振動臺開環(huán)系統(tǒng)辨識與LSTM網(wǎng)絡(luò)模擬

紀(jì)金豹，李文月，武劍峰

（北京工業(yè)大學(xué)工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點實驗室，北京 100124）

引言

作為一種具有特殊技術(shù)優(yōu)勢的結(jié)構(gòu)試驗設(shè)備，地震模擬振動臺在土木與地震工程領(lǐng)域中發(fā)揮著不可替代的作用。振動臺試驗是研究和評價結(jié)構(gòu)抗震性能的主要方法之一［1］。能夠準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)地震波形是地震模擬振動臺的基本功能，然而由于振動臺系統(tǒng)的復(fù)雜性，其性能受到諸多因素的影響［2］。獲得一個高精度的振動臺系統(tǒng)模型是開展振動臺系統(tǒng)分析和控制算法設(shè)計的前提條件，振動臺模型的模擬精度直接決定了控制算法仿真的有效性和控制系統(tǒng)開發(fā)的效率。

考慮系統(tǒng)分析的可行性，早期的振動臺系統(tǒng)模型通?；诰€性系統(tǒng)假設(shè)，通過系統(tǒng)各環(huán)節(jié)分析得到單軸或多自由度系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型［3－4］，模型參數(shù)一般可通過理論計算、掃頻或白噪聲試驗得到［5－6］，伺服閥和傳感器等環(huán)節(jié)的動態(tài)特性都對開環(huán)傳遞函數(shù)模型的階次和參數(shù)取值產(chǎn)生影響［7－14］，并且振動臺系統(tǒng)中包含了大量的非線性環(huán)節(jié)［2］，這些因素都對系統(tǒng)模型的精度和可用性產(chǎn)生重要的影響，這些非線性因素主要包括伺服閥非線性［8－11］（死區(qū)、重疊、壓力損失和流量增益等）、密封摩擦［12］、球鉸和螺栓間隙、試件剛度退化［13］、幾何效應(yīng)（作動器大位移效應(yīng)）等。此外，油源供油能力、蓄能器容量、作動器剛度和振動臺基礎(chǔ)變形等也會對系統(tǒng)特性產(chǎn)生不可忽略的影響［15］。雖然考慮非線性的精細(xì)化系統(tǒng)模型更符合實際系統(tǒng)特性，但由于其分析和求解極為困難，為了簡化系統(tǒng)分析的需要，一般只能對系統(tǒng)非線性環(huán)節(jié)進(jìn)行等效線性化處理［16］。物理仿真建模軟件（如Easy5、Simscape、ASMSim 等）可以基于模塊框圖建立系統(tǒng)級的物理組件模型［17－20］，日益成為一種更為有效的系統(tǒng)建模與仿真工具，但物理模型的非線性參數(shù)相對難以確定，因此，尋找一種既能夠充分考慮真實振動臺系統(tǒng)特性又容易通過辨識得到的精細(xì)化模型依然是振動臺系統(tǒng)分析與控制研究的重要課題之一。

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有強(qiáng)大的非線性表達(dá)能力、并行處理能力、自學(xué)習(xí)和自組織能力［21］，尤其以深度學(xué)習(xí)為代表的人工智能技術(shù)在模式識別、系統(tǒng)辨識和系統(tǒng)控制等領(lǐng)域取得了舉世矚目的成功［22］，其中，對于語音識別、文本翻譯等具有前后邏輯關(guān)系的序列信息的處理，需要采用具有儲存先前上下文信息的RNN模型（RNN是循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的縮寫，循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是對時間序列的展開，遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是對空間序列的展開，二者縮寫相同，其應(yīng)用上存在差別，某種程度上可以認(rèn)為循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一種變體［23］）。循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RNN）循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有記憶性、參數(shù)共享等特性，因此在對序列的非線性特征進(jìn)行學(xué)習(xí)時具有一定優(yōu)勢［24］。循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論上可以處理任意長度的數(shù)據(jù)，但在實際應(yīng)用中，隨著隱藏層神經(jīng)元數(shù)量的增多，網(wǎng)絡(luò)難以保證準(zhǔn)確的長序列狀態(tài)傳輸。長短期記憶網(wǎng)絡(luò)（long short-term memory，LSTM）模型解決了普通RNN 算法復(fù)雜的長時間依賴問題［25］。由于離散化的振動臺開環(huán)模型是一種典型的時間序列，預(yù)計可以采用LSTM網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行準(zhǔn)確的模擬。

