王志亮,陳學(xué)習(xí),楊 濤

(華北科技學(xué)院 安全工程學(xué)院,北京 東燕郊 065201)

0 引言

礦井瓦斯是制約煤礦高產(chǎn)高效及安全生產(chǎn)的主要災(zāi)害因素，而采掘工作面的落煤瓦斯是井下主要的瓦斯涌出源之一。瓦斯在煤體內(nèi)的運(yùn)移過程可分為三個階段[1]：第一階段是瓦斯分子由煤基質(zhì)內(nèi)表面脫附解吸，由吸附態(tài)變?yōu)橛坞x態(tài)；第二階段是瓦斯分子穿過微孔向外部裂隙系統(tǒng)的運(yùn)動，即在濃度梯度作用下從煤的小顆粒涌出到煤層的裂隙系統(tǒng)(煤層節(jié)理、割理系統(tǒng))中，該過程是一個擴(kuò)散過程；第三階段是瓦斯氣體在壓力梯度的作用下，在煤層節(jié)理、割理系統(tǒng)中的運(yùn)移，該過程是一個滲透過程。這三個階段相互銜接、相互影響，其中運(yùn)移速度最慢的階段決定了瓦斯的運(yùn)移速度。大量研究表明[2,3]，在較大的孔隙和裂隙中，瓦斯流動符合滲透定律，而在較小的孔隙系統(tǒng)中，瓦斯氣體的運(yùn)移符合擴(kuò)散定律。以往對煤粒瓦斯擴(kuò)散的研究主要分析瓦斯在煤體內(nèi)部的運(yùn)移[4]，未考慮煤粒邊界處的質(zhì)量交換。本文基于前人煤粒瓦斯擴(kuò)散的研究成果，同時考慮了煤粒表面的傳質(zhì)阻力和質(zhì)量交換，建立了更為完善的煤粒瓦斯擴(kuò)散數(shù)學(xué)模型，并用工程數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)出了其解析解。研究結(jié)果進(jìn)一步完善了瓦斯擴(kuò)散機(jī)理，同時對現(xiàn)場瓦斯防治提供理論依據(jù)。

1 煤粒瓦斯擴(kuò)散數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建

通過對大量不同煤質(zhì)、不同尺度的煤粒進(jìn)行瓦斯擴(kuò)散實(shí)驗(yàn)測定[5-7]，結(jié)果表明當(dāng)粒徑小于極限半徑時，煤粒內(nèi)的瓦斯流動較好地符合擴(kuò)散定律；當(dāng)粒徑大于極限半徑時，測定結(jié)果與理論分析存在一定偏差。究其原因是大塊煤粒內(nèi)部必然存在較大孔隙或裂隙，這些孔隙或裂隙必然對瓦斯擴(kuò)散過程產(chǎn)生影響。對此，可將任何煤?？闯捎蓸O限半徑組成的煤屑集合體，同時考慮煤粒表面與外界的質(zhì)量傳遞影響因素，則煤粒的瓦斯擴(kuò)散物理模型如圖1所示。

圖1 煤粒瓦斯擴(kuò)散球坐標(biāo)示意圖

在圖1中，r0為煤粒半徑，r為煤粒內(nèi)部的瓦斯擴(kuò)散動態(tài)半徑，煤粒中吸附瓦斯和游離瓦斯達(dá)到動態(tài)平衡狀態(tài)。含瓦斯煤粒與外部環(huán)境構(gòu)成一個混合物體系，當(dāng)瓦斯?jié)舛却嬖谔荻炔顣r，必然發(fā)生削弱濃度不均勻性的變化過程，即高濃度瓦斯分子向低濃度的遷移變化，這就是質(zhì)量傳遞現(xiàn)象，該過程包含分子擴(kuò)散和對流擴(kuò)散[8]。當(dāng)煤粒的固氣邊界處瓦斯壓力發(fā)生變化，游離狀態(tài)的瓦斯與外界發(fā)生質(zhì)量傳遞，并服從對流質(zhì)量交換定律。與此同時，臨近邊界處的吸附瓦斯解吸為游離瓦斯并向煤粒表面擴(kuò)散，瓦斯?jié)舛茸兓螸angmuir吸附定律，瓦斯擴(kuò)散過程符合質(zhì)量守恒和連續(xù)性原理。初始條件下，整個煤粒內(nèi)部的瓦斯處于吸附狀態(tài)；邊界處煤粒瓦斯與外部環(huán)境發(fā)生動態(tài)質(zhì)量交換。由此可構(gòu)建球坐標(biāo)系下煤粒瓦斯非穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散的數(shù)學(xué)模型為：

(1)

式中，C為煤粒的動態(tài)吸附瓦斯?jié)舛?，kg/m3；C0為煤粒原始吸附瓦斯的濃度，kg/m3；Cp為煤粒原始游離瓦斯的濃度，kg/m3；D為瓦斯擴(kuò)散系數(shù)，m2/s；α為對流質(zhì)量交換系數(shù)，m/s；r0為煤粒半徑，m；r為瓦斯擴(kuò)散動態(tài)半徑，m。

2 煤粒瓦斯擴(kuò)散方程的解析解

2.1 分離變量微分方程

為求解擴(kuò)散方程，設(shè)U(r,t)=[C(r,t)-Cp]r,代入式(1)后，煤粒瓦斯擴(kuò)散數(shù)學(xué)模型可變?yōu)椋?/p>

(2)

由于式(2)為二次拋物線方程，可用分離變量法求解[9]。設(shè)擴(kuò)散方程具有變量分離形式的非零特解，令：

U(r,t)=R(r)T(t)

