衛(wèi)星姿態(tài)控制的變結(jié)構(gòu)滑?？刂品椒?/h1>
2022-07-19 02:57:28李由史夢芯
西安交通大學學報 2022年7期
李由,史夢芯
(西安電子科技大學空間科學與技術(shù)學院,710126,西安)
衛(wèi)星的姿態(tài)控制對于航天技術(shù)的發(fā)展和應用起著關(guān)鍵作用,并且隨著航天技術(shù)的日益發(fā)展和廣泛應用,衛(wèi)星的姿態(tài)控制問題越來越受到人們的關(guān)注。目前,已有許多研究人員對于衛(wèi)星姿態(tài)控制的基本理論和問題進行了探究[1-4],這些成果對于實際工程起著重要作用?；？刂谱鳛檠芯啃l(wèi)星的姿態(tài)控制的眾多研究方法之一,雖然在滑模面上的系統(tǒng)狀態(tài)具有魯棒性強、穩(wěn)態(tài)精度高等優(yōu)點,但是滑?？刂圃谑諗克俾史矫娲嬖诓蛔?并不能滿足對快速機動衛(wèi)星的收斂速率要求。這就要求設(shè)計新的滑?？刂品椒M足衛(wèi)星控制系統(tǒng)快速收斂的要求。
對于經(jīng)典滑?？刂品椒?針對系統(tǒng)狀態(tài)的有限時間收斂和良好穩(wěn)定性的問題,馮昱澍等[5]在考慮擾動存在的情況下,為提高閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒性等特性,設(shè)計出自適應積分滑模控制器,而宋杉等[6]設(shè)計出自適應固定時間滑?？刂破鳌Ｍ跣℃肹7]針對撓性衛(wèi)星姿態(tài)系統(tǒng)外部干擾上界未知的問題,結(jié)合干擾自適應律和滑?？刂圃O(shè)計了干擾自適應滑?？刂破?。上述研究和所涉及的控制方法都利用了滑模控制,但是針對滑?？刂频氖諗克俾瘦^低這一缺點并沒有進行研究和解決。
對于變結(jié)構(gòu)滑模控制方法,梁健等[8]針對敏捷衛(wèi)星大角度姿態(tài)機動的問題,考慮變結(jié)構(gòu)控制的系統(tǒng)參數(shù)變化和干擾具有很強的魯棒性等特點,設(shè)計了基于變結(jié)構(gòu)滑?？刂破鞯拿艚菪l(wèi)星姿態(tài)機動方法。董超等[9]針對柔性航天器撓性附件振動與姿態(tài)機動耦合降低控制精度的問題,考慮控制力矩抖振和系統(tǒng)參數(shù)魯棒性差等缺點,設(shè)計了改進的變結(jié)構(gòu)滑?？刂破?。變結(jié)構(gòu)滑?？刂瓶梢院芎玫馗纳平?jīng)典滑模控制在收斂速率方面較低的問題,但是上述研究并沒有將變結(jié)構(gòu)滑?？刂婆c其他控制方法進行比較,得出變結(jié)構(gòu)滑?？刂频膬?yōu)越特性。
對于滑?？刂品椒ㄔ趯嶋H工程中的應用,王家琪等[10]為保證控制系統(tǒng)的控制效果,針對抑制控制系統(tǒng)中的不確定性和外干擾等問題,考慮提高收斂速度的要求,設(shè)計了一種基于干擾觀測器的新型滑模控制律。唐寅峰等[11]針對清理太空垃圾和利用太陽能的問題,并考慮消除彈射系統(tǒng)對空間太陽能電站的姿態(tài)影響,結(jié)合雙環(huán)滑模變結(jié)構(gòu)控制方法設(shè)計了空間太陽能電站。眾多研究者在研究衛(wèi)星控制系統(tǒng)時都利用了變結(jié)構(gòu)滑?？刂品椒╗12-16]。在上述的工程應用中,作者只是應用滑?？刂苼硌芯肯到y(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性,并沒有將收斂速率作為研究問題進行研究。此外在實際工程中,尤其在航天領(lǐng)域有許多特定系統(tǒng)都有力矩上界和角速率范圍[17],這些重要因素也必須要著重考慮和研究。
對于經(jīng)典滑?？刂坪妥兘Y(jié)構(gòu)滑?？刂?不僅在航天科技方面得到應用,而且在機器人[18]、機械臂[19]、同步電機[20-21]、無人機[22]、Vienna整流器[23]、導彈制導[24]、溫度控制[25]等方面都有廣泛應用。這足以證明經(jīng)典滑模控制和變結(jié)構(gòu)滑?？刂圃诒姸嗫萍碱I(lǐng)域都有利用價值,因此發(fā)展和研究滑模控制對科技發(fā)展有著重要的推進作用。
針對衛(wèi)星姿態(tài)機動控制問題中經(jīng)典滑模控制存在收斂速率較低的缺陷,設(shè)計了一種變結(jié)構(gòu)滑?？刂品椒?。其主要的優(yōu)勢在于其維持了經(jīng)典滑?？刂破鹘Y(jié)構(gòu)簡單、魯棒性強的優(yōu)勢,還大幅度提升控制系統(tǒng)的收斂速率。此外本文還討論系統(tǒng)參數(shù)與控制力矩幅值、角速度幅值之間的約束關(guān)系,保證了控制器全程不超其上界。利用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明控制器的全局穩(wěn)定性,最后通過數(shù)值仿真驗證本文所提出的變結(jié)構(gòu)滑模控制器的有效性和優(yōu)越性。
1 數(shù)學模型
剛體衛(wèi)星的姿態(tài)動力學模型可以寫為
(1)
(2)
