榮繼綱，黃友劍，卜繼玲，楊 軍*

（1.湖南工業(yè)大學 包裝與材料工程學院，湖南 株洲 412007；2.株洲時代新材料科技股份有限公司，湖南 株洲 412007）

橡膠材料具有良好的粘彈特性，因此被廣泛應(yīng)用于軌道車輛、汽車、工程機械以及減隔振領(lǐng)域[1-6]。橡膠材料的粘彈行為是橡膠分子內(nèi)部滑移摩擦而導致的應(yīng)變滯后于應(yīng)力的結(jié)果。在靜態(tài)時，橡膠材料的粘彈特性表現(xiàn)為與時間相關(guān)的應(yīng)力松弛和蠕變行為，即模量隨時間衰減。為表征隔振橡膠材料這一復雜的粘彈行為，R.K.LUO等[7]在本構(gòu)模型中引入蠕變的強化和軟化系數(shù)，以描述橡膠材料的蠕變特性。L.M.YANG等[8-9]提出了基于Yeoh本構(gòu)方程的粘彈模型，并將其應(yīng)用在沖擊仿真中。B.BERNSTEIN等[10]對不可壓縮的固體和流體的粘彈本構(gòu)方程進行了推導，構(gòu)建了適用于橡膠材料粘彈特性的積分型BKZ本構(gòu)模型。

本工作基于橡膠材料的應(yīng)力松弛試驗，構(gòu)建復合粘彈模型，完成一種包裝用隔振橡膠材料的粘彈本構(gòu)參數(shù)擬合，并將表征粘彈特性的Prony級數(shù)因子引入Ogden超彈本構(gòu)方程，以期對該橡膠材料在簡單應(yīng)變模式下的粘彈行為和沙漏彈簧的蠕變規(guī)律進行仿真計算和試驗驗證。

1 典型應(yīng)變水平的應(yīng)力松弛試驗

1.1 單軸拉伸應(yīng)力松弛試驗

為研究包裝用隔振橡膠材料的靜態(tài)粘彈特性，探討其粘彈行為以及表征粘彈行為的本構(gòu)方程，對該材料進行單軸拉伸應(yīng)力松弛試驗。試驗設(shè)備為EPLEXOR 500N型動態(tài)熱力學分析儀（見圖1），試樣為啞鈴形（見圖2），試驗溫度為23 ℃，應(yīng)力松弛時間為2 000 s，應(yīng)變?yōu)?.1，0.25，0.5，1.0，1.5和2.0。試驗得到不同應(yīng)變下的應(yīng)力松弛曲線，如圖3所示。

1.2 試驗數(shù)據(jù)歸一化

為判斷不同應(yīng)變工況下橡膠材料的粘彈行為是線性還是非線性，對測試獲得的應(yīng)力松弛數(shù)據(jù)進行基于時間的模量數(shù)據(jù)歸一化處理，即計算不同時間下彈性模量（Ei）與初始彈性模量（E0）之比：

歸一化后的應(yīng)力松弛曲線如圖4所示。從圖4可以看出：應(yīng)變在0.10～2.00這一應(yīng)變區(qū)間，該橡膠材料的粘彈行為是非線性的；應(yīng)變?yōu)?.25與0.50時，應(yīng)力松弛曲線幾乎可以重合，其粘彈行為可視為近似線性；應(yīng)變?yōu)?.00與1.50時，其粘彈行為也可視為近似線性；當應(yīng)變?yōu)?.10時，其粘彈行為明顯獨立于其他應(yīng)變水平。

2 粘彈本構(gòu)模型及其參數(shù)擬合

2.1 粘彈本構(gòu)模型

隔振橡膠材料的粘彈行為可抽象為彈性行為與粘性行為的復合。當橡膠材料承受小應(yīng)變時，橡膠材料的粘彈性可視為遵從胡克定律的線性彈性行為和服從牛頓定律的線性粘性行為[11-13]。目前描述橡膠材料粘彈特性的本構(gòu)模型有Maxwell模型和Kelvin模型，但是這些單一模型無法準確表征隔振橡膠材料的粘彈行為。為此，將Kelvin模型和Maxwell模型進行組合，構(gòu)建一組由（N－1）個Kelvin模型單元和1個Maxwell模型單元組合而成的Prony級數(shù)模型（見圖5）。

