劉芙妍 顏冰

1) (湖南大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,長沙 410082)

2) (國防科技大學(xué)氣象海洋學(xué)院,長沙 410073)

隨著我國水下探測、通信技術(shù)的發(fā)展,傳統(tǒng)的磁性測量模型已無法滿足高精度、高效率建模的需要.本文從艦船磁場積分模型出發(fā),綜合分析模型離散化為磁偶極子陣列模型產(chǎn)生的復(fù)化中矩形,以及Gauss-Legendre積分余項分析過程引起的離散誤差、算法誤差,模型簡化產(chǎn)生的擬合誤差、模型誤差等,對模型適用性條件進行分析;同時,以建模精度和計算復(fù)雜度為目標構(gòu)造多目標優(yōu)化函數(shù),通過NSGA-II 算法對多目標函數(shù)進行求解,得到使精度、復(fù)雜度較為均衡的最優(yōu)解集,提出了不同精度、復(fù)雜度需求下的選擇規(guī)則.為了保證結(jié)果的有效性,在艦船磁場混合模型的基礎(chǔ)上利用數(shù)值實驗對模型進行驗證,充分考慮模型擬合誤差,通過對磁性均勻、磁性不均勻潛艇的仿真分析得到模型達到適用范圍時距離與磁偶極子數(shù)目的相關(guān)關(guān)系;在保證模型適用的條件下,基于NSGA-II 算法的多目標優(yōu)化過程所得結(jié)果運算效率、精度高,具有很好的工程應(yīng)用價值.

1 引言

隨著潛艇靜音技術(shù)的飛速發(fā)展,傳統(tǒng)的聲吶探測已無法滿足我國水下探測、反潛的需要,為了提高潛艇水下探測能力,磁異常探測已成為水下目標探測的重要手段[1,2].磁異常探測輕便易行、效率高、隱蔽性能好、抗干擾強,具有極高的軍事意義和民用價值.為了提高水下探測、反潛能力,建立高精度的磁場模型,提高模型計算效率是重中之重[3].

目前,主要的艦船磁場建模方法主要有兩類:一類是由理論推導(dǎo)得到的,如大平面法、邊界元法、有限元法等,這類方法計算精度高,但測量要求高,無法滿足實際工程需要;另一類是磁體模擬法,將艦船等效為磁偶極子陣列模型,利用其模擬艦船的局部磁場.其中,磁體模擬法可以在少量的磁場測量數(shù)據(jù)下完成精度較高的艦船磁場建模[4],應(yīng)用廣泛.如生成海洋軍事武器物理磁場模型,全面監(jiān)控水下移動電磁目標[5];水下移動電子裝置的識別、追蹤攔截[6];地磁勘探和探測、確定未爆炸物[7,8];建立水雷全型號電磁分布模型[9,10];探測幾百米外遠處的潛艇[11]等.海洋探測、通信等技術(shù)的發(fā)展,對磁性測量的精確度提出了更高的要求,但磁偶極子陣列模型中磁偶極子數(shù)目、分布以及適應(yīng)性條件等對磁體磁場分布等效效果的影響尚無較為系統(tǒng)的研究和成熟的理論[12,13].

對于磁偶極子模型的高精度高效率計算問題,Lutkenhoner[14]通過數(shù)值實驗驗證了單磁偶極子轉(zhuǎn)化為兩個磁偶極子的可行性,探索了成功分離兩個偶極子的最低要求;吳旭東等[15]最早討論了磁偶極子標量模型的推導(dǎo)以及理想磁偶極子成立條件;牛龍飛等[16]提出3 個磁偶極子對艦船磁場進行建模,在不顯著增加復(fù)雜度的情況下增加了真精度;Lucas 和Richards[17]以及 Nilsson[18]提出磁偶極子陣列可以被視為船舶產(chǎn)生的磁場源,提出船舶磁化范圍的各種模型.戴忠華等[19]在陣列模型計算磁場分布的情況下,利用單磁偶極子反演推算得到磁矩收斂性,得出在2.5 倍距離外將水下目標等效為單磁偶極子模型時具有較高精度的結(jié)論,這一結(jié)論的提出為艦船單偶極子模型的應(yīng)用提供了依據(jù),但僅適用于單磁偶極子,證明過程依賴陣列模型的準確性;金煌煌等[13]研究了利用多磁偶極子模型等效模擬磁異常目標空間磁場分布時,在不同空間尺度條件下的多磁偶極子磁矩、空間分布對等效效果的影響即多磁偶極子等效規(guī)律.但利用混合模型進行適用性研究的過程大都利用單磁偶極子與陣列模型之間的等價性,忽視了模型建立過程產(chǎn)生的誤差;而磁偶極子個數(shù)的選取過程中較少對計算復(fù)雜度進行考慮,往往會造成磁偶極子數(shù)過少模型精度較差、數(shù)目多計算復(fù)雜度高等問題,使模型的適用性較差.