同時注意到在實際工程應用中轉(zhuǎn)動慣量矩陣J一般無法做到精確已知,因此令
(3)
基于四元數(shù)描述的衛(wèi)星姿態(tài)運動學模型的表達式為
(4)
式中:q0為姿態(tài)四元數(shù)標部;qv為姿態(tài)四元數(shù)矢部。矩陣F的奇異值滿足如下性質(zhì)
λM(F)=1
(5)
若無特別說明,在本文中,以λ(A)、λm(A)、λM(A)分別表示矩陣A的奇異值、最小奇異值與最大奇異值。
2 變結(jié)構(gòu)滑?？刂破?/h2>
一般在衛(wèi)星姿態(tài)控制領(lǐng)域,經(jīng)典的滑?？刂浦谢Ｃ娼Y(jié)構(gòu)可以寫為
s=ω+kqv,k>0
(6)
當系統(tǒng)狀態(tài)位于該滑模面上時有
ω=-kqv
(7)
以及
(8)
根據(jù)式(6)和式(7)可以看出,系統(tǒng)在該滑模面上具有指數(shù)收斂的特性。值得注意的是該滑模面的重要特性之一是角速度與四元數(shù)矢部的反向,同時歐拉角的運動學方程表示為[1]
(9)
式中:α為姿態(tài)角速度與歐拉軸亦即姿態(tài)四元數(shù)矢部的夾角。
從式(9)可以得出,在角速度范數(shù)一定的條件下,角速度與四元數(shù)矢部反向時歐拉角具有最快的收斂速率,這也就意味著在該條件下系統(tǒng)對于角速度的利用效率最高,正是因為如此經(jīng)典滑?？刂品椒ㄔ谔岢鲋蟮玫搅吮姸鄬W者的關(guān)注。
經(jīng)典滑?？刂破鞯囊淮蟊锥嗽谟谄漭^慢的收斂速率,經(jīng)典滑模面鎖定滑模參數(shù)k的做法使得衛(wèi)星的姿態(tài)角速度范數(shù)始終正比于姿態(tài)四元數(shù)范數(shù),而隨著系統(tǒng)狀態(tài)的收斂,角速度的范數(shù)也隨之急劇下降,從而導致了系統(tǒng)收斂速率的下降。為了解決這一問題,即提升系統(tǒng)收斂速率,增大滑模參數(shù)k是一種較為直觀、可行的手段,但是其帶來的弊端則是系統(tǒng)在控制初期所需要的控制力、控制力矩較大,這就會導致出現(xiàn)控制輸出飽和的問題,進而導致系統(tǒng)無法追蹤期望軌跡。同時該方法還有可能使得系統(tǒng)角速度范數(shù)超過其上界,從而帶來飛輪過載、推力消耗加劇、撓性形變增大、姿態(tài)確定精度下降等不利影響。
針對上述弊端本文提出一種新的滑模面結(jié)構(gòu)如下
s=ω+kqv,k(0)>0
(10)
式中:滑模參數(shù)k的初值k(0)為正常數(shù);p為待設(shè)計正常數(shù);ε為一小的正常數(shù)。
變結(jié)構(gòu)滑模面(10)分為兩個階段,第1階段亦即‖s‖≥ε時,系統(tǒng)狀態(tài)尚未到達滑模面,此時角速度矢量與姿態(tài)四元數(shù)矢部尚未反向,滑模面(10)為經(jīng)典滑模面,同時滑模參數(shù)不進行更新;而在第2階段亦即‖s‖<ε時,系統(tǒng)到達或近似到達滑模面,角速度矢量與四元數(shù)反向,此時滑模參數(shù)k開始更新,同時基于其更新律可以看到其導數(shù)始終為正,這就意味著在系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面之后,以較小的滑模參數(shù)初值開始運行,同時隨著系統(tǒng)狀態(tài)的收斂滑模參數(shù)開始實時增大,進而角速度的范數(shù)也能夠隨之得以提升,從而實現(xiàn)提升系統(tǒng)收斂速率的目的,此外值得注意的是在該滑模面上系統(tǒng)姿態(tài)角速度始終與四元數(shù)矢部保持反向,這也使得經(jīng)典滑模面的優(yōu)點得以保持。
基于滑模面(10)的滑?？刂破骺梢詫憺?/p>
u=
(11)
其中
(12)
ρi=
(13)
其中
接下來對控制器(11)進行穩(wěn)定性證明。選取Lyapunov函數(shù)如下
(14)
在系統(tǒng)尚未到達滑模面之前,即‖s‖≥ε時,對Vs求導并代入控制器(11)可以得到
-ρ1kssTs≤0
(15)
在系統(tǒng)到達滑模面之后,即‖s‖<ε時,對其求導并代入控制器(11)可以得到
(16)
從而有滑模狀態(tài)s一致漸近穩(wěn)定,而由前文討論,系統(tǒng)狀態(tài)ω與qv在滑模面s=0上一致漸近穩(wěn)定,從而系統(tǒng)(1)、(4)在控制器(11)的作用下一致漸近穩(wěn)定,系統(tǒng)穩(wěn)定性證明完畢。
3 系統(tǒng)約束討論
首先討論系統(tǒng)控制力矩對于控制參數(shù)的選取約束?？紤]到控制器(11)中滑模參數(shù)的比例項-kss可以通過控制增益因子ρi進行放縮,因而控制器(11)中的第一項并不影響控制力矩飽和問題,關(guān)鍵是保證控制器中之后幾項不超過系統(tǒng)上界。在系統(tǒng)尚未到達滑模面時,有
(17)
(18)
即可保證系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面之外時,所需要的控制力矩不超過上界的要求。
當系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面之后,姿態(tài)角速度滿足
