基于經(jīng)管類專業(yè)的極限概念教學(xué)設(shè)計

郭元春 陳思源 冀永強(qiáng)

摘 要：極限是微積分學(xué)的核心概念，是研究經(jīng)濟(jì)管理問題的有力工具。本文結(jié)合工程實際，深入挖掘極限理論蘊含著的思政元素，從概念的引入、性質(zhì)的理解以及一些重要結(jié)論等方面進(jìn)行了分析和探討。通過這些教學(xué)設(shè)計，既能幫助學(xué)生理解抽象的概念和性質(zhì)，又能培養(yǎng)學(xué)生堅持真理、實事求是的科學(xué)態(tài)度。

關(guān)鍵詞：極限;經(jīng)管類;無窮小;無窮大;Koch曲線

中圖分類號：G4???? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A????? doi：10.19311/j.cnki.16723198.2022.17.096

0 引言

2016年12月，習(xí)近平總書記在全國高校思想政治工作會議上指出，要堅持把立德樹人作為中心環(huán)節(jié)，把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過程。要用好課堂教學(xué)這個主渠道，各門課程都要守好自己的一段渠，種好自己的責(zé)任田，使各類課程與思政課同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)。2020年5月， 教育部頒發(fā)的《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》指出，理學(xué)、工學(xué)類專業(yè)課程要在課程教學(xué)中把馬克思主義立場觀點方法的教育與科學(xué)精神的培養(yǎng)結(jié)合起來，提高學(xué)生正確認(rèn)識問題、分析問題和解決問題的能力。理學(xué)類專業(yè)課程，要注重科學(xué)思維方法的訓(xùn)練和科學(xué)倫理的教育，培養(yǎng)學(xué)生探索未知、追求真理、勇攀科學(xué)高峰的責(zé)任感和使命感。

《高等數(shù)學(xué)》是普通高校經(jīng)管類專業(yè)的專業(yè)必修課，具有高度的抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓砸约皯?yīng)用的廣泛性。本課程的授課對象主要是大學(xué)一年級的新生。學(xué)生的特點是對新的環(huán)境具有新鮮感，有挑戰(zhàn)自我的欲望，但是人生觀和價值觀還沒有定型，缺乏一定的毅力和耐性，也會存在對新環(huán)境不適應(yīng)和迷茫等問題。通過優(yōu)化教學(xué)設(shè)計過程，充分挖掘課程中蘊含的思政元素，尋找恰當(dāng)?shù)那腥朦c把高校思想政治教育融入課堂教學(xué)中， 在教學(xué)過程中，注重適時引導(dǎo)教育，把價值觀引領(lǐng)和人生觀的塑造貫穿于教育教學(xué)的全過程，培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會主義建設(shè)者和接班人。

1 教學(xué)設(shè)計

極限是微積分學(xué)的核心概念，是研究經(jīng)濟(jì)管理問題的有力工具。經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際、彈性以及復(fù)利等概念都涉及到極限的思想。在教學(xué)設(shè)計中，要深入挖掘這些案例中的思政元素，尋找數(shù)學(xué)知識與德育內(nèi)容的銜接點，一方面可以幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)理論和建立數(shù)學(xué)思維，另一方面也能引導(dǎo)學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)美，培養(yǎng)創(chuàng)新思維以及堅持真理、實事求是的科學(xué)態(tài)度。

1 “問題導(dǎo)入，激發(fā)興趣”的教學(xué)設(shè)計

極限的概念可以通過割圓術(shù)引入。學(xué)生通過割圓術(shù)的動態(tài)演示，理解圓的內(nèi)接正多邊形的面積和圓的面積的關(guān)系，自然可以在頭腦中形成極限的概念的雛形。學(xué)生體會到求極限問題是個動態(tài)的過程。在教學(xué)過程中，以“潤物細(xì)無聲”的方式，傳遞我國數(shù)學(xué)家劉徽的卓越成就，激發(fā)學(xué)生的文化自信和愛國情懷。

極限概念中，無窮小量和無窮大量是兩個非常重要的基本概念。初學(xué)者容易在理解無窮小和無窮大的運算性質(zhì)上有誤區(qū)。在教學(xué)設(shè)計中，可以設(shè)置如下三個問題：