文中利用實際振動臺的白噪聲試驗測試結(jié)果，基于最小二乘法辨識得到其單軸傳遞函數(shù)模型，推導(dǎo)了閉環(huán)和開環(huán)傳遞函數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，從而得到系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，基于該模型重新生成仿真數(shù)據(jù)用于對LSTM循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行了訓(xùn)練和測試，驗證了LSTM網(wǎng)絡(luò)模型用于振動臺開環(huán)系統(tǒng)模擬的可行性。

1 原理與方法

1.1 系統(tǒng)模型辨識原理

在三參量控制下，單軸振動臺的閉環(huán)特性可以通過閉環(huán)系統(tǒng)的實測數(shù)據(jù)辨識得到閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。振動臺開環(huán)系統(tǒng)特性的獲取相對困難，但由于振動臺控制系統(tǒng)相應(yīng)參數(shù)已知，因此可以通過振動臺開閉環(huán)模型轉(zhuǎn)換得到振動臺開環(huán)模型。

閉環(huán)傳遞函數(shù)的辨識原理如下，對于n階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如式（1）所示：

假設(shè)辨識得到的傳遞函數(shù)為G(p,θ)，其中，θ表示所要辨識的傳遞函數(shù)的系數(shù)矩陣。則辨識輸出可以表示為如式（2）所示形式，

辨識過程中傳遞函數(shù)的參數(shù)基于最小二乘法進(jìn)行更新，最終目標(biāo)是使加權(quán)預(yù)測誤差范數(shù)最小，最終得到θ的估計值，即如式（3）所示，從而即確定傳遞函數(shù)相應(yīng)參數(shù)以達(dá)到傳遞函數(shù)辨識的目的。

振動臺的開環(huán)傳遞函數(shù)模型的推導(dǎo)過程主要基于方框圖逆向變換的相關(guān)法則［26］：（1）2個信號之間的傳輸?shù)瓜驎r，他們之間的傳遞函數(shù)變成倒數(shù)；（2）在相加點上，如果2個信號改變方向，其余的信號要改變符號；（3）逆向變換過程中，分支點上引出的信號不改變方向。

三參量控制下的單軸振動臺系統(tǒng)構(gòu)成如圖1所示，相應(yīng)的振動臺控制框圖如圖2，可以表達(dá)為如圖3 的形式。其中Ga(S)和Gb(S)分別表示振動臺前饋控制環(huán)節(jié)和反饋環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，由于振動臺三參量控制環(huán)節(jié)的相關(guān)參數(shù)可以從控制軟件直接讀取得到，即前饋環(huán)節(jié)和反饋環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)Ga(S)和Gb(S)可認(rèn)為已知，經(jīng)圖3進(jìn)行逆向變換便可以推導(dǎo)得到系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如式（4）所示，

圖1 振動臺三參量控制原理圖Fig.1 Schematic diagram of three variable control

圖2 振動臺閉環(huán)系統(tǒng)框圖Fig.2 Block diagram of shaking table closed-loop system

圖3 振動臺閉環(huán)系統(tǒng)簡化框圖Fig.3 Simplified block diagram of shaking table closed-loop system

1.2 LSTM網(wǎng)絡(luò)原理

LSTM 網(wǎng)絡(luò)由輸入層、隱藏層和輸出層構(gòu)成，其中隱藏層節(jié)點由一組循環(huán)連接的數(shù)據(jù)單元組成，LSTM 網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)示意圖如圖4所示。每個隱藏層包含一個或多個自鏈接的存儲單元和三個乘法單元（輸入門、輸出門和遺忘門），分別完成隱藏層的寫入、讀取和復(fù)位操作。具體的前向傳播公式如式（5）［27］：

圖4 長短時神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖Fig.4 Structure diagram of LSTM

式中：輸入權(quán)重為{Wf,Wi,WC,Wo}；偏差是{bf,bi,bC,bo}；xt表示模塊t時刻的輸入；ft，it，Ct，ot分別代表t時刻模塊遺忘門輸出，輸入門輸出，細(xì)胞狀態(tài)以及模塊的輸出。

網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練流程圖如圖5 所示。文中選擇了適合大規(guī)模數(shù)據(jù)的ADAM 優(yōu)化算法，通過計算和校正每輪梯度的一矩陣、二矩陣以實現(xiàn)實時調(diào)整學(xué)習(xí)率，其衰減方式類似動量，如式（6）：

圖5 網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練流程圖Fig.5 Network training flow chart