(3)

將式(3)代入式(2)中的第一式并整理可得：

(4)

式(4)左端僅為t的函數(shù)，右端僅為r的函數(shù)，而t和r是兩個獨(dú)立的變量，因此只有兩邊同為一常數(shù)時，等式才能成立。設(shè)該常數(shù)為-λ，則得兩個常微分方程：

T′(t)+λDT(t)=0

(5)

R″(r)+λR(r)=0

(6)

將式(3)代入式(2)中第三、四項(xiàng)中，可得常微分方程R(r)和T(r)滿足的邊界條件：

R(0)=0

(7)

(8)

2.2 微分方程求解

首先求解方程式(6)的特征函數(shù)，按照λ的取值范圍分別進(jìn)行討論：

(1) 當(dāng)λ<0時，方程式的通解為：

(9)

由R(r)的邊界條件式(7)、(8)可得：C1=C2=0，則R(r)≡0，這與式(2)具有非零解相矛盾，故當(dāng)λ<0時，R(r)不存在非零解。

(2) 當(dāng)λ=0，方程式的通解為：

R(r)=C1+C2r

(10)

由R(r)的邊界條件仍然得：C1=C2=0，因此當(dāng)λ=0時，R(r)也不存在非零解。

(3) 當(dāng)λ>0時，方程式的通解為：

(11)

由R(r)的邊界條件可得：

C1=0

(12)

(13)

若使R(r)有非零解，則C2≠0，故有：

(14)

由該式可求得滿足條件的一系列λn固有值，與λn對應(yīng)的一系列R(r)的固有函數(shù)為：

(15)

將λn代入式(5)并求解可得T(t)的固有函數(shù)：

T(t)=Ane-λnDT(n=1,2,…)

(16)

由式(15)、(16)便得到滿足煤粒解吸擴(kuò)散方程及邊界條件的一列非零特解為：

(17)

為求得解吸擴(kuò)散方程解得一般形式，利用特解的疊加原理可得：

(18)

為滿足初始條件，由式(18)和式(2)的第二式可得：

(19)

(20)

將得到的系數(shù)An代回式(18)，可得煤粒解吸擴(kuò)散方程具有分離變量形式的解。再將U(r,t)代回方程U(r,t)=[C(r,t)-Cp]r中，可求得任意時刻煤粒內(nèi)任意一點(diǎn)的瓦斯?jié)舛?，即?/p>

(21)

2.3 煤粒瓦斯擴(kuò)散量分析

(1) 任意時刻煤粒瓦斯累積擴(kuò)散量為：

(22)

(2) 當(dāng)t→∞時，煤粒瓦斯的極限擴(kuò)散量為：

(23)

(3) 由式(22)和式(23)可得，任意時刻煤粒瓦斯累積擴(kuò)散量占極限擴(kuò)散量的比例為：

(24)

式中，A、B分別為比例系數(shù)。

對式(24)兩邊取對數(shù)并整理可得：

(25)

3 煤粒瓦斯擴(kuò)散特性

3.1 阻力分布準(zhǔn)數(shù)

(26)

3.2 擴(kuò)散分布準(zhǔn)數(shù)

煤粒瓦斯擴(kuò)散過程首先從表面開始，并與外部環(huán)境進(jìn)行質(zhì)量傳遞。隨著時間的延續(xù)，煤粒內(nèi)部的吸附瓦斯由外向里由吸附態(tài)轉(zhuǎn)化為游離態(tài)并擴(kuò)散至煤粒表面。整個瓦斯擴(kuò)散場由表及里逐次非線性動態(tài)發(fā)展變化，其變化過程可通過瓦斯?jié)舛葋矸治?。對于煤粒瓦斯擴(kuò)散濃度，其分布特性采用方程(27)來表示：

(27)

(28)

4 結(jié)論

(1) 建立了煤粒瓦斯擴(kuò)散數(shù)學(xué)模型，該模型考慮了煤粒邊界處瓦斯的傳質(zhì)特性，更具有普遍性和科學(xué)性。

(2) 采用分離變量法對煤粒瓦斯擴(kuò)散數(shù)學(xué)模型進(jìn)行推導(dǎo)，借助特征函數(shù)和傅里葉級數(shù)理論得到了模型的解析解。

(3) 阻力分布準(zhǔn)數(shù)表征煤粒瓦斯擴(kuò)散場的阻力特性，反映了瓦斯運(yùn)移過程中在煤粒內(nèi)部阻力和表面對流傳質(zhì)阻力的相對大小，外在表現(xiàn)為含瓦斯煤粒的衰減系數(shù)。

(4) 擴(kuò)散分布準(zhǔn)數(shù)表征煤粒瓦斯擴(kuò)散場的擾動特性，反映了瓦斯擴(kuò)散隨時間變化波及煤粒內(nèi)部的深度和范圍，外在表現(xiàn)為含瓦斯煤粒的初始涌出強(qiáng)度。

(5) 按照得出的計(jì)算公式，可求出任意時刻煤粒內(nèi)任一點(diǎn)的瓦斯?jié)舛?、任意時刻煤粒瓦斯的累計(jì)擴(kuò)散量及時間趨于無限大時煤粒的極限擴(kuò)散量。由此可對采掘工作面的落煤、采空區(qū)遺煤、煤倉等場所的瓦斯涌出量進(jìn)行計(jì)算分析，為現(xiàn)場瓦斯防治提供理論基礎(chǔ)。