李國麗， 孫濤， 周睿,3， 王群京， 李文爽

(1.安徽大學(xué) 電氣工程與自動化學(xué)院，安徽 合肥 230601；2.安徽大學(xué) 高節(jié)能電機(jī)及控制技術(shù)國家地方聯(lián)合實(shí)驗室，安徽 合肥 230601；3.安徽大學(xué) 工業(yè)節(jié)電與用電安全安徽省重點(diǎn)實(shí)驗室，安徽 合肥 230601；4.安徽大學(xué) 工業(yè)節(jié)電與電能質(zhì)量控制安徽省級協(xié)同創(chuàng)新中心，安徽 合肥 230601)

0 引 言

隨著工業(yè)自動化的不斷發(fā)展，多自由度球形電機(jī)以其體積小、運(yùn)動方式靈活、動態(tài)響應(yīng)速度快的優(yōu)點(diǎn)引起了廣大學(xué)者的關(guān)注和研究，在機(jī)器人關(guān)節(jié)、電動陀螺、全景攝像云臺等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景[1-3]。永磁球形電機(jī)在能量密度、運(yùn)行效率和可控性上具有極大優(yōu)勢，是球形電機(jī)研究的重要方向[4]。球形電機(jī)的磁場在三維空間分布和運(yùn)動，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)矩計算比傳統(tǒng)單自由度電機(jī)復(fù)雜得多，給電機(jī)設(shè)計階段的結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化帶來困難。

ROSSINI L等利用球諧函數(shù)解析模型分析了幾種不同結(jié)構(gòu)參數(shù)對電機(jī)徑向磁密的影響，在一組規(guī)范的要求下進(jìn)行參數(shù)組合尋優(yōu)[5]。HE J等以定子線圈內(nèi)外徑差、線圈高度和圓柱形永磁體的半徑、厚度為自變量，應(yīng)用田口法仿真了不同變量水平下的磁密和轉(zhuǎn)矩，結(jié)合響應(yīng)面模型獲得了電機(jī)的最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)組合[6]。常規(guī)的優(yōu)化設(shè)計方法先分別分析單個參數(shù)對電機(jī)性能的影響，然后再主觀選取一個結(jié)構(gòu)參數(shù)組合，這種方法得到的優(yōu)化結(jié)果能滿足預(yù)定需求，但并非電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化的全局最優(yōu)解，而且忽略了不同參數(shù)之間制約和聯(lián)系。為了實(shí)現(xiàn)永磁球形電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)的全局精確優(yōu)化，引入智能算法是必要的。JIE Z等用有限元軟件模擬的樣本點(diǎn)導(dǎo)出了球形電機(jī)轉(zhuǎn)矩的支持向量機(jī)模型，然后用遺傳算法對結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，提升了轉(zhuǎn)矩密度[7]，不足的是仿真樣本點(diǎn)擬合模型的精確度欠優(yōu)。信建國等利用解析模型對氣隙磁場的基波幅值和波形畸變率進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化，并比較了不同磁化方向的區(qū)別[8]。YAN L等提出了安培轉(zhuǎn)矩和齒槽轉(zhuǎn)矩的混合建模方法，以與期望的最小誤差平均值為目標(biāo)進(jìn)行了粒子群參數(shù)優(yōu)化[9]。

目前球形電機(jī)轉(zhuǎn)矩優(yōu)化的目標(biāo)多在單個運(yùn)動維度上選取，本文旨在電機(jī)自旋和俯仰兩個運(yùn)動維度上做優(yōu)化工作，表征球形電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩的整體情況。以一種等效面電流磁密和洛倫茲力轉(zhuǎn)矩的解析模型為基礎(chǔ),改變永磁球形電機(jī)的轉(zhuǎn)子磁極大小，對自旋轉(zhuǎn)矩幅值和俯仰轉(zhuǎn)矩幅值進(jìn)行多目標(biāo)粒子群優(yōu)化(multi-objective particle swarm optimization, MOPSO)，并對算法進(jìn)行改進(jìn)，從前沿面的收斂性和分布性上分析了改進(jìn)MOPSO的提升性能。最后，從優(yōu)化的前沿面上均勻選取部分點(diǎn)，分析轉(zhuǎn)矩分布情況并從中選出電機(jī)優(yōu)化的最終解。

