潘蘇

排列組合問題側(cè)重于考查分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理.排列組合問題有很多種類型，如分配問題、分組問題、定序問題、相鄰問題等.每一類題目的求解方法都不相同，下面結(jié)合實例來談一談下列幾類排列組合問題的解法.

一、分配問題

例1.要在7個班中選出10名學(xué)生參加比賽，要求每個班至少一個名學(xué)生，則一共有____種分配方案.

分析：可采用隔板法，把6個隔板插入10個元素之間的9個空位中，就可以將10個名額分為7份，且每份至少有一個名額.

解：因為10個名額無差別，可以將其排成一排，那么相鄰名額之間形成9個空位，在9個空位中插入6個隔板，就能將10個名額分為7份，分給7個班級，則有C6= 84種分配方法.

二、元素相鄰問題

有些排列組合問題要求某些元素相鄰，此時可采用捆綁法求解.首先把要求相鄰的元素捆綁在一起，看成一個大元素，然后將這個大元素和其他元素放在一起排列，再排列大元素內(nèi)部元素的順序，最后根據(jù)分步計數(shù)原理求得問題的答案.

例2.7個人站成一排，其中A與B必須相鄰，C與D必須相鄰，一共有____種排法.

分析：元素A與B、C與D要求相鄰，則需采用捆綁法求解，將其捆綁起來，看成一個大元素，再與其他元素一起排列.

三、特殊元素問題

有些排列組合問題中的一些元素或者位置有特殊要求，在解題時往往要采用優(yōu)先法，即先排列特殊元素的順序或位置，然后再排列剩下的元素的位置或者順序，最后根據(jù)計數(shù)原理求得所有排列的順序數(shù).

例3.將8名同學(xué)排成兩排，每排4個人.其中4同學(xué)要求坐在第一排，B同學(xué)不坐第二排的兩端，則一共有____種排法.

分析：問題中A、B兩名同學(xué)有特殊要求，可將其看作特殊元素，采用優(yōu)先法求解.先根據(jù)其要求排列A、B兩名同學(xué)的位置，再排列其他同學(xué)的位置和順序.

解：分為兩種情況：

四、定序問題

有些排列組合問題中要求某些元素的順序不變.解答此類定序問題，通常采用縮倍法.其解題思路為：①將所有元素隨意排列;②排列要求順序不變的元素的順序;③將所得的兩個排列數(shù)相除即可.

例4. 12名同學(xué)排成一列，若甲同學(xué)要排在乙同學(xué)的前面，則有____種排法.

由此可見，問題中元素的排列要求不同，求解的方法也不相同.在解答排列組合問題時，要首先分析問題中對元素的排列要求，如相鄰、定序、分組、分配等，再選擇與之相應(yīng)的方法進(jìn)行求解.同時要注意避免漏解、多解的情況出現(xiàn).