形式開展[1].但在指導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)建?；顒訒r，發(fā)現(xiàn)學(xué)生普遍缺乏數(shù)學(xué)建模活動經(jīng)驗，面對實際問題往往無從下手，獨立開展數(shù)學(xué)建?；顒雍芸赡芫妥兂陕o目的的探索，因此需要教師運用實際案例，設(shè)計邏輯連貫、循序漸進(jìn)的問題串引導(dǎo)學(xué)生有序開展數(shù)學(xué)建?；顒覽2].筆者在2021年廣東省普通高中新課程新教材實施示范區(qū)示范校建設(shè)交流研討活動數(shù)學(xué)學(xué)科課堂教學(xué)展示活動中開設(shè)了“消防車調(diào)配問題”示范課，整個課堂以邏輯連貫、具有思維挑戰(zhàn)性的問題串，引導(dǎo)學(xué)生開展系列化的數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)活動，結(jié)合課例探討數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)環(huán)節(jié)應(yīng)注意的問題.

2 案例呈現(xiàn)

筆者選擇“消防車調(diào)配問題”作為數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)的載體有以下三個原因：(1)《新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》中“案例7-8 反思建議方式產(chǎn)生問題”對學(xué)生的要求：高中學(xué)生除了解基礎(chǔ)圖論的有限知識(邊、道路、交點的度，一筆畫的判定等)外，還可以了解有向圖、最小網(wǎng)絡(luò)等，并思考定點接收問題，比如在什么地方設(shè)報警站？設(shè)取奶站？設(shè)小區(qū)超市等問題；(2)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》中“案例13 分層抽樣”對學(xué)生的要求：理解分層隨機(jī)抽樣的特點，探索快速、有效計算分層抽樣數(shù)據(jù)均值和方差的方法；(3)數(shù)學(xué)建模案例的選擇最好是學(xué)生身邊常見的現(xiàn)象，這樣可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時解決問題所用的數(shù)學(xué)知識和方法大部分學(xué)生不陌生，可以提高學(xué)生的積極性.為了更好地落實課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，培養(yǎng)學(xué)生運用已學(xué)數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，精心編寫了蘊(yùn)含數(shù)學(xué)建模本質(zhì)，反映學(xué)生實際生活和社會發(fā)展的真實數(shù)學(xué)建模案例——消防車調(diào)配問題.

2.1 問題情境

教師講述“哥尼斯堡七橋”故事，重點介紹歐拉建立數(shù)學(xué)模型的過程以及該模型在數(shù)學(xué)史上的重要意義.然后引出問題情境：在我國南方，人們喜歡成村而居，但由于地形與交通等原因，村落分布較零散，因而必須考慮有限資源的優(yōu)化分配.現(xiàn)有6個村落，受限于經(jīng)濟(jì)和人力成本，只有3輛消防車，請問應(yīng)該將消防車停放在哪些村落？

2.2 問題分析與簡化

問題1：歐拉解決“七橋問題”的過程對解決“消防車調(diào)配問題”有什么啟發(fā)？

師生活動

(1)大多數(shù)學(xué)生模仿歐拉抽象“哥尼斯堡七橋”的過程將6個村落簡化為6個點，中間用線連接，如圖1所示：

圖1

(2)教師提醒學(xué)生回想物理中“質(zhì)點”的概念，并思考在什么情況下才能把一個物體看成質(zhì)點.

(3)學(xué)生想到村落本身的大小相對于村落間的距離不可忽略.

設(shè)計意圖：學(xué)生面對現(xiàn)實問題往往束手無策，通過介紹歐拉建立數(shù)學(xué)模型解決七橋問題的過程給予學(xué)生啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生通過類比、模仿到嘗試解決問題.

問題2：你認(rèn)為應(yīng)該按怎樣的指標(biāo)確定消防車的位置？

師生活動

(1)教師引導(dǎo)學(xué)生思考、討論，并挑選學(xué)生分享.

(2)學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗想到“到達(dá)失火現(xiàn)場的時間應(yīng)該盡量短”.

