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      第5屆世界數(shù)學(xué)團(tuán)體錦標(biāo)賽少年組試題

      2022-07-24 10:20:11
      數(shù)理天地(初中版) 2022年7期
      關(guān)鍵詞:正整數(shù)整數(shù)倍數(shù)

      (2014.11北京)

      團(tuán)體賽

      1.已知A+B+C=1,B+C+D=2,C+D+E=3,D+E+F=4,E+F+G=5,F(xiàn)+G+H=6,G+H+I=7,求A+E+I.

      2.如圖1,某飛鏢游戲設(shè)置了從0號(hào)到30號(hào)共31種獎(jiǎng)品,游戲規(guī)則是:靶盤上的數(shù)字為每次飛鏢落在該區(qū)域時(shí)對(duì)應(yīng)的得分,脫靶得0分.每位游戲者投鏢三次,得分的總和為對(duì)應(yīng)獎(jiǎng)品的號(hào)碼.問:有幾個(gè)號(hào)碼對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)品不會(huì)被得到?

      3.已知ab≠1,且{5a2+1001a+1025=0,1025b2+1001b+5=0,

      求ab的值.

      4.如圖2,正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2,以BC邊為直徑作半圓O,點(diǎn)F在CD上,AF切半圓O于點(diǎn)E,求ED.

      5.已知x2x2+9x+2=13,求x22x4+x2+2的值.

      6.已知2014年11月11日是星期二.下面是2014年的六個(gè)日期:

      (1)2月2日,(2)4月4日,

      (3)6月6日,(4)8月8日,

      (5)10月10日,(6)12月12日.

      請(qǐng)寫出其中不是星期五的序號(hào).

      7.已知關(guān)于x的不等式組x+13-t>2xx2-8x-9<0恰有3個(gè)整數(shù)解,求整數(shù)t的最小值.

      8.如圖3,圓O′與半徑為20的圓O切于點(diǎn)P,正方形ABCD的頂點(diǎn)A,B在圓O上,與圓O′切于點(diǎn)M,且AB⊥PM.若AB=24,求圓O′的半徑.

      9.圖書館內(nèi),在標(biāo)有號(hào)碼1,2,3,4的書架上分別有書120,135,142,167本.若干天后,每個(gè)書架上都各被借出a本書,又過了若干天,四個(gè)書架又分別被借出0,b,c,d本書,并且四個(gè)書架上余下同樣本數(shù)的書.若b,c,d≥1,b+c+d=a,問:兩次借出書后,1號(hào)書架剩有幾本書?

      10.r和s是方程x2+bx+c=0的兩個(gè)根,r和t是方程x2+cx+b=0的兩個(gè)根.b和c是不相等的實(shí)數(shù),求s+t.

      11.如圖4,在長(zhǎng)方形ABCD中,點(diǎn)E在AD上,AE∶ED=3∶5,AC⊥BE于點(diǎn)F,CD=9.求BC∶BA.

      12.從1到2014的自然數(shù)中取出n個(gè),若其中任意2個(gè)數(shù)的差都不等于3,求n的最大值.

      13.如圖5,長(zhǎng)方形ABCD的頂點(diǎn)A在直線y=x上,點(diǎn)B在曲線y=1x上,點(diǎn)C,D在x軸上.若AB=2BC,求長(zhǎng)方形ABCD的面積.

      14.如圖6,已知圓O的半徑是r,圓O′的半徑是11,圓O′在圓O內(nèi),點(diǎn)O在圓O′內(nèi),圓O的弦AB切圓O′,若40≤AB≤48,求OO′.

      15.已知a,b,c都是正整數(shù),且5a+4b+3c能被13整除,求3a+5b+7c+2014除以13得到的余數(shù).

      16.如圖7,點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心,OM⊥DE于點(diǎn)M,N為OM的中點(diǎn).若S△FAN=10,求正六邊形ABCDEF的面積.

      17.如圖8,已知正方形ABCD,點(diǎn)E在CD上,延長(zhǎng)BC,AE交于點(diǎn)F,若S正方形ABCD=S△CFE,求CEED.