本文從艦船磁場混合模型的相關(guān)理論出發(fā),提出了基于復(fù)化中矩形、Gauss-Legendre 法余項的陣列模型的適用性研究,通過對積分模型離散化為陣列模型產(chǎn)生的積分余項及余項估計過程產(chǎn)生的離散誤差及磁體模擬法產(chǎn)生的擬合誤差、算法誤差、磁偶極子距離數(shù)目差異引起的模型誤差進行綜合分析,討論模型的精度,提出了磁偶極子模型的適用性條件;同時,基于模型誤差與參數(shù)的相關(guān)性,以建模精度和計算復(fù)雜度為目標構(gòu)建多目標問題,通過對多目標函數(shù)的求解得到使精度、計算量較為均衡的磁偶極子數(shù),實現(xiàn)了模型的高精度、高效率計算.所提出的方法以國外某潛艇進行仿真驗證,從計算精度、效率、模型適用性等方面對模型進行分析,結(jié)果表明該模型可以顯著提高磁場精度和計算效率,具有重要的理論意義和實用價值.本文第2節(jié)探究了磁場積分模型離散化為磁偶極子模型的過程;第3 節(jié)基于復(fù)化中矩形、Gauss-Legendre 數(shù)值積分法綜合考慮離散誤差、模型誤差、算法誤差對磁偶極子模型的適用性條件,進行了對比分析;第4 節(jié)通過磁性分布均勻、磁性分布不均艦艇的仿真計算及模型擬合誤差得到了磁偶極子模型的適用性條件;第5 節(jié)利用多目標函數(shù)優(yōu)化算法對多目標問題進行求解,提出一種高精度、低復(fù)雜度的艦船磁場建模方法.最后對實驗結(jié)論進行了總結(jié)分析.

2 磁偶極子積分模型離散化

積分方程法、微分方程法是電磁場數(shù)值計算的重要方法.目前國內(nèi)外有關(guān)電磁場數(shù)值計算的著作大多偏重于微分方法求解二維磁場問題,而在許多實際場問題的計算中,尤其是在計算三維場時,需要采用積分方法或者積分-微分混合方法,才能達到較高精度[20].電磁場可以用麥克斯韋方程組描述,對麥克斯韋方程組積分得電磁場積分形式的解,以這些解為基礎(chǔ)可形成電磁場的積分方程[21]:

利用積分、微分方程對磁場求解的過程,除非場域極其簡單否則無法得到解析表達式,但應(yīng)用數(shù)值計算卻可以計算大量的數(shù)值問題.數(shù)值計算的關(guān)鍵在于把求解對象所在區(qū)域進行離散化,即通過互不重疊頂點邊界相連的有限個單元的總和來對連續(xù)場域進行等價[22].由于分子尺度在連續(xù)介質(zhì)理論中相對于連續(xù)介質(zhì)微元總可以認定為充分小量,假定將磁源分割為n個小磁體,小磁體中心點坐標分別為 (xi,yi,zi),i1,2,···,n,觀測點坐標為(x,y,z)處的數(shù)值磁場強度 (hxsim,hysim,hzsim),則可得磁場強度離散化模型,即磁偶極子陣列模型[19]:

對積分模型(2)、磁偶極子模型(3)進行簡化,假設(shè)磁源為磁性均勻各向同性的立方體,可得mxdVmydVmzdVmdV,m為常數(shù),取觀測點坐標為 (0,0,0) ,磁偶極子中心點坐標 (x,y,z),得磁偶極子x軸方向的磁場強度簡化積分模型為

(4)式的被積函數(shù)為

簡化后x軸方向磁偶極子模型為

其中mi表示第i個小磁體的磁矩.