(3)教師總結(jié)：選擇“發(fā)生火災(zāi)后，消防車應(yīng)該在最短時間內(nèi)到達(dá)失火村落”作為最優(yōu)目標(biāo).

設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)建模問題的提出和敘述往往是原始的、粗糙的，指標(biāo)的表達(dá)比較籠統(tǒng)，需要建模者根據(jù)實際情境逐步調(diào)整并確定，這是數(shù)學(xué)建模的一個難點.

問題3：影響消防車位置確定的主要因素有哪些？

師生活動

(1)教師引導(dǎo)學(xué)生思考、討論，并挑選若干名學(xué)生分享.

學(xué)生甲：村落間的道路交通情況.

學(xué)生乙：各村落的人口.

教師追問：為什么需要考慮各村落的人口？

學(xué)生乙：在失火時，人口多的村落應(yīng)該優(yōu)先救援.

同學(xué)還提出其他影響消防車位置確定的因素：村落的氣候、房屋材質(zhì)、到河流的距離等，老師給予鼓勵并與學(xué)生討論達(dá)到共識：建模時因素考慮太多會使問題很復(fù)雜，因此建模時首先考慮主要影響因素，即村落的人口和村落之間的行使時間，當(dāng)這兩個主要影響因素研究清楚時再考慮更多因素.

教師總結(jié)：村落間的道路交通情況決定了兩個村落間的行駛時間；各村落的人口決定了不同村落的關(guān)照程度不同，因為人口多的村落失火概率也會高一些.真實問題非常復(fù)雜，還有很多其他的影響因素，但是我們在研究問題時應(yīng)該重點考慮主要影響因素，舍棄一些次要的影響因素，將問題作適當(dāng)?shù)暮喕?

(2)教師：假設(shè)從一個村落到另一個村落所需的平均時間如表1所示，你有什么新的發(fā)現(xiàn)？

表1 從一個村落到另一個村落所需的平均時間(單位：分鐘)

學(xué)生：兩個村落間的往返時間不相等.

教師追問：為什么兩個村落間的往返時間不相等？

學(xué)生：村落間的往返受到路況等因素的影響，可能導(dǎo)致往返時間不相等.

(3)教師：6個村落的人口分布如表2所示.數(shù)據(jù)非常多，聯(lián)想之前抽象的村落示意圖，怎樣可以更加直觀地呈現(xiàn)這些數(shù)據(jù)？

表2 每個村落的人口

學(xué)生：在之前繪制的村落示意圖中標(biāo)注數(shù)據(jù).

(4)教師展示標(biāo)注數(shù)據(jù)后的示意圖(如圖2).

圖2

教師：觀察圖中的行駛時間，是否有不合理的地方？

學(xué)生：有些救援時間太長了，失火時會導(dǎo)致人們的生命財產(chǎn)遭受巨大損失.

教師：那到底多長時間算長呢？

學(xué)生眾說紛紜：15分鐘，12分鐘，10分鐘等等.

教師：數(shù)學(xué)建模一定要符合實際，這不能靠我們主觀臆想.2017年公安部主編的《城市消防站建設(shè)標(biāo)準(zhǔn)》第十三條中提到，消防站布局一般應(yīng)以接到出動指令后5分鐘內(nèi)消防隊可以到達(dá)轄區(qū)邊緣為原則確定，一般大城市都達(dá)到了這個標(biāo)準(zhǔn)，但是在農(nóng)村，受限于距離和路況，這個時間會稍長一些.我們在這里確定8分鐘為時間上限，據(jù)此可以刪除上圖中時間超過8分鐘的有向線段得到以下簡化的圖3.

圖3

設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)建模問題的條件往往不清晰，需要建模者自行分析挖掘.影響確定消防車位置的因素很多，首先應(yīng)找出主要因素，忽略次要因素，再根據(jù)主要因素明確需要收集的數(shù)據(jù).數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)方式除了表格外還可以用圖形，最后根據(jù)國家消防要求(公安部主編的《城市消防站建設(shè)標(biāo)準(zhǔn)》)，提出消防車接警后8分鐘到達(dá)受災(zāi)地點的時間上限.