1 永磁球形電機(jī)及其轉(zhuǎn)矩模型

1.1 電機(jī)原型

研究的電機(jī)原型如圖1所示。轉(zhuǎn)子球半徑65 mm，永磁磁極為16個邊長為17 mm的正方體，標(biāo)準(zhǔn)的八極Halbach[10]陣列分布在赤道線上。定子殼內(nèi)徑66.5 mm。電機(jī)可任意自旋，最大俯仰角為±30°。24個鋁芯線圈沿赤道線和南緯30°線均勻分布，線圈內(nèi)徑5 mm，外徑15 mm，高13.5 mm，匝數(shù)500。

圖1 電機(jī)原型

1.2 轉(zhuǎn)矩模型

根據(jù)安培分子環(huán)流假說，均勻磁化的永磁體內(nèi)部分子作用相互抵消，從外部來看，僅與磁化方向平行的側(cè)表面上的束縛電流產(chǎn)生磁場[11]。

矩形永磁體磁密計算示意圖如圖2所示。三維正交坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于永磁體的中心，永磁體的長、寬、高分別為Lx、Ly、Lz，沿Z軸正方向充磁。永磁體可等效為平行于Z軸的4個側(cè)面上的表面束縛電流，對外界產(chǎn)生磁場，電流的方向符合右手定則。在高度為h處，取一塊厚度為dh且與磁化方向垂直的薄片，定義其四邊首位相接的電流段I1、I2、I3、I4，在I1段取一微元I1dl[12]。取永磁體外一點(diǎn)P(x,y,z)，作P點(diǎn)到I1線段的垂線D，垂足為U。電流微元至P點(diǎn)的連線與I1方向的夾角為α。假設(shè)電流微元I1dl至P點(diǎn)的矢量為r，由畢奧-薩伐爾定律[13]得

圖2 矩形永磁體磁密計算示意圖

(1)

由電流段I1起點(diǎn)至終點(diǎn)，α由α1增到α2，可得電流段I1在P點(diǎn)的磁密BI1。作經(jīng)過垂足U的Z軸平行線，由U指向P的垂線D與Z軸正方向夾角為β。對dh在整個面上積分，得β≥0時，整個右側(cè)面在P點(diǎn)的磁密[12,14]為：

(2)

同理，可以求出其他3個側(cè)面上的束縛電流在P點(diǎn)的磁密。原型電機(jī)轉(zhuǎn)子磁極為永磁材料，定子線圈采用無鐵心設(shè)計，可認(rèn)為整個電機(jī)分析區(qū)域是線性磁路。結(jié)合疊加定理就可以求出整個矩形永磁體在三維空間中點(diǎn)P的磁密分量。依據(jù)空間中P點(diǎn)在電機(jī)轉(zhuǎn)子各永磁體的相對位置，可以分別求出在各永磁體局部坐標(biāo)系下的P點(diǎn)磁密。經(jīng)過平移和旋轉(zhuǎn)操作，即可疊加得到轉(zhuǎn)子全局坐標(biāo)系下空間P(xr,yr,zr)點(diǎn)的磁密Bxr、Byr、Bzr[14]。

根據(jù)作用力與反作用力的原理，想要求解轉(zhuǎn)子在通電線圈作用下的轉(zhuǎn)矩，可以反向求解通電線圈在轉(zhuǎn)子磁場中所受的轉(zhuǎn)矩。

依托轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系和定子靜止坐標(biāo)系之間的9個坐標(biāo)軸夾角，可以將轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系下P點(diǎn)的磁密轉(zhuǎn)換為定子坐標(biāo)系下的磁密Bxs、Bys、Bzs[14]。

應(yīng)用三維剖分的方式將定子線圈劃分為大量的小塊，各小塊被看作點(diǎn)分別計算其轉(zhuǎn)矩。根據(jù)洛倫茲力的積分形式可得線圈上各點(diǎn)的洛倫茲力分量，表達(dá)式為：

(3)

計算點(diǎn)處電流向量J分解為：

(4)

式中：lon、lat分別表示計算點(diǎn)所屬線圈在定子坐標(biāo)系下的經(jīng)度和緯度；θ為線圈圓環(huán)截面上計算點(diǎn)的位置角[14]。

綜上所述，電機(jī)原型單個線圈通電情況下的轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)矩在定子坐標(biāo)系下的分量為：

(5)

式中x、y、z為計算點(diǎn)在定子坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值，表征洛倫茲力作用的力臂。多個線圈同時通電工作時，只需分別計算各個線圈的貢獻(xiàn)，然后疊加即可。