積分模型(4)式可以得到的磁源在觀測點磁場強度較為精確,但利用微積分基本定理求解存在無法找到原函數(shù)、原函數(shù)復(fù)雜、被積函數(shù)沒有有限的積分表達式等問題,因此在實際應(yīng)用中常常采用數(shù)值積分方法對多重積分進行估計.磁偶極子模型是積分模型離散化的結(jié)果,一般情況下磁偶極子數(shù)量越多,對測量點上磁場的擬合精度越高,此外,擬合的精度高低還與磁偶極子的分布有關(guān).因此研究模型適用性需要具體分析的誤差包括:模型在離散化過程中產(chǎn)生的誤差,即積分余項無法精確計算得到,此時該誤差可歸入離散誤差;磁測物體磁場較為復(fù)雜,無法用一個簡單的解析式計算,因此采用已知磁場分布的磁性物體來等效實際潛艇帶來的模型擬合誤差;在計算過程中由于數(shù)值分析方法選擇的差異產(chǎn)生算法誤差;模型在離散化過程中的分布、數(shù)目上的差異產(chǎn)生的模型誤差;理論分析部分對模型進行一些簡化及算法運行過程中產(chǎn)生的舍入誤差相對其他誤差影響較少,不做過多的分析.

3 磁偶極子模型適用性

通過理論分析積分余項來研究模型適用性的過程,綜合考慮了復(fù)化中矩形算法、Gauss-Legendre算法的對比分析及磁偶極子數(shù)目位置的差異等引起的算法誤差、離散誤差及模型誤差等.

3.1 復(fù)化中矩形法余項

多重積分的求解是工程研究中常見的問題,多重積分的復(fù)化中矩形法,就是將多重積分轉(zhuǎn)換成多次的定積分,在每重積分計算時用復(fù)化中矩形公式對積分進行估計,最后得到多重積分近似值的方法[22].磁偶極子模型為立體空間中的三維模型,因此首先利用復(fù)化中矩形公式三重積分余項估計對(4)式的截斷誤差進行分析,設(shè)f(x)在區(qū)間[a1,b1]×[a2,b2]×[a3,b3]上連續(xù)、可微,得到如下三重積分問題:

利用復(fù)化中矩形法對多重積分(7)式進行數(shù)值計算得I3:

3.2 Gauss-Legendre 余項

復(fù)化中矩形法是常用的一種有效算法,它突出的優(yōu)點是計算過程簡單,可以很好地在工程中推廣應(yīng)用.與復(fù)化中矩形法相比,Gauss-Legendre 法在節(jié)點數(shù)一定的情況下具有更高的代數(shù)精度和收斂性.為了更好地對磁偶極子積分模型離散化誤差進行分析,利用Gauss-Legendre 余項估計對多重積分(7)式進行數(shù)值計算得:

3.3 磁偶極子模型誤差

通過積分余項可以對模型誤差進行有效估計,得到磁偶極子模型誤差的解析解.利用(8)式得(4)式磁偶極子積分公式的積分余項.考慮到η的精確求解較為復(fù)雜,為提高計算精度,降低復(fù)雜度,分別對單磁偶極子條件下η趨近于均值、最大值、最小值、中值及最大最小值與中間值內(nèi)部,即等的取值情況進行討論,得到不同條件下模型實際誤差與余項不同取值情況下產(chǎn)生的取值誤差之間的相對誤差,結(jié)果如圖1 所示.可以看出,當η取均值時其產(chǎn)生的舍入誤差相對較小且最穩(wěn)定,因此選擇η取均值情況下的取值誤差及截斷誤差帶來的離散誤差對模型進行接下來的討論.

圖1 單磁偶極子條件下相對誤差隨 η 的變化Fig.1.Relative error as a function of η for a magnetic dipole.

當E≤6% 時磁偶極子模型能夠有效對磁源進行建模,當E≤3% 時磁偶極子模型的建模精度較高,能夠有效地在相關(guān)工程中應(yīng)用[4].