2.3 模型建立與求解

問題4：你認(rèn)為有哪些停放方案可以實現(xiàn)8分鐘全覆蓋六個村落？

師生活動

學(xué)生通過分析，可以在20種方案中找到11種8分鐘內(nèi)全覆蓋的停放方案，如表3.

表3 符合標(biāo)準(zhǔn)的方案

方案消防車停放村落8A、D、E√9A、D、F√10A、E、F√11B、C、D√12B、C、E√13B、C、F14B、D、E√

方案消防車停放村落15B、D、F√16B、E、F√17C、D、E18C、D、F19C、E、F20D、E、F

設(shè)計意圖：根據(jù)模型分析和簡化的結(jié)果，找出所有可能的停放方案.

問題5：你會如何確定消防車分配的最優(yōu)方案？

師生活動

(1)教師：以方案3和方案5為例，你會選擇哪個方案作為消防車分配方案？

(2)學(xué)生分組討論，教師觀察各組，適時提示學(xué)生選取一個合適的評價指標(biāo)量化最優(yōu)目標(biāo).

表4 各種方案下的平均救援時間

方案消防車停放村落平均時間11B、C、D3.0412B、C、E3.1314B、D、E2.8715B、D、F3.0416B、E、D3.26

(5)學(xué)生：方案3的平均救援時間最短，所以選擇將3輛消防車停放在A、B、E村落.

設(shè)計意圖：確定評價目標(biāo)，實現(xiàn)從定性到定量的跨越，這也是本節(jié)課的難點.直接給出問題5很容易讓學(xué)生找不到方向，所以增加設(shè)問，以比較具體的兩個方案為鋪墊，降低難度，避免思維跨度過大.課堂上要留足學(xué)生討論交流的時間，鼓勵學(xué)生發(fā)表各自觀點，在學(xué)生回答基礎(chǔ)上互動追問，不斷啟發(fā)學(xué)生的思維.

2.4 模型分析與檢驗

問題6：從實際應(yīng)用的角度考慮，你認(rèn)為方案3存在什么問題？

師生活動

(1)學(xué)生發(fā)現(xiàn)方案3中E村落的消防車需要覆蓋D、E、F三個村落共1100人，如果其中2個村落同時失火將無法兼顧，損失更加慘重.

(2)教師總結(jié)：如果考慮更多因素，模型還可以進(jìn)一步優(yōu)化；數(shù)學(xué)建模的結(jié)果還需進(jìn)行檢驗.

設(shè)計意圖：完整的數(shù)學(xué)建模并不是得出結(jié)論就完成了，還應(yīng)該包括模型分析和檢驗，在這一過程中培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神.

2.5 模型應(yīng)用

問題7：你認(rèn)為解決“消防車調(diào)配問題”的數(shù)學(xué)模型可以應(yīng)用到哪些場景？

師生活動

(1)教師：數(shù)學(xué)建模結(jié)果經(jīng)過檢驗后就可以進(jìn)行實際應(yīng)用，而且同一個模型還可能應(yīng)用到不同場景，比如我們今天建立的模型還可能應(yīng)用到哪些場景？

(2)學(xué)生提出以下場景：學(xué)校選址、救護(hù)車調(diào)配、110警務(wù)室選址、地鐵站選址，以及新課標(biāo)解讀中小區(qū)報警站、取奶站、小區(qū)超市等選址問題.

設(shè)計意圖：通過聯(lián)想其他應(yīng)用場景加深對本模型的理解，通過舉一反三進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

2.6 課堂總結(jié)

問題8：通過數(shù)學(xué)建模解決“消防車調(diào)配問題”，你對數(shù)學(xué)建模有怎樣的認(rèn)識？

師生活動

(1)圍繞以下兩個問題，教師請若干名學(xué)生談?wù)剬?shù)學(xué)建模的認(rèn)識.

①什么是數(shù)學(xué)建模？

②數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用題有什么區(qū)別？

(2)教師總結(jié)：數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題.