ω=-kqv
(19)
同時注意到
(20)
從而可以得到
(21)
定義輔助變量z如下
(22)
(23)
從而當z取極值時有
(24)
進而有
(25)
因此只需滿足下式
(26)
即可保證系統(tǒng)控制力矩全程不超過其上界。
綜上所述,系統(tǒng)控制力矩對于滑模參數(shù)的約束可以寫為
(27)
式(27)中的第1式是系統(tǒng)對于滑模參數(shù)初值的約束,第2式是對于滑模更新參數(shù)的約束,二者共同保障系統(tǒng)的控制力矩約束。
(28)
即可使該階段系統(tǒng)角速度范數(shù)不超過其上界。
在系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面之后,計算角速度范數(shù)的導數(shù)可以得到
(29)
從而當角速度范數(shù)取得其極值時有
(30)
從而可以得到
(31)
因此系統(tǒng)角速度范數(shù)對于控制參數(shù)的約束為
(32)
式(32)中的第1式為角速度對于滑模參數(shù)初值的約束,而第2式則為角速度對于滑模更新參數(shù)的約束。
4 收斂性對比分析
對于衛(wèi)星姿態(tài)控制而言較為常用的經(jīng)典滑模面表達式為
s=ω+kqv
(33)
式中:k為正常數(shù)。
當系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面時,有ω=-kqv,因此選取Lyapunov函數(shù)如下
V=1-q0
(34)
對其求導可以得到
(35)
對于本文設(shè)計的變結(jié)構(gòu)滑模控制器,當系統(tǒng)到達滑模面時,有ω=-kqv,因此同樣選取Lyapunov函數(shù)式(34)。對其求導可以得到
(36)
5 數(shù)值仿真
首先設(shè)定系統(tǒng)參數(shù)如下
(37)
同時為了說明本次研究所提出算法的有效性與優(yōu)越性,將以如下的經(jīng)典滑模控制器(38)作為對比,仿真結(jié)果如圖1～圖4所示。
圖1 經(jīng)典滑模控制器的姿態(tài)角速度曲線
圖2 經(jīng)典滑?？刂破鞯淖藨B(tài)四元數(shù)曲線
圖3 經(jīng)典滑模控制器的控制力矩及其范數(shù)曲線
圖4 經(jīng)典滑?？刂破鞯慕撬俣确稊?shù)曲線
(38)
如果使經(jīng)典滑模的參數(shù)與變結(jié)構(gòu)滑模的參數(shù)相同,由圖1～圖4可以看出,系統(tǒng)能夠穩(wěn)定收斂,收斂時間約為240 s,此外在400 s時的角速度與四元數(shù)穩(wěn)態(tài)精度分別為5×10-6rad/s與8×10-5。通過仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),此條件下的控制力矩范數(shù)和角速率都沒有超過各自的上界,但是此條件下的收斂速率遠低于k較大時和變結(jié)構(gòu)滑?？刂频氖諗克俾?這表明同等條件下經(jīng)典滑?？刂频氖諗克俾蔬h低于變結(jié)構(gòu)滑?？刂?不能夠滿足控制系統(tǒng)的收斂速率要求。
為增加經(jīng)典滑?？刂婆c變結(jié)構(gòu)滑?？刂频膶Ρ刃Ч?將經(jīng)典滑?？刂破?38)中的k提高數(shù)倍使得其與變結(jié)構(gòu)滑?？刂频氖諗克俾试谕患墑e,參數(shù)修改如下式所示,仿真結(jié)果如圖5～圖8所示。
圖5 經(jīng)典滑?？刂破鞯淖藨B(tài)角速度曲線
圖6 經(jīng)典滑?？刂破鞯淖藨B(tài)四元數(shù)曲線
圖7 經(jīng)典滑?？刂破鞯目刂屏丶捌浞稊?shù)曲線
圖8 經(jīng)典滑模控制器的角速度范數(shù)曲線
k=0.12,ks=2
(39)
如果使經(jīng)典滑模的收斂速率與變結(jié)構(gòu)滑模的收斂速率達到同一級別,則需要使得經(jīng)典滑模參數(shù)k是變結(jié)構(gòu)滑模參數(shù)k的數(shù)倍?；趫D5～圖8可以看出,系統(tǒng)能夠穩(wěn)定收斂,收斂時間約為100 s,此外在200 s時的角速度與四元數(shù)穩(wěn)態(tài)精度分別為3×10-6rad/s與1.5×10-5。通過仿真結(jié)果可以看出,此條件下的仿真結(jié)果使得系統(tǒng)初始控制力矩較大,由圖7和圖8可以很明顯地看出,雖然整個控制力矩不超過系統(tǒng)上界,但是存在約10 s的區(qū)間(5～15 s)超過系統(tǒng)的姿態(tài)角速度上界。若采用飛輪、力矩陀螺等角動量交換裝置作為控制執(zhí)行機構(gòu),角速度超過上界意味著需要通過推力器工作對角動量機構(gòu)進行卸載,進而影響到系統(tǒng)的壽命,這一弊端在實際工程應用中對衛(wèi)星的壽命限制較為嚴重。
接下來給出本文所提出的變結(jié)構(gòu)滑模控制器的仿真結(jié)果。首先選取控制參數(shù)如下
k(0)=0.05,p=0.08,λ=3,ks=2
(40)
對控制力矩約束式(27)與角速度約束式(32)進行校驗可以得到