(10)式給出了求磁偶極子相對誤差的具體方法,接下來對距離、磁偶極子數(shù)目的差異產(chǎn)生的模型誤差進行分析.當磁源為立方體時,分別對磁偶極子數(shù)目1—4,磁源與觀測點距離為1—3 倍立方邊長的情況進行分析,得到基于磁偶極子陣列模型的不同距離及磁偶極子數(shù)目的磁場相對誤差,結(jié)果如圖2 所示.可以看出:隨著距離的增大,模型相對誤差趨于收斂,單磁偶極子在1.8 倍距離處趨于穩(wěn)定,相對誤差為5.9%,達到了有效建模距離;隨著磁偶極子數(shù)目的增多,模型的相對誤差逐漸減小,在2 個磁偶極子時模型在1.3 倍距離處就達到了2%的相對誤差,達到了較高的模型精度.

圖2 基于復(fù)化中矩形法模型誤差隨距離及磁偶極子數(shù)目的變化規(guī)律Fig.2.Variation of model error with distance and the number of magnetic dipoles based on composite middle rectangular method.

同理得基于Gauss-Legendre 法的磁偶極子陣列模型的不同距離及磁偶極子數(shù)目的磁場相對誤差,結(jié)果如圖3 所示.可以看出,在Gauss-Legendre法下單磁偶極子在1.5 倍距離處趨于穩(wěn)定,相對誤差為5.05%,達到了有效建模距離.與復(fù)化中矩形法對比可得,Gauss-Legendre 法對磁偶極子積分模型離散化的過程更易達到有效建模距離,該方法得到的磁偶極子陣列模型對磁偶極子分布的位置與磁偶極子所占的比例進行了規(guī)劃,較復(fù)化中矩形法更為合理.由于理論分析過程存在較多簡化,如將磁體假設(shè)為磁性均勻各向同性的立方體、積分余項簡化取均值等,與實際情況存在一定差距,接下來利用數(shù)值例子對上述方法進行檢驗.

圖3 基于Gauss-Legendre 法模型誤差隨距離及磁偶極子數(shù)目的變化規(guī)律Fig.3.Variation of model error with distance and the number of magnetic dipoles based on Gauss-Legendre method.

4 數(shù)值仿真實驗

本數(shù)值實驗在第3 節(jié)的基礎(chǔ)上對日本“蒼龍”級潛艇進行研究,潛艇艇長80 m,半徑5 m,尾部半徑2 m,尾部長度15 m.實際應(yīng)用中,往往需要將空間磁場的分布規(guī)律抽象出來,形成一個可快速預(yù)測的模型,從而便于利用測量信號進行目標參數(shù)識別.因此,基于潛艇的外形特點,有學(xué)者提出了等效旋轉(zhuǎn)橢球體模型[23],為了方便計算將其等價為長為80 m,最長半徑為5 m 的旋轉(zhuǎn)橢球體,如圖4 所示.上述混合橢球體模型采用磁體模擬法,與實際水中磁性目標存在些許差距,但實驗表明離開磁性目標的距離在其兩倍寬度以上時,旋轉(zhuǎn)橢球體磁場對目標磁場的擬合精度超過85%,為了保證研究的準確性,將該誤差作為模型擬合誤差代入后續(xù)分析過程[24,25].同時跟據(jù)潛艇的磁性分布將其分為均勻、不均勻兩種情況進行仿真分析.

圖4 潛艇模型Fig.4.Submarine model.

4.1 觀測點選取

實驗時為避免取點不均、取點較少沒有代表性帶來的偶然誤差,利用極坐標求得以(0,0,0)為圓心,以r為半徑的球面上均勻分布的N60 個點作為觀測點,坐標 (x,y,z) 分別為

圖5 r=224 時選取的均勻采樣點Fig.5.Uniform sampling points selected when r=224.