1.3 仿真與實(shí)驗驗證

為驗證上節(jié)轉(zhuǎn)矩模型的有效性，對圖1的電機(jī)原型進(jìn)行Ansys建模仿真和實(shí)驗驗證。

設(shè)置2種運(yùn)動軌跡，分別監(jiān)測自旋和俯仰方向的轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)矩分布：1)轉(zhuǎn)子由-45°至45°繞z軸自旋運(yùn)動，期間不存在俯仰和傾斜運(yùn)動；2)轉(zhuǎn)子由-30°至30°繞y軸俯仰運(yùn)動，期間不存在自旋和傾斜運(yùn)動。

圖3為球形電機(jī)實(shí)驗平臺，將本文研究的電機(jī)原型置于測試臺架中，輸出軸與臺架聯(lián)動。測試臺架由1個固定支架和2個旋轉(zhuǎn)支架組合工作，每個旋轉(zhuǎn)方向配備1個位置傳感器和1個靜態(tài)扭矩儀測量轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)矩；電機(jī)驅(qū)動電路由24個STM32芯片控制的DC恒流源電路集成，在上位機(jī)LabVIEW軟件中構(gòu)建通電控制畫面，實(shí)現(xiàn)對球形電機(jī)的靈活控制。為了減小電機(jī)實(shí)驗中摩擦力和測量誤差造成的轉(zhuǎn)矩解析值與實(shí)驗值之間的相對差距，對經(jīng)緯度均為0的線圈給定3 A正向電流。

圖3 電機(jī)實(shí)驗平臺

記錄每個離散點(diǎn)的轉(zhuǎn)矩輸出值，與轉(zhuǎn)矩模型解析值對比如圖4所示。Ansys有限元軟件的轉(zhuǎn)矩仿真值與解析計算值基本一致；實(shí)驗測量值整體偏小，主要由摩擦轉(zhuǎn)矩造成?？梢?，轉(zhuǎn)矩解析模型在保證精確度的情況下，在可塑性、快速性和可靠性上具有極大優(yōu)勢。

圖4 解析、仿真、實(shí)驗值對比

2 改進(jìn)的多目標(biāo)粒子群磁極優(yōu)化

電機(jī)矩形永磁體的尺寸發(fā)生變化時，三維耦合磁場的變化是非常復(fù)雜的，自旋轉(zhuǎn)矩和俯仰轉(zhuǎn)矩經(jīng)常出現(xiàn)相悖的變化趨勢。本文研究的多目標(biāo)優(yōu)化問題是以電機(jī)原型為基礎(chǔ)，轉(zhuǎn)子球半徑保持不變，改變矩形永磁磁極尺寸，在自旋轉(zhuǎn)矩幅值和俯仰轉(zhuǎn)矩幅值這兩個相互沖突的目標(biāo)之間去衡量取舍。將主磁極和過渡磁極的尺寸區(qū)別開來，可以更靈活地在轉(zhuǎn)子球內(nèi)分配位置空間，更恰當(dāng)?shù)匕l(fā)揮過渡磁極的單邊特性。

設(shè)置6個自變量：l1、w1、t1、l2、w2、t2，其中的l、w、t分別對應(yīng)圖2中的Ly、Lx、Lz，下標(biāo)1、2分別代表主磁極和過渡磁極。對位于零經(jīng)、緯度的線圈施加1 A的電流，假設(shè)轉(zhuǎn)子從初始位置反向自旋45°，自旋轉(zhuǎn)矩幅值Tzmax作為電機(jī)自旋方向上的轉(zhuǎn)矩評判指標(biāo)；假設(shè)轉(zhuǎn)子從初始位置反向俯仰30°，俯仰轉(zhuǎn)矩幅值Tymax作為電機(jī)俯仰方向上的轉(zhuǎn)矩評判指標(biāo)。

2.1 永磁體結(jié)構(gòu)參數(shù)約束

轉(zhuǎn)子球半徑固定不變時，球內(nèi)矩形永磁體的大小發(fā)生變化，需對永磁體的結(jié)構(gòu)參數(shù)做出約束。磁極尺寸約束如圖5所示，圖5(a)示意了一對相鄰的主磁極(左)和過渡磁極(右)，與電機(jī)原型對應(yīng)，永磁體的中心都位于XY平面，即球形轉(zhuǎn)子的赤道所在平面。A1、A2分別為主磁極和過度磁極的外表面中心。圖5(b)為圖5(a)的俯視圖，也就是轉(zhuǎn)子球赤道所在的面。其中D1、D2分別為主磁極和過度磁極內(nèi)表面的中心。