(41)
(42)
可以看到系統(tǒng)控制力矩約束與角速度約束能夠同時得到滿足。
本文所提出的變結(jié)構(gòu)滑模控制器仿真結(jié)果如圖9～圖13所示。
圖9 變結(jié)構(gòu)滑?？刂破鞯淖藨B(tài)角速度曲線
圖10 變結(jié)構(gòu)滑模控制器的四元數(shù)曲線
圖11 變結(jié)構(gòu)滑?？刂破鞯目刂屏丶捌浞稊?shù)曲線
圖12 變結(jié)構(gòu)滑?？刂破鞯幕?shù)曲線
圖13 變結(jié)構(gòu)滑模控制器的角速度范數(shù)曲線
由圖9、圖10可以看出,系統(tǒng)在控制器作用下穩(wěn)定收斂,且收斂時間約為105 s,與經(jīng)典滑模控制器(38)(k=0.05)收斂時間相比有大幅度提升,這表明本文所提出的變結(jié)構(gòu)滑?？刂破魇諗克俾拭黠@優(yōu)于經(jīng)典滑模控制器。同時由圖9、圖10可以看出,系統(tǒng)角速度與四元數(shù)的穩(wěn)態(tài)精度為5×10-6rad/s與6×10-6,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度仍然維持在較高的水準。但由圖11、圖13可以看出,系統(tǒng)控制力矩與角速度范數(shù)全程不超過系統(tǒng)上界,這證明了本次研究所提出的控制參數(shù)約束的有效性,并避免了控制力矩飽和與角速度飽和帶來的一系列問題。同時由圖12可以看出,滑模參數(shù)從初始值0.05開始逐步更新、放大,最終達到0.16左右,也正是滑模參數(shù)的實時放大避免了系統(tǒng)姿態(tài)角速度的過快下降,進而系統(tǒng)在滑模面上維持了較快速度的收斂速率,由圖13的角速度范數(shù)曲線中也可以看出,在系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面之后,系統(tǒng)姿態(tài)角速度有一個明顯的先增后減的過程,這也是本文所設(shè)計的變結(jié)構(gòu)滑?？刂破鞯暮诵乃悸?。
由控制器設(shè)計過程可以看到,主要影響系統(tǒng)收斂速率的是滑模初始參數(shù)k(0)與滑模更新參數(shù)p,二者選取較大的值能夠帶來更快地收斂速率,同時系統(tǒng)能夠更加有效地利用控制機構(gòu)能力。為說明二者對系統(tǒng)收斂速率的影響,選取多組仿真初值并進行仿真,其結(jié)果如圖14～圖16所示。
圖14 k(0)=0.05、p=0.15條件下四元數(shù)曲線
圖15 k(0)=0.08、p=0.08條件下四元數(shù)曲線
圖16 k(0)=0.08、p=0.25條件下四元數(shù)曲線
可以看出,3組收斂時間分別為90 s、95 s與70 s,分別相比較于第一組變結(jié)構(gòu)滑?？刂频氖諗克俾识加兴嵘?這樣說明增大滑模初值與其更新參數(shù)均能夠提高系統(tǒng)收斂速度,但值得注意的是,在這3組仿真中只有前兩組滿足系統(tǒng)角速度約束亦即角速度未超過系統(tǒng)上界(嚴格參數(shù)約束式(32)已經(jīng)不滿足),最后一組系統(tǒng)角速度已超過系統(tǒng)上界,這也說明需要在系統(tǒng)收斂速率與性能約束之間進行合理平衡。
由表1所示的對經(jīng)典滑模控制器與變結(jié)構(gòu)滑?？刂破鞯膶Ρ瓤梢钥闯?同樣條件下變結(jié)構(gòu)滑?？刂频氖諗克俾蔬h大于經(jīng)典滑模控制;不同條件時在基本維持變結(jié)構(gòu)滑?？刂频氖諗繒r間與經(jīng)典滑模控制在同一水平的前提下,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度仍然與經(jīng)典滑?？刂破鞅３衷谕凰?但本文所提出的變結(jié)構(gòu)滑模控制器解決了系統(tǒng)控制力矩飽和與角速度飽和的缺陷,并有效地提升了控制系統(tǒng)的收斂速率。
表1 經(jīng)典滑?？刂破髋c變結(jié)構(gòu)滑?？刂破鲗Ρ?/p>
6 結(jié) 論
本文基于經(jīng)典滑模控制器提出了一種變結(jié)構(gòu)滑?？刂破?在維持原有經(jīng)典滑模魯棒性強、物理特性明確的優(yōu)勢下,通過設(shè)計動態(tài)滑模面與滑模參數(shù)更新律,進而提高了系統(tǒng)的收斂速率,解決了經(jīng)典滑?？刂破髦写嬖诘氖諗克俾瘦^慢的缺陷。此外還解決了當控制系統(tǒng)對收斂速率有較高要求時,經(jīng)典滑模控制的控制力矩和姿態(tài)角速度因k增大而帶來的其各自超過上界的問題。
研究結(jié)果表明,通過對于滑模參數(shù)的實時放大與更新,能夠在初始滑模參數(shù)較小的前提下,有效避免系統(tǒng)角速度下降過快而帶來的缺陷,從而實現(xiàn)對于系統(tǒng)收斂速率的改良,進而提升系統(tǒng)在平衡點附近的性能。值得注意的是,該研究所采用的方法均考慮的是最極端情形,這也意味著系統(tǒng)性能沒有得到完全利用,而這也是作者在后續(xù)研究中需要重點解決的。