4.2 磁性均勻情況

假設(shè)潛艇所用材料的磁性是均勻的,即為均勻旋轉(zhuǎn)橢球體.旋轉(zhuǎn)橢球體在均勻磁化時的磁矩等于電流I與最大橫截面積S的乘積[26].考慮到旋轉(zhuǎn)橢球體在各個坐標平面上的投影存在差異,根據(jù)

其中 (hx,hy,hz) 為積分模型下目標磁場在各坐標軸上實際磁場強度的投影分量.在磁源取橢球體割塊的中心,觀測點 (x,y,z) 均勻選取的情況下,由(3)式和(13)式得磁偶極子模型的相對誤差:

其中Ej為第j個觀測點的相對誤差.由(14)式得到模型相對誤差隨距離及磁偶極子數(shù)目的分布情況,如圖6 所示,其中不同顏色代表相對誤差取值.圖6(a)中x,y,z軸對應(yīng)測量距離、磁偶極子數(shù)目、模型相對誤差,圖6(b)中橫縱坐標分別對應(yīng)測量距離及磁偶極子數(shù)目,坐標軸為共用軸.圖6(b)中標記線為控制距離或磁偶極子數(shù)目,其中一個變量恒定,模型相對誤差隨另一個變量的變化規(guī)律.

圖6 磁性均勻時模型相對誤差變化趨勢 (a)磁偶極子數(shù)目、距離對模型誤差影響的三維柱狀圖;(b) 磁偶極子數(shù)目、距離對模型誤差影響的等高線剖面圖Fig.6.Trend of relative error of the model when the magnetic is uniform:(a) Three dimensional histogram of effects of number and distance of magnetic dipoles on model error;(b) contour of effects of number and distance of magnetic dipoles on model error.

1)磁偶極子數(shù)目一定時,隨著測量點與磁源距離的增大,相對誤差逐漸減小并收斂至穩(wěn)定值,此后增加距離模型相對誤差不會產(chǎn)生較大改變,且磁偶極子數(shù)目越少相對誤差對距離的敏感度越高,如圖6(b)中3 個磁偶極子與9 個磁偶極子相比誤差隨距離的變化更顯著.

2)距離一定時,隨著磁偶極子數(shù)目的增多,相對誤差逐漸減少.由圖6(a)柱狀圖的顏色分布可知,在少于5 個磁偶極子時,模型相對誤差對距離的敏感性較大,并逐漸達到穩(wěn)定值;在測量點與磁源距離較近時對磁源進行分割可有效提高磁偶極子模型的適用性,如圖6(b)中r=64 比r=204 時誤差隨磁偶極子數(shù)目的變化更顯著,磁源的分割次數(shù)與模型的復(fù)雜度成正相關(guān),增加模型的復(fù)雜度在分割次數(shù)達到一定程度時并沒有顯著變化.

假設(shè)磁偶極子模型建模有效距離為相對誤差≤6%,根據(jù)不同距離與磁偶極子數(shù)目產(chǎn)生的相對誤差,對模型適用性進行分析,計算結(jié)果如表1 所列.可以看出:單磁偶極子在r=184 (2.3 倍)時相對誤差達到6%的建模有效范圍;兩個磁偶極子在r=104 (1.3 倍)時相對誤差達到有效范圍,且兩個磁偶極子模型的適用范圍相對較大;在距離較近時需要對磁源進行大量的分割,如在1.05 倍距離處需要3 個磁偶極子保證模型的適用性.

表1 磁性均勻情況下,達到建模有效范圍的磁偶極子數(shù)目及距離Table 1. Number and distance of magnetic dipoles reaching the modeling effective range when the magnetic is uniform.

4.3 磁性不均勻

假設(shè)潛艇材料的磁性是不均勻的,就水平分量而言,通常艦船磁場峰值出現(xiàn)的位置與其所處于的緯度區(qū)域無關(guān)[27],一般分別在艦首附近、艦船中部、艦尾附近出現(xiàn)峰值,艦船中部可能出現(xiàn)磁場值為0 的情況.為了保證能夠充分展現(xiàn)磁偶極子分布不均勻?qū)δＰ驮斐傻挠绊?本仿真對潛艇首尾至中部的磁性差異呈線性下降的形式進行了分析[28]:

其中a1×106為潛艇首尾兩端的常數(shù),a1為潛艇中間常數(shù)值.可得磁偶極子積分模型在x軸方向磁場強度為

利用本文第3 節(jié)理論得到的磁偶極子模型x方向的磁場強度hxsim,由 (10) 式得相對誤差.首先對距離為224 (>2.5 倍)時模型的相對誤差進行分析,當兩端的磁矩常數(shù)a1×106,中部磁矩常數(shù)a1分別為200000,40000,8000,即由兩端向中心呈線性下降時,相對誤差變化趨勢如圖7 所示.其中圖7(a)中不同顏色代表測量距離為224 m 時艦艇磁性的差異,圖7(b)中不同顏色代表模型在距離與磁矩存在差異時的相對誤差,隨著磁偶極子數(shù)目的增多、磁性差異的減少,模型相對誤差逐漸減少,且相對誤差呈現(xiàn)出波動下降的規(guī)律.