為表征隔振橡膠材料基于時間相關(guān)性的蠕變或松弛行為，其松弛彈性模量的Prony級數(shù)方程可表述為

對上式兩邊同除以G0，則Prony級數(shù)可表示為一個無維度的縮放因子[P（τ）]

式中，G0和G（τ）分別為初始模量和時間為τ的模量，均為材料參數(shù)。

根據(jù)無維度的縮放因子，選擇Ogden-3超彈本構(gòu)方程及其參數(shù)來表征隔振橡膠材料的超彈特性。Ogden-3超彈本構(gòu)方程參數(shù)見表1。

表1 Ogden-3超彈本構(gòu)方程參數(shù)Tab.1 Parameters of Ogden-3 hyperelastic constitutive equation

2.2 粘彈本構(gòu)參數(shù)擬合

借助有限元分析軟件Abaqus中的Evaluate Material模塊，設(shè)置初始應(yīng)變?yōu)?.5，用Prony級數(shù)模型進行擬合，得到隔振橡膠材料不同級數(shù)（N）下歸一化模量-時間擬合曲線，如圖6所示。

從圖6可以看出：當N為1時，擬合效果較差；當N為2時，擬合效果較好；當N為3時，擬合未能滿足收斂性條件，擬合失??；當N為4時，擬合效果達到最佳。當N為4時Prony級數(shù)模型的1—4階等效剪切模量分別為－6.081×10-3，9.486 2×10-2，7.157 6×10-2和7.929 8×10-2，等效松弛時間分別為0.342 6，3.876 4，46.457和673.10。

3 簡單應(yīng)變模式下的蠕變特性

3.1 簡單應(yīng)變模式下的粘彈本構(gòu)方程

隔振橡膠材料的簡單力學特性包括單軸拉伸、雙軸拉伸和平面拉伸特性。為獲得簡單應(yīng)變模式下隔震橡膠材料的蠕變行為，將表征靜態(tài)粘彈特性的Prony級數(shù)因子代入Ogden-N超彈本構(gòu)方程，可得到基于時間效應(yīng)的應(yīng)變能密度（U）方程。

對于單軸拉伸模式，λ2＝λ3＝λ1-1/2，其應(yīng)變能密度函數(shù)公式可表示為

對于平面拉伸模式，λ2＝1，λ3＝λ1-1，其應(yīng)變能密度函數(shù)公式可表示為

對于雙軸拉伸模式，λ2＝λ1，λ3＝λ1-2，其應(yīng)變能密度函數(shù)公式可表示為

式中，λ1，λ2和λ3分別為橡膠在X，Y和Z方向上的伸長率。

3.2 簡單應(yīng)變模式下的蠕變計算

為研究不同初始應(yīng)變下隔振橡膠材料單軸拉伸、雙軸拉伸和平面拉伸模式蠕變應(yīng)變隨時間的變化規(guī)律，特設(shè)置3個初始應(yīng)變水平，即初始應(yīng)變?yōu)?.5，1.0和2.0，以觀察不同應(yīng)變水平對蠕變量的影響。當初始應(yīng)變分別為0.5，1.0和2.0時，應(yīng)用3種模式下的應(yīng)變能密度函數(shù)公式，可得到隔振橡膠材料在單軸拉伸、雙軸拉伸和平面拉伸模式下經(jīng)歷1 000 s累計發(fā)生的蠕變量，如圖7所示。