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(西安電子科技大學空間科學與技術(shù)學院,710126,西安)
衛(wèi)星的姿態(tài)控制對于航天技術(shù)的發(fā)展和應用起著關(guān)鍵作用,并且隨著航天技術(shù)的日益發(fā)展和廣泛應用,衛(wèi)星的姿態(tài)控制問題越來越受到人們的關(guān)注。目前,已有許多研究人員對于衛(wèi)星姿態(tài)控制的基本理論和問題進行了探究[1-4],這些成果對于實際工程起著重要作用?；？刂谱鳛檠芯啃l(wèi)星的姿態(tài)控制的眾多研究方法之一,雖然在滑模面上的系統(tǒng)狀態(tài)具有魯棒性強、穩(wěn)態(tài)精度高等優(yōu)點,但是滑?？刂圃谑諗克俾史矫娲嬖诓蛔?并不能滿足對快速機動衛(wèi)星的收斂速率要求。這就要求設(shè)計新的滑?？刂品椒M足衛(wèi)星控制系統(tǒng)快速收斂的要求。
對于經(jīng)典滑?？刂品椒?針對系統(tǒng)狀態(tài)的有限時間收斂和良好穩(wěn)定性的問題,馮昱澍等[5]在考慮擾動存在的情況下,為提高閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒性等特性,設(shè)計出自適應積分滑模控制器,而宋杉等[6]設(shè)計出自適應固定時間滑?？刂破鳌Ｍ跣℃肹7]針對撓性衛(wèi)星姿態(tài)系統(tǒng)外部干擾上界未知的問題,結(jié)合干擾自適應律和滑?？刂圃O(shè)計了干擾自適應滑?？刂破?。上述研究和所涉及的控制方法都利用了滑模控制,但是針對滑?？刂频氖諗克俾瘦^低這一缺點并沒有進行研究和解決。
對于變結(jié)構(gòu)滑模控制方法,梁健等[8]針對敏捷衛(wèi)星大角度姿態(tài)機動的問題,考慮變結(jié)構(gòu)控制的系統(tǒng)參數(shù)變化和干擾具有很強的魯棒性等特點,設(shè)計了基于變結(jié)構(gòu)滑?？刂破鞯拿艚菪l(wèi)星姿態(tài)機動方法。董超等[9]針對柔性航天器撓性附件振動與姿態(tài)機動耦合降低控制精度的問題,考慮控制力矩抖振和系統(tǒng)參數(shù)魯棒性差等缺點,設(shè)計了改進的變結(jié)構(gòu)滑?？刂破?。變結(jié)構(gòu)滑?？刂瓶梢院芎玫馗纳平?jīng)典滑模控制在收斂速率方面較低的問題,但是上述研究并沒有將變結(jié)構(gòu)滑?？刂婆c其他控制方法進行比較,得出變結(jié)構(gòu)滑?？刂频膬?yōu)越特性。
對于滑?？刂品椒ㄔ趯嶋H工程中的應用,王家琪等[10]為保證控制系統(tǒng)的控制效果,針對抑制控制系統(tǒng)中的不確定性和外干擾等問題,考慮提高收斂速度的要求,設(shè)計了一種基于干擾觀測器的新型滑模控制律。唐寅峰等[11]針對清理太空垃圾和利用太陽能的問題,并考慮消除彈射系統(tǒng)對空間太陽能電站的姿態(tài)影響,結(jié)合雙環(huán)滑模變結(jié)構(gòu)控制方法設(shè)計了空間太陽能電站。眾多研究者在研究衛(wèi)星控制系統(tǒng)時都利用了變結(jié)構(gòu)滑?？刂品椒╗12-16]。在上述的工程應用中,作者只是應用滑?？刂苼硌芯肯到y(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性,并沒有將收斂速率作為研究問題進行研究。此外在實際工程中,尤其在航天領(lǐng)域有許多特定系統(tǒng)都有力矩上界和角速率范圍[17],這些重要因素也必須要著重考慮和研究。
對于經(jīng)典滑?？刂坪妥兘Y(jié)構(gòu)滑?？刂?不僅在航天科技方面得到應用,而且在機器人[18]、機械臂[19]、同步電機[20-21]、無人機[22]、Vienna整流器[23]、導彈制導[24]、溫度控制[25]等方面都有廣泛應用。這足以證明經(jīng)典滑模控制和變結(jié)構(gòu)滑?？刂圃诒姸嗫萍碱I(lǐng)域都有利用價值,因此發(fā)展和研究滑模控制對科技發(fā)展有著重要的推進作用。
針對衛(wèi)星姿態(tài)機動控制問題中經(jīng)典滑模控制存在收斂速率較低的缺陷,設(shè)計了一種變結(jié)構(gòu)滑?？刂品椒?。其主要的優(yōu)勢在于其維持了經(jīng)典滑?？刂破鹘Y(jié)構(gòu)簡單、魯棒性強的優(yōu)勢,還大幅度提升控制系統(tǒng)的收斂速率。此外本文還討論系統(tǒng)參數(shù)與控制力矩幅值、角速度幅值之間的約束關(guān)系,保證了控制器全程不超其上界。利用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明控制器的全局穩(wěn)定性,最后通過數(shù)值仿真驗證本文所提出的變結(jié)構(gòu)滑模控制器的有效性和優(yōu)越性。
1 數(shù)學模型
剛體衛(wèi)星的姿態(tài)動力學模型可以寫為
(1)
(2)
同時注意到在實際工程應用中轉(zhuǎn)動慣量矩陣J一般無法做到精確已知,因此令
(3)