圖7 距離為224 時模型相對誤差隨潛艇磁性差異的變化趨勢 (a)潛艇磁性差異對模型相對誤差影響的折線圖;(b) 潛艇磁性差異對模型相對誤差影響的等高線圖Fig.7.Variation trend of model relative error with submarine magnetic difference when r=224:(a) Line graph of the effect of submarine magnetic differences on the relative error of the model;(b) Contour plot of the effect of submarine magnetic differences on the relative error of the model.

接下來對a14×104時的模型相對誤差進行分析,結(jié)果如圖8 所示,其中不同的顏色代表相對誤差的差異,圖8(b)為圖8(a)的投影.圖8(b)中的曲線圖為距離112 和187,磁偶極子數(shù)目為2,6 和12 時,固定一個變量模型相對誤差隨另一變量的變化趨勢.

1)當a14×104,磁偶極子數(shù)目一定時,隨著測量點與磁源距離變化,相對誤差對距離的敏感性較低,如圖8(b),距離變化不會造成相對誤差較大的波動.

圖8 a1=40000 時模型相對誤差的變化趨勢 (a)磁偶極子數(shù)目、距離對模型誤差影響的三維柱狀圖;(b) 磁偶極子數(shù)目、距離對模型誤差的影響等高線剖面圖Fig.8.Tendency of the relative error of the model when a1=40000:(a) Three dimensional histogram of the effect of the number and distance of magnetic dipoles on the model error;(b) contour map of effects of the number and distance of magnetic dipoles on model errors.

2)當a14×104,距離一定時,隨著磁偶極子數(shù)目的增多,相對誤差逐漸減少,當少于4 個磁偶極子時模型相對誤差對磁偶極子的敏感性較大,并以波動下降的形式逐漸達到穩(wěn)定值;隨著磁偶極子數(shù)目的增多,距離的增大波動逐漸平穩(wěn).

對磁性不均勻磁源的磁偶極子模型進行適用性分析,計算結(jié)果如表2 所列.可以看出,磁性分布不均時在重心取點的情況下單磁偶極子的相對誤差很難達到6%的建模有效范圍,且距離增加對模型相對誤差的影響較小,更適合通過磁偶極子數(shù)量的變化控制其相對誤差.

表2 磁性不均勻情況下,達到建模有效范圍的磁偶極子數(shù)目及距離Table 2. Number and distance of magnetic dipoles reaching modeling effective range when the magnetic is nonuniform.

綜合上述仿真可以得到艦艇單磁偶極子模型的適用范圍在2.3 倍的潛艇長度,再次驗證了2.5 倍距離以外將水下目標等效為單磁偶極子模型具有較高精度的結(jié)論.當模型為兩個磁偶極子時可以將距離范圍縮小為1.3 倍,即距離較近時可以通過增加磁偶極子數(shù)目來保證模型的適用性.當磁場不均勻時距離變化對相對誤差的影響較磁偶極子數(shù)目變化對相對誤差的改變要小.因此在磁性不均勻時,Gauss-Legendre 數(shù)值積分法離散得到的磁偶極子模型具有更高的穩(wěn)定性與精確度.

5 潛艇磁場模型的多目標優(yōu)化

在計算過程中不難發(fā)現(xiàn),隨著潛艇分割次數(shù)的增加,磁偶極子模型越來越精確,此時模型的計算量也隨之增大.因此模型誤差及計算量在給定區(qū)域內(nèi)是相互沖突的,不存在唯一最優(yōu)解,只能通過多目標優(yōu)化方法進行求解.