式中，β1，β2∈[ 0,1 )為衰減系數(shù)，偏差修正公式為：

ADAM算法更新公式如下：

1.3 試驗與仿真流程

文中的主要研究目標(biāo)是探討基于LSTM 網(wǎng)絡(luò)對振動臺開環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)模擬的可行性。原則上，為獲取表征真實振動臺特性的網(wǎng)絡(luò)模型，應(yīng)當(dāng)基于振動臺開環(huán)系統(tǒng)的實測數(shù)據(jù)進(jìn)行振動臺開環(huán)網(wǎng)絡(luò)模型訓(xùn)練。但由于訓(xùn)練過程中需要進(jìn)行多次試驗，獲取實測數(shù)據(jù)耗工耗時。為簡化研究工作，文中首先利用實際振動臺的白噪聲試驗進(jìn)行閉環(huán)特性實測，辨識得到振動臺閉環(huán)傳遞函數(shù)模型，進(jìn)而推導(dǎo)得到振動臺系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，以開環(huán)傳遞函數(shù)模型生成的仿真數(shù)據(jù)作為網(wǎng)絡(luò)模型的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，對構(gòu)造的LSTM 網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行了網(wǎng)絡(luò)模擬。

2 試驗測試與辨識

2.1 研究對象

以某3 m×3 m 振動臺做為研究對象，該振動臺為水平雙向臺，其主要性能指標(biāo)如表1所示，為簡化系統(tǒng)建模與仿真，文中選擇該振動臺的X向特性進(jìn)行辨識、建模與網(wǎng)絡(luò)仿真，因此，仿真訓(xùn)練僅考慮了該振動臺的單軸特性。

表1 地震模擬振動臺系統(tǒng)性能參數(shù)指標(biāo)Table 1 Performance parameters of shaking table system

三參量控制下的單軸振動臺系統(tǒng)構(gòu)成如圖2所示，其中，作動器和臺面系統(tǒng)（忽略試件特性的影響）具有3 階傳遞函數(shù)特征，三參量控制器的前饋環(huán)節(jié)是一個2 階傳遞函數(shù)，在考慮傳感器和伺服閥2 階特性的情況下，整個振動臺閉環(huán)系統(tǒng)具有9階的傳遞函數(shù)特性，其開環(huán)系統(tǒng)為7階傳遞函數(shù)。

2.2 系統(tǒng)辨識

激勵信號的選取是系統(tǒng)辨識的關(guān)鍵，激勵信號需要滿足以下條件：（1）持續(xù)激勵，即該信號能夠充分激勵被辨識系統(tǒng)的所有模態(tài)；（2）激勵信號相對被辨識系統(tǒng)要有較寬頻帶。白噪聲是寬帶信號，且功率譜在頻率均勻分布，因此，本文在空載條件下輸入0.075 g白噪聲數(shù)據(jù)，得到的實測輸入輸出信號作為辨識信號。辨識得到9階振動臺閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)如式（9）所示，該傳遞函數(shù)的Bode圖如圖6所示。

圖6 閉環(huán)傳遞函數(shù)Bode圖Fig.6 Bode diagram of the closed loop transfer function

式中：m= 9,n= 6，c0= -8.07 × 1015,c1= 3.131× 1015,c2= -1.255× 1014,c3= 1.836 × 1012,

c4= -2.171× 1010,c5= 9.895× 107,c6= -5.781× 105,d0= 5.717 × 1015,d3= 5.134 × 1012,

d4= 6.696 × 1010,d5= 1.008 × 109,d6= 5.822 × 106,d7= 5.849 × 104,d8= 131.6,d9= 1

如圖7 為白噪聲輸出時域?qū)Ρ染植糠糯髨D，波形相關(guān)系數(shù)為0.91。圖8 為白噪聲輸出的功率譜對比圖。結(jié)果表明，所辨識得到的傳遞函數(shù)模型的時頻域特性與實際輸出基本一致，辨識得到的傳遞函數(shù)模型可以表征辨識對象的特征。

圖7 時程對比圖Fig.7 Comparison diagram of time history

圖8 功率譜對比圖Fig.8 Comparison diagram of power spectrum

振動臺控制環(huán)節(jié)的相應(yīng)參數(shù)已知，可以分別得到三參量前饋環(huán)節(jié)和反饋環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)如下：

根據(jù)式（4）推導(dǎo)可以得到開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如式（12）所示，其Bode圖如圖9所示。

圖9 振動臺開環(huán)傳遞函數(shù)Bode圖Fig.9 Bode diagram of the open loop transfer function

式中：m=7,n=4，c0=0,c1=0,c2=6.938×1014,c3=-1.444×1012,c4=1.889×109,d0=3.122×1016,d1=1.495×1015,d2= 1.71× 1013,d3= 1.559 × 1011,d4= 5.961× 108，d5=1.558×106,d6=2150,d7=1。