基于四元數(shù)描述的衛(wèi)星姿態(tài)運動學模型的表達式為
(4)
式中:q0為姿態(tài)四元數(shù)標部;qv為姿態(tài)四元數(shù)矢部。矩陣F的奇異值滿足如下性質(zhì)
λM(F)=1
(5)
若無特別說明,在本文中,以λ(A)、λm(A)、λM(A)分別表示矩陣A的奇異值、最小奇異值與最大奇異值。
2 變結(jié)構(gòu)滑?？刂破?/h2>
一般在衛(wèi)星姿態(tài)控制領(lǐng)域,經(jīng)典的滑?？刂浦谢Ｃ娼Y(jié)構(gòu)可以寫為
s=ω+kqv,k>0
(6)
當系統(tǒng)狀態(tài)位于該滑模面上時有
ω=-kqv
(7)
以及
(8)
根據(jù)式(6)和式(7)可以看出,系統(tǒng)在該滑模面上具有指數(shù)收斂的特性。值得注意的是該滑模面的重要特性之一是角速度與四元數(shù)矢部的反向,同時歐拉角的運動學方程表示為[1]
(9)
式中:α為姿態(tài)角速度與歐拉軸亦即姿態(tài)四元數(shù)矢部的夾角。
從式(9)可以得出,在角速度范數(shù)一定的條件下,角速度與四元數(shù)矢部反向時歐拉角具有最快的收斂速率,這也就意味著在該條件下系統(tǒng)對于角速度的利用效率最高,正是因為如此經(jīng)典滑?？刂品椒ㄔ谔岢鲋蟮玫搅吮姸鄬W者的關(guān)注。
經(jīng)典滑?？刂破鞯囊淮蟊锥嗽谟谄漭^慢的收斂速率,經(jīng)典滑模面鎖定滑模參數(shù)k的做法使得衛(wèi)星的姿態(tài)角速度范數(shù)始終正比于姿態(tài)四元數(shù)范數(shù),而隨著系統(tǒng)狀態(tài)的收斂,角速度的范數(shù)也隨之急劇下降,從而導致了系統(tǒng)收斂速率的下降。為了解決這一問題,即提升系統(tǒng)收斂速率,增大滑模參數(shù)k是一種較為直觀、可行的手段,但是其帶來的弊端則是系統(tǒng)在控制初期所需要的控制力、控制力矩較大,這就會導致出現(xiàn)控制輸出飽和的問題,進而導致系統(tǒng)無法追蹤期望軌跡。同時該方法還有可能使得系統(tǒng)角速度范數(shù)超過其上界,從而帶來飛輪過載、推力消耗加劇、撓性形變增大、姿態(tài)確定精度下降等不利影響。
針對上述弊端本文提出一種新的滑模面結(jié)構(gòu)如下
s=ω+kqv,k(0)>0
(10)
式中:滑模參數(shù)k的初值k(0)為正常數(shù);p為待設(shè)計正常數(shù);ε為一小的正常數(shù)。
變結(jié)構(gòu)滑模面(10)分為兩個階段,第1階段亦即‖s‖≥ε時,系統(tǒng)狀態(tài)尚未到達滑模面,此時角速度矢量與姿態(tài)四元數(shù)矢部尚未反向,滑模面(10)為經(jīng)典滑模面,同時滑模參數(shù)不進行更新;而在第2階段亦即‖s‖<ε時,系統(tǒng)到達或近似到達滑模面,角速度矢量與四元數(shù)反向,此時滑模參數(shù)k開始更新,同時基于其更新律可以看到其導數(shù)始終為正,這就意味著在系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面之后,以較小的滑模參數(shù)初值開始運行,同時隨著系統(tǒng)狀態(tài)的收斂滑模參數(shù)開始實時增大,進而角速度的范數(shù)也能夠隨之得以提升,從而實現(xiàn)提升系統(tǒng)收斂速率的目的,此外值得注意的是在該滑模面上系統(tǒng)姿態(tài)角速度始終與四元數(shù)矢部保持反向,這也使得經(jīng)典滑模面的優(yōu)點得以保持。
基于滑模面(10)的滑?？刂破骺梢詫憺?/p>
u=
(11)
其中
(12)
ρi=
(13)
其中
接下來對控制器(11)進行穩(wěn)定性證明。選取Lyapunov函數(shù)如下
(14)
在系統(tǒng)尚未到達滑模面之前,即‖s‖≥ε時,對Vs求導并代入控制器(11)可以得到
-ρ1kssTs≤0
(15)
在系統(tǒng)到達滑模面之后,即‖s‖<ε時,對其求導并代入控制器(11)可以得到
(16)
從而有滑模狀態(tài)s一致漸近穩(wěn)定,而由前文討論,系統(tǒng)狀態(tài)ω與qv在滑模面s=0上一致漸近穩(wěn)定,從而系統(tǒng)(1)、(4)在控制器(11)的作用下一致漸近穩(wěn)定,系統(tǒng)穩(wěn)定性證明完畢。
3 系統(tǒng)約束討論
首先討論系統(tǒng)控制力矩對于控制參數(shù)的選取約束?？紤]到控制器(11)中滑模參數(shù)的比例項-kss可以通過控制增益因子ρi進行放縮,因而控制器(11)中的第一項并不影響控制力矩飽和問題,關(guān)鍵是保證控制器中之后幾項不超過系統(tǒng)上界。在系統(tǒng)尚未到達滑模面時,有
(17)
(18)
即可保證系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面之外時,所需要的控制力矩不超過上界的要求。
當系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面之后,姿態(tài)角速度滿足
ω=-kqv
(19)
同時注意到
(20)