圖5 磁極尺寸約束

為了充分發(fā)揮永磁體的作用，永磁體與定子線圈的距離應(yīng)盡可能小。由于永磁體為長方體，磁極上必定存在一個離轉(zhuǎn)子球面最近的點(diǎn)，即圖5(a)中的C1和C2?？紤]加工需求，永磁體與轉(zhuǎn)子球面之間需預(yù)留一定的距離，原電機(jī)理論上為0.863 mm，為了降低加工難度，預(yù)留出1 mm。轉(zhuǎn)子球半徑65 mm,設(shè)計永磁體離轉(zhuǎn)子球面最近距離64 mm，即lOC1=lOC2=64 mm，其中l(wèi)OC1、lOC2分別為線段OC1、OC2的長度，后文中類似表述不再說明。設(shè)置磁極距球心最近距離lOD1、lOD2大于5 mm。

除了各永磁體本身在轉(zhuǎn)子球面和球心之間的約束，還要保證相鄰兩個磁極不會出現(xiàn)重合，規(guī)定相鄰磁極之間最小距離d不能小于1 mm。

如圖5(b),假設(shè)d為過渡磁極的E2到主磁極右側(cè)面垂線的長度，即lOE2cos(22.5°-a2)≥lOD1時，有

d=lOE2sin(22.5°-a2)-0.5l1。

(6)

相反地，如果d為主磁極的E1到過渡磁極側(cè)面垂線的長度，即lOE1cos(22.5°-a1)≥lOD2時，有

d=lOE1sin(22.5°-a1)-0.5l2。

(7)

綜上所述，優(yōu)化問題的自變量參數(shù)約束條件為：

(8)

其中：

考慮加工工藝的要求，自變量的搜索范圍取2～40 mm。

2.2 粒子群算法中的變量約束處理

針對本文的磁極約束優(yōu)化問題，在經(jīng)典粒子群算法[15]中嵌入懲罰函數(shù)[16]：對目標(biāo)函數(shù)和表示約束條件的懲罰函數(shù)賦予權(quán)重，組合出帶參數(shù)的增廣目標(biāo)函數(shù)，把約束問題轉(zhuǎn)化為無約束問題進(jìn)行求解。

構(gòu)造評價函數(shù)為：

(9)

K(x)=θ(q(x))q(x)α。

(10)

由式(8)定義：

q(x)=max{0,5-lOD1,5-lOD2,1-d}。

(11)

(12)

懲罰函數(shù)中系數(shù)θ(q(x))和級數(shù)α分級取值，目的是讓可行域附近的部分不可行解也參與到優(yōu)化進(jìn)程中，保持參與搜索粒子的多樣性，使得粒子更快地接近更優(yōu)位置。在粒子離可行域較遠(yuǎn)時，懲罰系數(shù)和級數(shù)很大，其實(shí)就相當(dāng)于直接剔除不可行解。因研究的電機(jī)轉(zhuǎn)子永磁體為單層分布，俯仰轉(zhuǎn)矩整體上比自旋轉(zhuǎn)矩數(shù)值小，故懲罰因子另賦系數(shù)0.6。

2.3 應(yīng)用網(wǎng)格密度的MOPSO

在粒子群算法的具體搜索過程中，同時計算2個目標(biāo)值，應(yīng)用Pareto理論[17]得到反應(yīng)F1(x)和F2(x)分布情況的前沿面PF。

設(shè)置一個非劣解集A，即搜索過程中的最優(yōu)解集。將A內(nèi)所有粒子在目標(biāo)空間中的分布劃分為N×N個網(wǎng)格，網(wǎng)格數(shù)量N隨非劣解集中解的個數(shù)自適應(yīng)變化，每個網(wǎng)格里包含的粒子個數(shù)表示相應(yīng)粒子的密度，根據(jù)所有網(wǎng)格的密度信息來確定gbestx。

網(wǎng)格及其密度信息的獲取過程如下[18]：

2)計算網(wǎng)格的模：

3)遍歷At集中的粒子，計算其所在網(wǎng)格編號。粒子i的網(wǎng)格編號為

4)計算網(wǎng)格的密度信息。

非劣解集A的更新與粒子群的搜索是同步進(jìn)行的。假設(shè)算法尋找到一個新解x′,如果A中有粒子占優(yōu)x′，則直接返回A；如果x′占優(yōu)A中的某些粒子x1、x2、…、xq，則A=A/{x1,x2,…,xq}∪{x′}；如果x′與A中所有粒子都互不占優(yōu)，則A=A∪{x′}。