      18.棱長(zhǎng)分別是整數(shù)a,b的兩個(gè)正方體體積的和與棱長(zhǎng)的和的比是27,求a+b.

      19.拋物線C:y=12x2+bx-1與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn),這三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形,將C向下平移5個(gè)單位,三角形的面積變?yōu)樵瓉淼?4倍,求b.

      20.江邊的旅游碼頭,原計(jì)劃每8分鐘發(fā)出1條船,每條船在江上航行80分鐘,回到碼頭時(shí),恰好可以遇到按時(shí)發(fā)出的另一條船.按此計(jì)劃,該碼頭現(xiàn)有的a條船恰好夠用.此時(shí),若又有2條新船投入使用,那么,發(fā)船的時(shí)間間隔可比原計(jì)劃減少幾分鐘?

      接力賽

      1A.如圖9所示,已知圓O的半徑圖9是3,圓P的半徑是7,OP=26,直線AB與兩圓分別切于點(diǎn)A,B,求AB.

      1B.設(shè)前面隊(duì)友傳來的答案是T.

      如果九位數(shù)123456abc被37除,得余數(shù)是T,求最小的三位數(shù)abc.

      2A.三個(gè)不同質(zhì)數(shù)的和的平方是三位數(shù)aa5,求這三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積.

      2B.設(shè)前面隊(duì)友傳來的答案是T.

      0

      如圖10,OAB是半徑為T的四分之一個(gè)圓,點(diǎn)P在弧AB上,若PA<T,且PB<T,求點(diǎn)P所在圓弧的長(zhǎng)度.(圓周率π取3)

      3A.求方程x4-5x3+5x2+5x-6=0的所有根的和.

      3B.設(shè)前面隊(duì)友傳來的答案是T.圖11

      如圖11,已知△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,四邊形ABDE和四邊形BCFG是相同的矩形.若AB=5,AC>BC,S△BDG=T,求S△BDC.

      個(gè)人賽

      1.若a是整數(shù),并且a<2014<a+1,求1+2+3+…+a.

      2.已知{x-14xy+y=13,y+16xy+x=17,

      求x+y.

      2

      3.如圖12,ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形,ED=1,點(diǎn)M在DC邊上運(yùn)動(dòng).當(dāng)△BME的周長(zhǎng)最短時(shí),求MC.

      4.若當(dāng)4≤x≤6時(shí),y=ax2-ax-8-2a>0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

      5.已知ba-ab=a0b-ba,求兩位數(shù)ab.

      3

      6.如圖13,6個(gè)人圍成一圈做傳球游戲,每個(gè)人接到球后傳給和他不相鄰的某一人(如:和A相鄰的是B和F),開始時(shí),球在A的手中,若球被傳遞三次后又回到A,求此種情況出現(xiàn)的概率.

      7.如圖14,已知正方形ABCD,點(diǎn)P在CD上,AP=4.BB′、CC′、DD′分別是點(diǎn)B、C、D到AP的距離,若BB′+CC′+DD′=6,求正方形ABCD的面積.

      4圖15

      8.如圖15所示,求四邊形ABCD的面積.

      6

      9.如圖16,一只甲蟲從字母W開始,沿圖中路線爬行,到達(dá)第四個(gè)字母時(shí)停止,則經(jīng)過的四個(gè)字母正好是WMTC的路線有多少條?

      10.已知x+y=2,x2+y2=4,求x2014+y2014的值.

      7

      11.如圖17,在△ABC中,點(diǎn)E在CB上,∠B=∠C=∠AEM,BE=1,CE=2,AC=4,求AM.

      12.從1到154的自然數(shù)中,求:與154互質(zhì)的所有自然數(shù)的和.

      13.如圖18,面積為2的Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C都在拋物線y=x2上,并且斜邊AB平行于x軸.求點(diǎn)C的縱坐標(biāo).

      8

      9

      14.如圖19,長(zhǎng)方形ABCD中,AB=18,AD=12.圓M和邊AB,BC,CD相切,圓N和邊AD,DC相切,并且和圓M外切.求圓N的半徑的長(zhǎng).