從而可以得到
(21)
定義輔助變量z如下
(22)
(23)
從而當z取極值時有
(24)
進而有
(25)
因此只需滿足下式
(26)
即可保證系統(tǒng)控制力矩全程不超過其上界。
綜上所述,系統(tǒng)控制力矩對于滑模參數(shù)的約束可以寫為
(27)
式(27)中的第1式是系統(tǒng)對于滑模參數(shù)初值的約束,第2式是對于滑模更新參數(shù)的約束,二者共同保障系統(tǒng)的控制力矩約束。
(28)
即可使該階段系統(tǒng)角速度范數(shù)不超過其上界。
在系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面之后,計算角速度范數(shù)的導數(shù)可以得到
(29)
從而當角速度范數(shù)取得其極值時有
(30)
從而可以得到
(31)
因此系統(tǒng)角速度范數(shù)對于控制參數(shù)的約束為
(32)
式(32)中的第1式為角速度對于滑模參數(shù)初值的約束,而第2式則為角速度對于滑模更新參數(shù)的約束。
4 收斂性對比分析
對于衛(wèi)星姿態(tài)控制而言較為常用的經(jīng)典滑模面表達式為
s=ω+kqv
(33)
式中:k為正常數(shù)。
當系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面時,有ω=-kqv,因此選取Lyapunov函數(shù)如下
V=1-q0
(34)
對其求導可以得到
(35)
對于本文設(shè)計的變結(jié)構(gòu)滑模控制器,當系統(tǒng)到達滑模面時,有ω=-kqv,因此同樣選取Lyapunov函數(shù)式(34)。對其求導可以得到
(36)
5 數(shù)值仿真
首先設(shè)定系統(tǒng)參數(shù)如下
(37)
同時為了說明本次研究所提出算法的有效性與優(yōu)越性,將以如下的經(jīng)典滑模控制器(38)作為對比,仿真結(jié)果如圖1～圖4所示。
圖1 經(jīng)典滑模控制器的姿態(tài)角速度曲線
圖2 經(jīng)典滑?？刂破鞯淖藨B(tài)四元數(shù)曲線
圖3 經(jīng)典滑模控制器的控制力矩及其范數(shù)曲線
圖4 經(jīng)典滑?？刂破鞯慕撬俣确稊?shù)曲線
(38)
如果使經(jīng)典滑模的參數(shù)與變結(jié)構(gòu)滑模的參數(shù)相同,由圖1～圖4可以看出,系統(tǒng)能夠穩(wěn)定收斂,收斂時間約為240 s,此外在400 s時的角速度與四元數(shù)穩(wěn)態(tài)精度分別為5×10-6rad/s與8×10-5。通過仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),此條件下的控制力矩范數(shù)和角速率都沒有超過各自的上界,但是此條件下的收斂速率遠低于k較大時和變結(jié)構(gòu)滑?？刂频氖諗克俾?這表明同等條件下經(jīng)典滑?？刂频氖諗克俾蔬h低于變結(jié)構(gòu)滑?？刂?不能夠滿足控制系統(tǒng)的收斂速率要求。
為增加經(jīng)典滑?？刂婆c變結(jié)構(gòu)滑?？刂频膶Ρ刃Ч?將經(jīng)典滑?？刂破?38)中的k提高數(shù)倍使得其與變結(jié)構(gòu)滑?？刂频氖諗克俾试谕患墑e,參數(shù)修改如下式所示,仿真結(jié)果如圖5～圖8所示。
圖5 經(jīng)典滑?？刂破鞯淖藨B(tài)角速度曲線
圖6 經(jīng)典滑?？刂破鞯淖藨B(tài)四元數(shù)曲線
圖7 經(jīng)典滑?？刂破鞯目刂屏丶捌浞稊?shù)曲線
圖8 經(jīng)典滑模控制器的角速度范數(shù)曲線
k=0.12,ks=2
(39)
如果使經(jīng)典滑模的收斂速率與變結(jié)構(gòu)滑模的收斂速率達到同一級別,則需要使得經(jīng)典滑模參數(shù)k是變結(jié)構(gòu)滑模參數(shù)k的數(shù)倍?；趫D5～圖8可以看出,系統(tǒng)能夠穩(wěn)定收斂,收斂時間約為100 s,此外在200 s時的角速度與四元數(shù)穩(wěn)態(tài)精度分別為3×10-6rad/s與1.5×10-5。通過仿真結(jié)果可以看出,此條件下的仿真結(jié)果使得系統(tǒng)初始控制力矩較大,由圖7和圖8可以很明顯地看出,雖然整個控制力矩不超過系統(tǒng)上界,但是存在約10 s的區(qū)間(5～15 s)超過系統(tǒng)的姿態(tài)角速度上界。若采用飛輪、力矩陀螺等角動量交換裝置作為控制執(zhí)行機構(gòu),角速度超過上界意味著需要通過推力器工作對角動量機構(gòu)進行卸載,進而影響到系統(tǒng)的壽命,這一弊端在實際工程應用中對衛(wèi)星的壽命限制較為嚴重。
接下來給出本文所提出的變結(jié)構(gòu)滑模控制器的仿真結(jié)果。首先選取控制參數(shù)如下
k(0)=0.05,p=0.08,λ=3,ks=2
(40)
對控制力矩約束式(27)與角速度約束式(32)進行校驗可以得到
(41)
(42)
可以看到系統(tǒng)控制力矩約束與角速度約束能夠同時得到滿足。