數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用題的區(qū)別主要體現(xiàn)在以下四個方面：

①問題呈現(xiàn)的方式不同：數(shù)學(xué)建模問題更貼近現(xiàn)實，提出和敘述往往是原始、粗糙、不規(guī)范的，其目標(biāo)的表達(dá)比較籠統(tǒng)；而應(yīng)用題敘述嚴(yán)謹(jǐn)，目標(biāo)明確；

②已知條件的清晰度不同：數(shù)學(xué)建模往往面對的是沒有特定已知條件的問題背景，需要建模者根據(jù)情況自己分析問題并提出假設(shè)，并對問題進(jìn)行簡化；而數(shù)學(xué)應(yīng)用題已知條件是明確的，不需要提出假設(shè)和簡化；

③結(jié)果評判方式不同：數(shù)學(xué)建模沒有標(biāo)準(zhǔn)方法和標(biāo)準(zhǔn)答案，不同人可能建立不同的數(shù)學(xué)模型，合理的方法和結(jié)論就是好的模型；而數(shù)學(xué)應(yīng)用題有一致的正確方法，有唯一正確的答案；

④問題解決的復(fù)雜性和綜合性不同：數(shù)學(xué)建模面對的是龐大復(fù)雜的實際問題，對建模者綜合能力要求更高、更全面.

設(shè)計意圖：幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識什么是數(shù)學(xué)建模，明確通過數(shù)學(xué)建模解決實際問題和解應(yīng)用題的區(qū)別，理解數(shù)學(xué)建模的過程與步驟.

2.7 課后作業(yè)

(1)完成本課題的研究報告，增加更多影響因素，進(jìn)一步優(yōu)化模型；

(2)拓展研究：如果現(xiàn)在只有2輛消防車可以調(diào)度(有1輛要做緊急狀況下使用)，應(yīng)該把2輛消防車停放在哪兩個村落？

3 小結(jié)

課程標(biāo)準(zhǔn)指出，數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動是綜合提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的載體.教師應(yīng)整體設(shè)計、分步實施數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動，引導(dǎo)學(xué)生從類比、模仿到自主創(chuàng)新、從局部實施到整體構(gòu)想.我們認(rèn)為，“從類比、模仿到自主創(chuàng)新、從局部實施到整體構(gòu)想”的實施路徑是非常穩(wěn)妥的.筆者設(shè)計的這個案例，與課程標(biāo)準(zhǔn)的這個要求相吻合.在學(xué)生還沒有太多的數(shù)學(xué)建?；顒咏?jīng)驗的時候，我們設(shè)計了由8個具有內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)的問題串，使數(shù)學(xué)建模的要素與環(huán)節(jié)自然地體現(xiàn)在建立數(shù)學(xué)模型解決問題的過程中.經(jīng)過幾輪的實踐檢驗，取得了比較理想的效果.

在設(shè)計問題串時我們主要關(guān)注了以下幾個問題：首先，注重以數(shù)學(xué)建?；顒拥谋举|(zhì)特征為線索，先明確數(shù)學(xué)建模的目標(biāo)，再考慮影響因素，為收集數(shù)據(jù)、建立模型奠定基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生按照數(shù)學(xué)建模的一般過程開展數(shù)學(xué)建?；顒?；第二，由于通過數(shù)學(xué)建模解決問題的條件、模型與結(jié)論均開放，所以沒有標(biāo)準(zhǔn)答案，因此設(shè)計問題串時充分考慮了學(xué)生的生活經(jīng)驗、認(rèn)知水平和數(shù)學(xué)能力等因素，給學(xué)生自主思考留足空間，以利于學(xué)生自主探究、充分討論與交流，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維；第三，特別重視引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“問題情境—問題分析與簡化—建立模型—求解模型—模型分析與檢驗—模型應(yīng)用” 的完整過程，為學(xué)生理解數(shù)學(xué)建模，積累數(shù)學(xué)建?；顒咏?jīng)驗，形成數(shù)學(xué)建模的“一般套路”，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)打下堅實基礎(chǔ).