      15.將1到50的所有自然數(shù)依次寫出,組成自然數(shù)

      M=123456789101112…47484950.

      如果M的質(zhì)因數(shù)分解式中3的最高次冪記為3k,求k的值.

      0

      16.如圖20,△ABC中,AB=10,BC=16,∠A=2∠C,求AC.

      參考答案

      團(tuán)體賽

      1.答案:4.

      解將各方程編號(hào)如下

      A+B+C=1,B+C+D=2,C+D+E=3,D+E+F=4,E+F+G=5,F(xiàn)+G+H=6,G+H+I=7,①②③④⑤⑥⑦

      ①+④+⑦,得

      A+B+C+D+E+F+G+H+I

      =1+4+7=12,⑧

      由⑧-②-⑥,得

      A+E+I=12-2-6=4.

      2.答案:6.

      解投鏢一次,可能的得分有:0,2,5,8,10.

      則投鏢三次,得分的和可能是

      0,2,4,5,6,7,8,9,10,12,13,14,15,16,

      17,18,20,21,22,23,24,25,26,28,30.

      不可能是1,3,11,19,27,29,

      所以有6個(gè)號(hào)碼對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)品不會(huì)被得到.

      3.答案:205.

      解在方程1025b2+1001b+5=0的兩邊同除以b2,得

      5(1b)2+1001·1b+1025=0,

      對(duì)比5a2+1001a+1025=0,

      可知a,1b是方程5x2+1001x+1025=0的兩個(gè)根,

      所以ab=a·1b=10255=205.

      4.答案:2105.

      解如圖21,連接OA,OE,OF,從點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G,則OF,OA分別是∠COE和∠BOE的角平分線,

      于是∠FOA=90°,圖21

      OE=OC=1,

      BA=EA=2.

      又OE⊥AF,

      所以△OEF∽△AEO,

      則EFEO=EOEA,

      即EF1=12,

      所以EF=12,

      因?yàn)镋G∥CD,

      所以AGAD=AEAF=EGFD,

      又CF=EF=12,

      所以FD=CD-CF=2-12=32,

      由勾股定理,得

      AF=AD2+FD2=22+(32)2=52,

      故AGAD=AEAF=EGFD=45,

      可得GD=AD-AG=25,

      EG=45FD=45×32=65.

      在Rt△EDG中,由勾股定理,得

      ED=GD2+EG2

      =(25)2+(65)2

      =2105.

      5.答案:115.

      解由題設(shè)知x≠0,故原方程可寫成

      2x2+9x+2x=3,

      即x+1x=-3,①

      因?yàn)閤22x4+x2+2的倒數(shù)是

      2x4+x2+2x2=2x2+2x2+1

      =2(x2+1x2)+1

      =2[(x+1x)2-2]+1,②

      將①式代入②,有

      2×[(-3)2-2]+1=15.

      所以x22x4+x2+2=115.

      6.答案:(1).

      7.答案:-4.

      解由x+13-t>2x,x2-8x-9<0,①

      得x<1-3t5,-1<x<9.②

      由題設(shè)知,關(guān)于x的不等式組①恰有3個(gè)整數(shù)解,

      因?yàn)?1與9之間有9個(gè)整數(shù),所以不等式組②的解是

      -1<x<1-3t5,

      且-1<x<1-3t5,

      僅包括三個(gè)整數(shù)0,1,2,

      由此可得2<1-3t5≤3,

      解得-143≤t<-3,

      所以滿足題意的整數(shù)t的最小值是-4.

      8.答案:6.

      2

      解連接OA.如圖22.

      因?yàn)閳AO,圓O′內(nèi)切,

      所以P、M、O共線,

      設(shè)過P、M、O的直線交AB于N.

      因?yàn)镃D與小圓切于點(diǎn)M,

      所以MN⊥CD,MN⊥AB,

      由垂徑定理,知AN=12AB=12,

      在Rt△OAN中,

      OA2=ON2+AN2,

      即202=ON2+122,

      解得ON=16.

      所以MO=MN-ON

      =CB-ON

      =24-16

      =8.