（1）有限個無窮小的代數(shù)和是無窮小，那么無限個無窮小的和還是無窮小嗎？

（2）無窮大和無窮大的和還是無窮大嗎？

（3）無窮大和無窮大的差是無窮小嗎？

對于問題（1），老師給定數(shù)列xn=1n，讓學(xué)生驗證。顯然，

在n→∞時，xn=1n→0，所以上述極限是無窮多個無窮小的求和問題。通過這個答案可以得到：無限個無窮小的和不一定是無窮小。

這個結(jié)果說明要用發(fā)展的眼光來看待的事情，不能因循守舊，墨守成規(guī)。也能直觀地讓學(xué)生體會有限到無限，量變到質(zhì)變的過程，讓學(xué)生明白積少成多，厚積薄發(fā)的人生哲理。

對于問題（2），老師給定數(shù)列xn=n，yn=-n，讓學(xué)生驗證，顯然，

在n→∞時，xn=n→∞，yn=-n→∞，但limn→∞xn+yn=0，即無窮大和無窮大的和不一定是無窮大。

在理解無窮大的概念時，一定要注意無窮大是指絕對值無限增大的量，有正無窮大和負(fù)無窮大之分。二者同屬無窮大，但是在數(shù)軸上看是兩個極端，求和時會出現(xiàn)相抵的情形。

對于問題（3），老師給定數(shù)列xn=n2，yn=n，二者同為正無窮，讓學(xué)生驗證，顯然，

在n→∞時，xn=n2→∞，yn=n→∞，但limn→∞xn-yn=∞，即無窮大和無窮大的差不一定是無窮小。 這個結(jié)果也印證了學(xué)海無涯的道理，提醒學(xué)生做人，做事要謙虛，要有勇攀高峰的堅韌品格。

借助這個例子，引出無窮大的階的概念。 讓學(xué)生領(lǐng)會在自變量趨于無窮大時，基本初等函數(shù)中的冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)之間階的不同。

極限概念的產(chǎn)生，經(jīng)歷了千年的歷史，從直覺地感受到描述性定義，再到精確性定義，實際上是一個從特殊到一般，從直觀到抽象的過程，引導(dǎo)學(xué)生做人做事要有耐心，要有堅持不懈的專注精神。

2 “探究未知，挑戰(zhàn)自我”的教學(xué)設(shè)計

在掌握極限的概念之后，提出教學(xué)任務(wù)：讓學(xué)生探究Koch曲線的周長和面積。

Koch曲線是分形幾何中的一個典型范例，如圖1所示。 Koch曲線可由一個正三角形生成，即將正三角形的每一邊三等分后將中間一段向外凸起成一個以該段長度為邊長的正三角形（去掉底邊），然后對每一段直線又再重復(fù)上述過程（圖2所示），這樣無休止地重復(fù)下去即得Koch曲線。

設(shè)初始的正三角形的邊長為a，周長為l0，面積為s0，第k次分形后的周長為lk，面積為sk。通過觀察圖2的變化過程，讓學(xué)生分析計算得到第一次、第二次分形后的邊數(shù)、周長和面積，再通過歸納總結(jié)，可以得到k次分形后的結(jié)果，如表1。

隨著分形次數(shù)k的無限增加，Koch曲線的周長lk會無限增大，而Koch曲線的面積sk會無限趨于85s0。也就是說Koch曲線的周長無限，面積有限。這個結(jié)果與矩形、三角形、梯形、平行四邊形、圓等基本圖形的結(jié)論不一致，會引發(fā)學(xué)生對于未知知識的渴望，也會讓學(xué)生意識到學(xué)習(xí)新知識的時候要基于舊知識，但是也不能完全照搬照抄，要突破常規(guī)。

對于Koch曲線周長和面積這個問題，整個探究學(xué)習(xí)過程經(jīng)歷了從觀察、猜想、歸納的過程，通過在數(shù)學(xué)教學(xué)中對學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性的要求，逐步培養(yǎng)學(xué)生堅持真理，一絲不茍，實事求是的科學(xué)態(tài)度。本題的結(jié)論也會啟發(fā)學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

3 “環(huán)環(huán)緊扣，夯實基礎(chǔ)”的教學(xué)設(shè)計

極限的概念和性質(zhì)可以幫我們準(zhǔn)確的理解極限的本質(zhì)，極限的計算對微積分的核心概念都有重要的作用。熟練地掌握極限的運算技巧可以后續(xù)知識的學(xué)習(xí)做好充足的準(zhǔn)備。