為了避免非劣解集A容量過大,給A設(shè)定一個最大容量Mn。若A已達(dá)到最大容量，在密度最大的網(wǎng)格里以輪盤賭的方式隨機(jī)剔除一個解，然后再進(jìn)行更新。

pbestx的確定方法為:假設(shè)算法尋找到一個新解x′，若x′占優(yōu)舊解,則pbestx取x′；若舊解占優(yōu)x′,則pbestx保持舊解不變；若x′與舊解互不占優(yōu)，則隨機(jī)選一個為pbestx。

gbestx的獲取方法為：計算A中粒子的密度信息；在密度最小的網(wǎng)格里隨機(jī)選取一個粒子作為gbestx。

2.4 改進(jìn)的MOPSO

2.4.1 引入擁堵距離

2.3節(jié)的MOPSO算法中應(yīng)用網(wǎng)格密度法解決了算法迭代過程中全局最優(yōu)解gbestx的權(quán)衡選取問題，使粒子朝分布稀疏的區(qū)域附近運(yùn)動。但過程中的前沿依然會出現(xiàn)明顯的空隙，當(dāng)密度最小的網(wǎng)格存在多個時，簡單隨機(jī)選取的方式可能會錯過實(shí)際分布最稀疏的粒子。網(wǎng)格密度示意圖如圖6所示，非劣解集的目標(biāo)空間中包含13個點(diǎn)，各目標(biāo)劃分為5個網(wǎng)格，其中密度為1的網(wǎng)格有C點(diǎn)和極點(diǎn)pA，如果gbestx隨機(jī)選擇到C點(diǎn),將違背粒子群向非劣解集中稀疏區(qū)域搜索的原則。為了加速前沿空隙的消失進(jìn)程，對算法的分布性做如下改進(jìn)：

圖6 網(wǎng)格密度示意圖

假設(shè)F為非劣解集在目標(biāo)空間中的任意一點(diǎn)，其擁堵距離定義為

crowd_F=max(lFL,lFR)。

(13)

式中:L、R分別為與F相鄰的左右兩點(diǎn)；l表示兩點(diǎn)之間的距離。

當(dāng)非劣解集中最小密度網(wǎng)格存在多個或最小密度網(wǎng)格內(nèi)有多個粒子時，計算對應(yīng)粒子的擁堵距離，取擁堵距離最大的粒子為gbestx。如圖6中，crowd_pA>crowd_C，選擇pA的決策向量為gbestx。

2.4.2 引入凸點(diǎn)距離

迭代過程中粒子群朝分布稀疏的區(qū)域運(yùn)動，前沿面在不斷均勻分布的過程中也在逐漸向問題的“真實(shí)”前沿面靠攏。為了加速前沿面的收斂進(jìn)程，引入凸點(diǎn)距離概念。

凸點(diǎn)距離示意圖如圖7所示，迭代過程中非劣解集在目標(biāo)空間中有2個極值點(diǎn)FL和FR，F(xiàn)k為前沿面上最凸的點(diǎn)，即離直線FLFR距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)，定義該最遠(yuǎn)距離為凸點(diǎn)距離lFH。粒子群迭代時監(jiān)測目標(biāo)空間中的lFH，若其持續(xù)20代保持不變，則隔代選用Fk的決策向量作gbestx(忽略隨著直線FLFR和Fk同時變化導(dǎo)致lFH不變的小概率情況)。

圖7 凸點(diǎn)距離示意圖

算法改進(jìn)后，迭代過程中g(shù)bestx的選取策略如圖8所示，能使前沿面更快地向“真實(shí)”前沿面靠攏，降低出現(xiàn)較大空隙的概率，得到分布更均勻的前沿。

圖8 gbestx的選取策略

3 優(yōu)化結(jié)果與分析

將MOPSO嵌入到轉(zhuǎn)矩模型的計算程序中，搜索F1(x)和F2(x)的前沿面及對應(yīng)永磁體尺寸。種群數(shù)量M取50，c1、c2取1.5，進(jìn)化代數(shù)t設(shè)為1 000，慣性權(quán)重w=0.9-0.5/1 000t隨進(jìn)化過程逐漸減小；非劣解集的最大容量M取30，目標(biāo)空間中網(wǎng)格個數(shù)N=Ceiling(NA/3)自適應(yīng)變化，其中NA為非劣解集的粒子個數(shù)，Ceiling()為向上取整函數(shù)。