      從而PM=OP-MO=20-8=12.

      所以圓O′的半徑為

      12÷2=6.

      9.答案:36.

      解依題意,有

      b+c+d=a,120-a=135-(a+b),120-a=142-(a+c),120-a=167-(a+d),①②③④

      由②+③+④,并將①代入,得

      360-3a=444-4a.

      于是a=84.

      1號(hào)書架剩書120-a=36(本).

      10.答案:-1.

      解由于r是兩個(gè)方程的共同根,則有

      {r2+br+c=0,r2+cr+b=0,

      將兩式相減,得

      r(b-c)= b-c.

      因?yàn)閎≠c,

      所以r=1.

      又由根與系數(shù)的關(guān)系,得

      s=c,t=b,

      將r=1代入到任意一個(gè)方程中,得1+b+c=0,

      所以s+t=b+c=-1.

      11.答案:236.

      解由題設(shè),知

      ∠ACB=∠CAD,

      ∠ACB=∠ABE,

      所以Rt△ABC∽R(shí)t△EAB.

      于是BCBA=BAAE,BA2=BC·AE,

      BC·38BC=BA2,

      BC2=83BA2=83CD2=216.

      BC=216,

      則BCBA=216×19=236.

      12.答案:1008.

      解以6個(gè)連續(xù)整數(shù)為一組,每組只取較小的3個(gè)整數(shù)(它們的差最大是2),這樣就可以確保所取出的整數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的差都不等于3.

      又2014÷6=335……4,

      也就是說,若連續(xù)6個(gè)整數(shù)為一組,則2014個(gè)數(shù)可分為335組,還余4個(gè)數(shù)(這4個(gè)數(shù)看作第336組),

      即(1,2,3,4,5,6),(7,8,9,10,11,12),…,

      (2005,2006,2007,2008,2009,2010),

      (2011,2012,2013,2014),

      觀察上面的分組可知,當(dāng)每組只取較小的3個(gè)整數(shù)時(shí),n的值最大,這個(gè)最大值為

      336×3=1008.

      13.答案:23.

      解設(shè)點(diǎn)A(a,a),B(b,1b),則

      由矩形ABCD及AB=2BC,點(diǎn)C,D在x軸上,得

      b-a=2·1b,a=1b,①②

      ②代入①得b-1b=2b,

      b2=3,b=3,

      于是S長(zhǎng)方形ABCD=AB·BC=(b-a)·1b

      =(3-13)×13=23.

      3

      14.答案:4.

      解最短的弦AB和最長(zhǎng)的弦A′B′,如圖23,C和C′是切點(diǎn),

      則r2-BC2+r2-B′C′2

      =CC′,

      即r2-242+r2-202=22,

      解得r=25.

      所以O(shè)O′=OC-O′C

      =252-202-11

      =4.

      15.答案:12.

      解因?yàn)?a+4b+3c能被13整除,所以可設(shè)

      5a+4b+3c=13k(k是正整數(shù)),①

      于是可得a=13k-4b-3c5,

      由①,得

      3a+5b+7c=3×13k-4b-3c5+5b+7c

      =39k-12b-9c5+5b+7c

      =39k+13b+26c5

      =13×(3k+b+2c)5,

      即5(3a+5b+7c)=13(3k+b+2c),②

      因?yàn)閍,b,c,k是正整數(shù),

      所以3a+5b+7c和3k+b+2c都是正整數(shù),

      又因?yàn)?和13互質(zhì),

      所以由②知3a+5b+7c可被13整除,

      從而可設(shè)

      3a+5b+7c=13m(m是正整數(shù)),③

      所以 (3a+5b+7c)+2014

      =13m+13×154+12

      =13(m+154)+12,

      由③知m+154是整數(shù),

      所以13(m+154)+12被13除,得到的余數(shù)是12,

      即3a+5b+7c+2014除以13得到的余數(shù)是12.

      16.答案:48.

      4

      解分別從點(diǎn)O,N,M作FA的垂線,分別交FA及延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,Q,R,延長(zhǎng)FA與MO,交于點(diǎn)G,AB與GM交于點(diǎn)L,如圖24.