傳統(tǒng)多目標優(yōu)化算法是將各目標函數(shù)取加權(quán)和,將多目標優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標優(yōu)化問題,由前文可知,目標函數(shù)為建模相對誤差及為模型計算量,各目標函數(shù)不具備可比性,加權(quán)系數(shù)難于選擇[29].多目標問題中,各目標之間往往是相互沖突的,通常通過決策變量來協(xié)調(diào)權(quán)衡和折中處理,使各子目標函數(shù)盡可能達到最優(yōu).多目標優(yōu)化問題不存在單個最優(yōu)解,而是Pareto 最優(yōu)解集,它為決策者提供了一個最佳的選擇空間,空間內(nèi)所有解不受Pareto 前沿之外的解支配.如何求得與真實Pareto前沿一致的Pareto 最優(yōu)解集是多目標函數(shù)優(yōu)化問題的關(guān)鍵[4].

建立變量連續(xù)的多目標規(guī)劃問題

其中x為決策變量,f(x)(f1(x),f2(x),···fm(x))′為目標向量,gi(x),hj(x) 為約束條件[30].首先利用r=234,124 時的數(shù)據(jù)進行求解,模型的約束條件為模型相對誤差<6%,得r=234,124 時決策變量范圍分別為X(1){1,2,3,···,16},X(2){3,4,5,···,16}.利用4.2 節(jié)計算數(shù)據(jù)對擬合得到磁偶極子數(shù)目與誤差的函數(shù),擬合公式為

本實驗實際運行時間與磁偶極子數(shù)目的擬合結(jié)果為

即磁偶極子數(shù)目越大模型運行的時間復(fù)雜度越大.

建立如下多目標方程組

(20) 式和(21)式為關(guān)于潛艇分割規(guī)律的多目標最優(yōu)化問題,接下來研究該問題的求解算法[31].目前基于帕累托最優(yōu)概念的遺傳算法包括:非支配排序遺傳算法(NSGA)、帶精英策略的非支配排序的遺傳算法(NSGA-II)[32,33]等.NSGA 計算復(fù)雜度較高、算法的執(zhí)行速度也較慢;NSGA-II 在NSGA的基礎(chǔ)上通過快速非支配排序法,降低了算法的計算復(fù)雜度、提出了擁擠度和擁擠度比較算子,代替了需要指定共享半徑的適應(yīng)度共享策略,引入精英策略,擴大采樣空間具有很好的適用性,NSGA-II具體步驟[34]包括:

1)對運行參數(shù),交叉率、變異率、交叉分布指數(shù)、變異分布指數(shù)進行初始化,在解空間內(nèi)隨機生成個體數(shù)為N的初始種群Pt,t=0,并將其作為父代種群;

2)父代種群Pt進行二元競賽選擇、模擬二進制交叉、多項式變異操作,產(chǎn)生種群Qt,并將Qt作為子代種群;

3)將Pt和Qt融合在一起,作為規(guī)模為2N的臨時種群Rt,對其進行快速非支配排序和擁擠度計算,根據(jù)個體的非支配排序分層序號和個體的擁擠距離選擇出最優(yōu)的N個個體作為下一代進化操作中的父代種群Pt,t=t+1;

4)判斷迭代次數(shù)是否等于預(yù)設(shè)上限值,如果等于則結(jié)束運行,否則跳轉(zhuǎn)到第2)步.

已知X(1){1,2,3,···,16},X(2){3,4,5,···,16},參數(shù)選擇如下:最優(yōu)前端個體系數(shù)為0.3,種群大小為100,最大遺傳代數(shù)為200,停止代數(shù)為200,適應(yīng)度函數(shù)偏差為1×10–100,得Pareto 前沿.