從圖7可以看出：當初始應(yīng)變?yōu)?.5時，3種模式的蠕變應(yīng)變幾乎相當，且雙軸拉伸模式的蠕變應(yīng)變介于平面拉伸與單軸拉伸模式之間；當初始應(yīng)變?yōu)?.0時，單軸拉伸模式的蠕變應(yīng)變小于平面拉伸模式的蠕變應(yīng)變，但二者幾乎相當，因此可用單軸拉伸模式的蠕變或松弛數(shù)據(jù)代替平面拉伸模式的剪切蠕變或松弛數(shù)據(jù)；當初始應(yīng)變?yōu)?.0（大應(yīng)變）時，雙軸拉伸模式的蠕變應(yīng)變遠小于平面拉伸和單軸拉伸模式的蠕變應(yīng)變，且單軸拉伸和平面拉伸模式的蠕變曲線幾乎重合。

同理可計算不同初始應(yīng)變下，單軸拉伸、雙軸拉伸和平面拉伸模式在經(jīng)歷1 000 s時的蠕變應(yīng)變（見圖8）。從圖8可以看出：初始應(yīng)變越大，蠕變應(yīng)變也越大；單軸拉伸模式與平面拉伸模式的蠕變應(yīng)變幾乎相同；在大應(yīng)變工況下，雙軸拉伸模式的蠕變應(yīng)變要明顯小于其他2種拉伸模式的蠕變應(yīng)變，表明隔振橡膠材料采用雙軸拉伸模式具有較強的抗蠕變能力。

4 沙漏彈簧的蠕變仿真與試驗驗證

沙漏簧是一種橡膠/金屬復合的厚制品橡膠減振元件，可承受壓縮載荷[14]。長時間壓縮承載的過程中，會表現(xiàn)出位移隨時間漸進式增大的趨勢。為設(shè)計和控制沙漏彈簧這一蠕變行為，對沙漏彈簧進行仿真建模，借助有限元分析軟件Abaqus軟件平臺的static/general模塊，分別選用C3D8H和C3D8R單元模擬橡膠變形和隔板，計算垂向預壓縮載荷為150 kN的變形行為，然后借助Visco模塊模擬沙漏彈簧經(jīng)歷壓縮10 000 min后的蠕變量。沙漏彈簧蠕變仿真與試驗如圖9所示，沙漏彈簧經(jīng)過10 000 min后的蠕變量如圖10所示。

從圖10可以看出，扣除靜態(tài)預壓縮產(chǎn)生的位移量，仿真獲得的純?nèi)渥兞繛?.2 mm，試驗得到的蠕變量為5.3 mm，仿真與試驗的蠕變量誤差為17.0%，表明該蠕變仿真預測方法對于預測沙漏彈簧的蠕變是可行的，在工程上是可接受的。

5 結(jié)論

本工作應(yīng)用Prony級數(shù)模型對隔振橡膠材料的應(yīng)力松弛數(shù)據(jù)進行擬合，并將擬合參數(shù)應(yīng)用于隔振橡膠材料簡單應(yīng)變模式下的蠕變特性研究，得到結(jié)論如下。

（1）隔振橡膠材料的應(yīng)力松弛數(shù)據(jù)歸一化分析表明，隔振橡膠材料的粘彈行為是非線性的，但在一些應(yīng)變區(qū)域內(nèi)，可將其粘彈特性近似認為線性。

（2）在Ogden超彈本構(gòu)方程中引入Prony級數(shù)因子，得到描述隔振橡膠材料基于彈性與粘性的復合的粘超彈本構(gòu)方程。

（3）隔震橡膠材料單軸拉伸和平面拉伸模式的蠕變應(yīng)變幾乎相同，可用單軸拉伸模式的蠕變或松弛數(shù)據(jù)替代平面拉伸模式的剪切蠕變或松弛數(shù)據(jù)。

（4）隔震橡膠材料雙軸拉伸模式的蠕變應(yīng)變相對較小，表明其采用雙軸拉伸模式有更好的抗蠕變效果，可為減振產(chǎn)品設(shè)計提供理論支撐。

（5）沙漏彈簧蠕變量的有限元仿真與試驗結(jié)果基本吻合，表明預測沙漏彈簧的蠕變方法是可行的，在工程上是可接受的。