圖9為算法改進(jìn)前后得到的Pareto非劣解集前沿。可以看出，改進(jìn)的算法優(yōu)化結(jié)果比原算法前沿分布得更均勻，且收斂效果略優(yōu)。本文研究問題的真實(shí)Pareto前沿面無法獲取，然而算法改進(jìn)前后找到的2個目標(biāo)極值點(diǎn)相同，故以兩目標(biāo)極值點(diǎn)所在直線0.755x+y-196.751=0為基準(zhǔn)，結(jié)合點(diǎn)到平面距離公式，定義迭代過程中的收斂性評判指標(biāo)lk為：

圖9 算法改進(jìn)前后優(yōu)化的前沿面

lk=max{f(x1,y1),f(x2,y2),…,f(xNA,yNA)};

(14)

f(x,y)=(0.755x+y-196.751)/1.570。

(15)

式中：NA為非劣解集的粒子數(shù)；x和y指目標(biāo)空間中非劣解的坐標(biāo)。

lk越大，代表前沿面的收斂效果越好。計算每一代的lk如圖10所示，可見引入的凸點(diǎn)距離刺激在迭代過程中起了明顯作用。與原算法相比，迭代搜索過程中l(wèi)k沒有長時間停滯，收斂速度得到提升。具體參數(shù)如表1所示，其中擁堵距離選取最大的3個。

圖10 算法改進(jìn)前后收斂性對比

表1 算法改進(jìn)前后性能對比

為了分析前沿面上不同尺寸永磁體的轉(zhuǎn)矩性能，從改進(jìn)后的算法優(yōu)化結(jié)果上均勻選取5個點(diǎn)如圖9，轉(zhuǎn)矩分析如表2所示。永磁體尺寸由P1至P5順序變化時，自旋轉(zhuǎn)矩最大值增大，俯仰轉(zhuǎn)矩最大值和平均值減小，自旋轉(zhuǎn)矩平均值則出現(xiàn)了先增大后減小的變化。再結(jié)合數(shù)據(jù)變化差值，選取P2點(diǎn)作為電機(jī)永磁體尺寸優(yōu)化的最優(yōu)解，其尺寸參數(shù)如表3所示，示意圖如圖11所示。

表2 轉(zhuǎn)矩性能對比

表3 優(yōu)化后的磁極尺寸

圖11 優(yōu)化后的電機(jī)磁極示意圖

針對優(yōu)化后的電機(jī)，給位于零經(jīng)度的線圈施加1 A的電流，假設(shè)轉(zhuǎn)子分別做如下運(yùn)動：由-45°至45°繞z軸自旋運(yùn)動，期間章動角和進(jìn)動角保持為0；由-30°至30°繞y軸俯仰運(yùn)動，期間自旋角和章動角保持為0。運(yùn)動過程中的轉(zhuǎn)矩解析計算值及Ansys仿真值如圖12所示。優(yōu)化后的自旋轉(zhuǎn)矩幅值、平均值和俯仰轉(zhuǎn)矩幅值、平均值分別提升了40.8%、31.9%、12.0%、26.8%。

圖12 優(yōu)化后電機(jī)的轉(zhuǎn)矩分布及對比

4 結(jié) 論

為了優(yōu)化永磁球形電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩整體性能，本文針對一種八極Halbach磁極陣列電機(jī)原型推導(dǎo)出應(yīng)用洛倫茲力法的轉(zhuǎn)矩解析模型，并進(jìn)行了有限元仿真和實(shí)驗對比驗證。分析了磁極之間的約束關(guān)系，轉(zhuǎn)子球尺寸不變，改變主磁極和過渡磁極的長、寬、高，以自旋轉(zhuǎn)矩幅值和俯仰轉(zhuǎn)矩幅值為目標(biāo)進(jìn)行了MOPSO優(yōu)化。優(yōu)化后的電機(jī)轉(zhuǎn)矩性能較電機(jī)原型大幅提升，自旋幅值、平均值和俯仰轉(zhuǎn)矩幅值、平均值分別提升了40.8%、31.9%、12.0%、26.8%。

在MOPSO的實(shí)現(xiàn)過程中，對Pareto前沿面上全局最優(yōu)解的選取策略進(jìn)行了兩點(diǎn)改進(jìn)，引入的凸點(diǎn)距離刺激能加速前沿面收斂，引入擁堵距離的補(bǔ)充尋優(yōu)使得算法獲得分布更加均勻的前沿。