按照實驗參數(shù),利用r=234,124 距離處的擬合方程,得到圖9 所示的帕累托最優(yōu)解集,橫縱坐標分別為對模型相對誤差和運算時間.從圖9 可以看出,隨著磁偶極子數(shù)目的增多,對應(yīng)的 Pareto最優(yōu)集的建模擬合相對誤差整體減少,計算量整體增大,取誤差與計算量的折中數(shù)據(jù),即運行時間在t1∈[0.3,1],t2∈[1,2.7]范圍內(nèi),磁偶極子數(shù)為N1∈[3,6],N2∈[7,12] ,相對誤差為E1[0.25%,0.5%],E2[0.4%,0.8%],若要盡可能小地減少相對誤差,可選擇Pareto 前沿中剛處于平衡處的點,可以保證誤差較小的同時盡量減少運行時間.接下來對不同距離處的時間與模型相對誤差的最優(yōu)解進行分析,結(jié)果如表3 所列.可以看出,當r=124 時磁偶極子數(shù)目為8,模型相對誤差為0.60%;當r=300時磁偶極子數(shù)目為5,模型相對誤差為0.30%.可以得到當距離較近時模型不易達到穩(wěn)定點,隨著測量距離的逐漸增大,模型時間復(fù)雜度與模型誤差達到穩(wěn)定的數(shù)值逐漸減少,且相對磁偶極子數(shù)目逐漸穩(wěn)定.在距離較遠、對誤差要求較高時,如需考慮時間復(fù)雜度,可將磁偶極子數(shù)目控制在5 個以內(nèi),可以達到二者的相對最優(yōu)解.

表3 平衡點附近磁偶極子數(shù)目及相對誤差值Table 3. Number of magnetic dipoles near equilibrium point and relative error.

圖9 (a) r=234 和(b) r=124 時Pareto 前沿Fig.9.Pareto front for (a) r=234 and (b) r=124.

該模型能夠有效地維護群體多樣性,當不同的實驗要求對目標偏重有所不同時,此方法可求解得到多個關(guān)于顯著差別的精度與效率的最終解,提供了多個具有較大差異的選擇方案;模型具有較好的收斂性,最終解可以較好地接近帕累托前沿,保證了所求解的真實性.

6 結(jié)論

本文圍繞磁偶極子陣列模型的適用性、實現(xiàn)潛艇磁場高精度高效率建模的目的進行研究.在對磁偶極子陣列模型的研究中,通過連續(xù)模型離散化產(chǎn)生的余項公式對陣列模型誤差及磁體模擬法產(chǎn)生的擬合誤差、算法誤差、磁偶極子距離數(shù)目差異引起的模型誤差進行分析,來研究模型的適用性條件.首先利用復(fù)化中矩形公式法、Gauss-Legendre法對磁偶極子陣列模型余項進行推導(dǎo),并通過余項估算及模型求解過程中產(chǎn)生的一系列誤差對磁偶極子模型的適用進行分析,積分余項即為數(shù)值積分產(chǎn)生的截斷誤差,可歸結(jié)為離散誤差.通過與復(fù)化中矩形法對比得到 Gauss-Legendre 法在對磁偶極子積分模型離散化的過程更易達到有效建模距離,該方法得到的磁偶極子陣列模型對磁偶極子分布的位置與磁偶極子所占的比例進行了規(guī)劃,較復(fù)化中矩形法更為合理.

同時對模型誤差進行分析,根據(jù)磁偶極子陣列模型、積分模型,得到不同距離、不同磁偶極子數(shù)目的磁偶極子陣列模型的相對誤差及其收斂性.得到磁偶極子模型的適用范圍,其中在>2.3 倍潛艇距離外將磁性均勻潛艇等價為單磁偶極子模型具有較高的精度,當距離較近時需對模型進行分割從而達到模型的適用范圍.在求解過程中此方法表現(xiàn)出了很強的簡便性與適用性.

考慮到潛艇磁性中部與尾部存在較大差異,為充分展現(xiàn)磁偶極子分布不均勻?qū)δＰ驮斐傻挠绊?對潛艇首尾至中部的磁性差異呈線性下降的形式進行了分析,發(fā)現(xiàn)不均勻潛艇求解過程中增加磁偶極子數(shù)目可以有效提高模型精度,且重心的選取尤為重要.

為實現(xiàn)潛艇磁場高精度高效率建模,在充分考慮建模的相對誤差與磁偶極子數(shù)目基礎(chǔ)上構(gòu)造多目標函數(shù)優(yōu)化模型,通過NSGA-II 算法提出了建模相對誤差小于6%的精度與運算效率的相對最優(yōu)解,仿真分析結(jié)果表明該方法能較快地對實驗數(shù)據(jù)進行分析,得到符合人們需求的最佳磁偶極子數(shù)目,能夠有效地在實際工程中應(yīng)用.