本文所提出的變結(jié)構(gòu)滑模控制器仿真結(jié)果如圖9～圖13所示。
圖9 變結(jié)構(gòu)滑?？刂破鞯淖藨B(tài)角速度曲線
圖10 變結(jié)構(gòu)滑模控制器的四元數(shù)曲線
圖11 變結(jié)構(gòu)滑?？刂破鞯目刂屏丶捌浞稊?shù)曲線
圖12 變結(jié)構(gòu)滑?？刂破鞯幕?shù)曲線
圖13 變結(jié)構(gòu)滑模控制器的角速度范數(shù)曲線
由圖9、圖10可以看出,系統(tǒng)在控制器作用下穩(wěn)定收斂,且收斂時間約為105 s,與經(jīng)典滑模控制器(38)(k=0.05)收斂時間相比有大幅度提升,這表明本文所提出的變結(jié)構(gòu)滑?？刂破魇諗克俾拭黠@優(yōu)于經(jīng)典滑模控制器。同時由圖9、圖10可以看出,系統(tǒng)角速度與四元數(shù)的穩(wěn)態(tài)精度為5×10-6rad/s與6×10-6,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度仍然維持在較高的水準。但由圖11、圖13可以看出,系統(tǒng)控制力矩與角速度范數(shù)全程不超過系統(tǒng)上界,這證明了本次研究所提出的控制參數(shù)約束的有效性,并避免了控制力矩飽和與角速度飽和帶來的一系列問題。同時由圖12可以看出,滑模參數(shù)從初始值0.05開始逐步更新、放大,最終達到0.16左右,也正是滑模參數(shù)的實時放大避免了系統(tǒng)姿態(tài)角速度的過快下降,進而系統(tǒng)在滑模面上維持了較快速度的收斂速率,由圖13的角速度范數(shù)曲線中也可以看出,在系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面之后,系統(tǒng)姿態(tài)角速度有一個明顯的先增后減的過程,這也是本文所設(shè)計的變結(jié)構(gòu)滑?？刂破鞯暮诵乃悸?。
由控制器設(shè)計過程可以看到,主要影響系統(tǒng)收斂速率的是滑模初始參數(shù)k(0)與滑模更新參數(shù)p,二者選取較大的值能夠帶來更快地收斂速率,同時系統(tǒng)能夠更加有效地利用控制機構(gòu)能力。為說明二者對系統(tǒng)收斂速率的影響,選取多組仿真初值并進行仿真,其結(jié)果如圖14～圖16所示。
圖14 k(0)=0.05、p=0.15條件下四元數(shù)曲線
圖15 k(0)=0.08、p=0.08條件下四元數(shù)曲線
圖16 k(0)=0.08、p=0.25條件下四元數(shù)曲線
可以看出,3組收斂時間分別為90 s、95 s與70 s,分別相比較于第一組變結(jié)構(gòu)滑?？刂频氖諗克俾识加兴嵘?這樣說明增大滑模初值與其更新參數(shù)均能夠提高系統(tǒng)收斂速度,但值得注意的是,在這3組仿真中只有前兩組滿足系統(tǒng)角速度約束亦即角速度未超過系統(tǒng)上界(嚴格參數(shù)約束式(32)已經(jīng)不滿足),最后一組系統(tǒng)角速度已超過系統(tǒng)上界,這也說明需要在系統(tǒng)收斂速率與性能約束之間進行合理平衡。
由表1所示的對經(jīng)典滑模控制器與變結(jié)構(gòu)滑?？刂破鞯膶Ρ瓤梢钥闯?同樣條件下變結(jié)構(gòu)滑?？刂频氖諗克俾蔬h大于經(jīng)典滑模控制;不同條件時在基本維持變結(jié)構(gòu)滑?？刂频氖諗繒r間與經(jīng)典滑模控制在同一水平的前提下,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度仍然與經(jīng)典滑?？刂破鞅３衷谕凰?但本文所提出的變結(jié)構(gòu)滑模控制器解決了系統(tǒng)控制力矩飽和與角速度飽和的缺陷,并有效地提升了控制系統(tǒng)的收斂速率。
表1 經(jīng)典滑?？刂破髋c變結(jié)構(gòu)滑?？刂破鲗Ρ?/p>
6 結(jié) 論
本文基于經(jīng)典滑模控制器提出了一種變結(jié)構(gòu)滑?？刂破?在維持原有經(jīng)典滑模魯棒性強、物理特性明確的優(yōu)勢下,通過設(shè)計動態(tài)滑模面與滑模參數(shù)更新律,進而提高了系統(tǒng)的收斂速率,解決了經(jīng)典滑?？刂破髦写嬖诘氖諗克俾瘦^慢的缺陷。此外還解決了當控制系統(tǒng)對收斂速率有較高要求時,經(jīng)典滑模控制的控制力矩和姿態(tài)角速度因k增大而帶來的其各自超過上界的問題。
研究結(jié)果表明,通過對于滑模參數(shù)的實時放大與更新,能夠在初始滑模參數(shù)較小的前提下,有效避免系統(tǒng)角速度下降過快而帶來的缺陷,從而實現(xiàn)對于系統(tǒng)收斂速率的改良,進而提升系統(tǒng)在平衡點附近的性能。值得注意的是,該研究所采用的方法均考慮的是最極端情形,這也意味著系統(tǒng)性能沒有得到完全利用,而這也是作者在后續(xù)研究中需要重點解決的。
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