3 LSTM網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練與評估

3.1 訓(xùn)練數(shù)據(jù)的獲取

選取Chichi 波、El Centro 波、Taft 波等25 條常用地震波，基于開環(huán)傳遞函數(shù)進(jìn)行仿真，最終得到25 組地震波輸入輸出數(shù)據(jù)做為訓(xùn)練數(shù)據(jù)來完成網(wǎng)絡(luò)模型的訓(xùn)練，用另外的5 組地震波進(jìn)行仿真得到的地震波數(shù)據(jù)做為測試數(shù)據(jù)對網(wǎng)絡(luò)模型的泛化能力進(jìn)行測試。

3.2 網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練與測試

網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練流程圖如圖10所示。文中采用的LSTM網(wǎng)絡(luò)模型由以下結(jié)構(gòu)構(gòu)成：輸入層、隱藏層以及全連接層。其中輸入層選取了序列輸入層，隱藏層即LSTM 層選取20 個節(jié)點，用于接收輸入層傳輸?shù)臅r間序列信號，LSTM 層輸出的時序信號經(jīng)全連接層后輸出也為時間序列信號。選擇適合大規(guī)模數(shù)據(jù)的ADAM 優(yōu)化器作為優(yōu)化函數(shù)，并設(shè)置了自動下降的學(xué)習(xí)率。設(shè)置了迭代次數(shù)為5 000 次，以均方根誤差（RMSE）作為模型訓(xùn)練精度的評價指標(biāo)，其表達(dá)式如式（13）所示，

式中：y(i)為傳遞函數(shù)輸出的目標(biāo)值值；)為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型輸出值；N為數(shù)據(jù)樣本數(shù)。

其隨迭代次數(shù)的變化如圖10 所示。由圖可見，均方根誤差在迭代前2 000 次有較明顯的下降，迭代2 000 次以后基本趨于平緩，迭代4 000 次以后只有微小的變化，繼續(xù)增加迭代次數(shù)并不會對網(wǎng)絡(luò)模型訓(xùn)練精度有明顯的提高。

圖10 訓(xùn)練進(jìn)程圖Fig.10 Training progress diagram

為驗證網(wǎng)絡(luò)模型的訓(xùn)練精度和泛化能力，基于測試集對網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行了驗證，網(wǎng)絡(luò)模型的輸出與目標(biāo)輸出的波形相關(guān)系數(shù)均≥0.96，以下給出了其中一個驗證集的驗證結(jié)果圖，如圖11為目標(biāo)輸出與網(wǎng)絡(luò)輸出時程對比圖，圖12 為其局部放大圖，目標(biāo)輸出與網(wǎng)絡(luò)輸出的波形相關(guān)系數(shù)為0.99，均方誤差為1.268 4 × 10-4。測試結(jié)果表明該LSTM開環(huán)網(wǎng)絡(luò)模型具有理想的訓(xùn)練精度和泛化能力，得到的LSTM網(wǎng)絡(luò)模型能夠很好的表征開環(huán)傳遞函數(shù)模型的特征。

圖11 測試集時程對比圖Fig.11 Comparison diagram of test set

圖12 測試集時程對比局部發(fā)大圖Fig.12 Partial enlarged diagram of test set

4 結(jié)論

（1）文中基于最小二乘原理對單軸振動臺閉環(huán)特性進(jìn)行了傳遞函數(shù)辨識，并基于閉環(huán)－開閉環(huán)模型轉(zhuǎn)換得到振動臺的單軸開環(huán)傳遞函數(shù)?；贚STM 網(wǎng)絡(luò)對振動臺開環(huán)模型進(jìn)行了模擬，測試結(jié)果表明該LSTM 模型具有很好的訓(xùn)練精度和泛化能力，由此說明LSTM網(wǎng)絡(luò)具有應(yīng)用于振動臺開環(huán)系統(tǒng)特性模擬的巨大潛力。

（2）文中研究工作是開展振動臺系統(tǒng)影響因素分析和控制算法改進(jìn)和優(yōu)化的基礎(chǔ)，可為復(fù)雜高性能地震模擬振動臺的算法設(shè)計和系統(tǒng)仿真提供了依據(jù)所參考和借鑒。

（3）由于振動臺系統(tǒng)的復(fù)雜性，建立能夠充分反映振動臺系統(tǒng)特性的數(shù)值模型仍然是開展振動臺控制算法設(shè)計和優(yōu)化的重大挑戰(zhàn)之一，循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)尤其是LSTM 網(wǎng)絡(luò)具有強(qiáng)大的非線性表達(dá)能力，可以用于振動臺開環(huán)系統(tǒng)模擬和控制系統(tǒng)分析。受研究周期限制，文中尚未開展多自由度振動臺系統(tǒng)特性和直接利用實測數(shù)據(jù)進(jìn)行LSTM 網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練等工作，在進(jìn)一步研究中將考慮基于包含試件模型的多自由度振動臺系統(tǒng)模型的深度網(wǎng)絡(luò)建模與仿真工作。