極限的計算中，無窮小的等價替換原理也是一個常用的計算方法。該方法在替換的時候只能在乘除因子中進(jìn)行，如

limx→01-cos2xxsinx=limx→0122x2x2=2

是正確的，但是

limx→0x-sinxx3=limx→0x-xx3=0

就是錯誤的。錯誤的源頭還是對等價無窮小的概念理解不到位，因此必須在講等價無窮小的概念時做足準(zhǔn)備。由limx→0sinxx=1，limx→0x-x2x=1可以得到：當(dāng)x→0時，sinx及x-x2均與x等價，顯然等價不是等于，二者本質(zhì)上是不同的。等價的兩個無窮小直接差的是一個比其自身高階的無窮小量， x-sinxx3的分子x-sinx是較x高階的無窮小，而不能認(rèn)為是0。

在學(xué)習(xí)極限的四則運算法則時，會講到∞∞未定型的極限，如：

limx→∞a0xn+a1xn-1+…+anb0xm+b1xm-1+…+bn

一般的技巧是分子、分母同時除以分子分母的最高次冪。把無窮大通過導(dǎo)數(shù)運算化為無窮小，從而得到

limx→∞a0xn+a1xn-1+…+anb0xm+b1xm-1+…+bn=0，n<ma0b0，n=m∞，n>m

實際上，當(dāng)x→∞時， xn-1的階比xn的階要小，即當(dāng)x→∞時，a1xn-1+…+ana0xn，

所以在計算這個分式的極限時，分子中a1xn-1+…+an，分母中b1xm-1+…+bn的部分可以忽略，從而這個極限本質(zhì)上計算的就是limx→∞a0xnb0xm。讓學(xué)生通過無窮大的階來記憶，可以直接口算得出答案。由于這個方法是將無窮大的最高階留下來，而其他低階的部分全部忽略，所以形象地稱為抓大頭公式。這個公式也可以借助處理問題抓主要矛盾，引導(dǎo)學(xué)生重溫毛主席的經(jīng)典著作《矛盾論》，從而將數(shù)學(xué)思想與哲學(xué)原理聯(lián)系起來，轉(zhuǎn)化為他們的日常思維習(xí)慣。

在計算1∞未定型的某些題目時，熟練地應(yīng)用抓大頭公式可以快速地解決計算問題。比如求極限limx→∞x2+1x2-1x，利用抓大頭公式，可以確定該極限為1

SymboleB@未定型，可以利用第二個重要極限計算，不難得到

limx→∞x2+1x2-1x=limx→∞1+2x2-1x=limx→∞1+2x2-1x2-122xx2-1

再次對指數(shù)部分利用抓大頭公式，得到limx→∞2xx2-1=0，從而原極限等于1。這個題屬于第二個重要極限的例題，但是這個題目用到了前面說到的抓大頭公式，知識點之間的關(guān)聯(lián)很緊密。

通過這些實例，要提醒學(xué)生高等數(shù)學(xué)的知識點都不是獨立的，知識點之間都有著聯(lián)系，所以學(xué)習(xí)時一定要踏踏實實，夯實基礎(chǔ)，切忌好高騖遠(yuǎn)，碎片化學(xué)習(xí)。

3 結(jié)束語

理學(xué)課程要在課程教學(xué)中一方面要提高學(xué)生正確認(rèn)識問題、分析問題和解決問題的能力，另一方面要注重科學(xué)思維方法的訓(xùn)練和科學(xué)倫理的教育，培養(yǎng)學(xué)生探索未知、追求真理、勇攀科學(xué)高峰的責(zé)任感和使命感。在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計時，從多個角度深入分析課程思政建設(shè)內(nèi)容，將課程的教學(xué)過程轉(zhuǎn)化為對學(xué)生進(jìn)行價值引額的有效載體，在講授知識、培養(yǎng)能力的同時塑造學(xué)生的品德和價值觀，從而實現(xiàn)“知識傳授、能力培養(yǎng)與價值引領(lǐng)”相融合的教學(xué)目標(biāo)，最終提高學(xué)生的綜合素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

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