      設(shè)AF=2x,則

      AP=x,OP=3x.

      在Rt△AGL中,因?yàn)?/p>

      ∠GAL=60°,

      所以∠AGL=30°,

      又AL=x,

      所以GL=3x.

      而OL=OM=OP=3x,

      所以GM=33x.

      在Rt△RGM中,因?yàn)椤蟁GM=30°,

      所以RM=332x.

      在梯形POMR中,N是OM的中點(diǎn),

      所以QN是梯形POMR的中位線,

      即QN=12(PO+RM),

      所以QN=534x.

      因?yàn)椤鰽OF和△AFN有相同的底,

      所以S△AOF∶S△AFN=OP∶QN

      =3x∶534x=4∶5.

      又S△AFN=10,

      所以S△AOF=8,

      故正六邊形ABCDEF的面積=6S△AOF=48.

      17.答案:3+1.

      解設(shè)CEED=k,正方形ABCD的邊長(zhǎng)是a,有

      CE=k·ED=k(a-CE),

      于是CE=ka1+k,①

      又CFAD=CEED=k,

      得CF=kAD=ka,②

      于是S△CFE=12CF·CE=12ka·ka1+k

      =k2a22(1+k),③

      注意到S正方形ABCD=a2,④

      及S正方形ABCD=S△CFE,⑤

      所以1=k22(1+k),

      即k2-2k-2=0,

      解得k=±3+1,

      因?yàn)閗>0,

      所以,只取k=3+1.

      18.答案:9.

      解依題意,得

      a3+b3a+b=27,

      即a2-ab+(b2-27)=0.

      此方程應(yīng)當(dāng)有正整數(shù)解,故

      Δa=(-b)2-4(b2-27)=108-3b2

      是完全平方數(shù).

      因?yàn)?≤Δa≤108,

      所以108-3b2的值可能是1,4,9,16,25,36,49,64,81,100.

      注意到b是正整數(shù),驗(yàn)算后,可知僅有81合題意.

      由108-3b2=81,

      得b=3,

      于是a=b±92=3±92,

      只取a=3+92=6.

      所以a+b=9.

      19.答案:12或-12.

      解設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為

      (x1,0),(x2,0),x1<x2.

      由根與系數(shù)的關(guān)系,得

      x1+x2=-2b,

      x1x2=-2,

      于是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離是

      x2-x1=(x1+x2)2-4x1x2

      =2b2+2,

      拋物線C與y軸的交點(diǎn)是(0,-1),于是三角形的面積是b2+2.

      將C向下平移5個(gè)單位,得到的新拋物線是

      y=12x2+bx-6.

      同理可求得拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2b2+12,與y軸的交點(diǎn)是(0,-6),

      三角形的面積為6b2+12.

      于是6b2+12=14b2+2,

      解得b2=14,

      所以b=12或b=-12.

      20.答案:113.

      解設(shè)M是每條船從出發(fā)到再出發(fā)所用的時(shí)間(航行時(shí)間+停留在碼頭的時(shí)間),N是船的條數(shù),P是兩條船發(fā)出的時(shí)間間隔,則有

      MN=P.①

      依題意,按原計(jì)劃,則由①式,有80+8N≤8,得N≥11,

      所以a=N小=11.②

      設(shè)2條新船投入使用后,發(fā)船時(shí)間間隔變?yōu)閤分鐘,則由①,②,得

      80+x11+2=x,

      得x=623(分鐘),

      于是8-623=113(分鐘).

      答:增加2條船后,發(fā)船時(shí)間間隔縮短113分鐘.

      接力賽

      1A.答案:24.

      5

      解連接OA,PB,又從點(diǎn)P作PC∥AB交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C.

      由AB是兩圓的公切線及作圖25,可知 OA⊥AB,

      PB⊥AB,

      OC⊥PC,

      則四邊形ACPB是矩形,

      于是AC=PB=7,AB=PC,

      OC=OA+AC=3+7=10.

      在Rt△OPC中,

      PC=OP2-OC2=262-102=24,

      所以AB=24.

      1B.答案:111.

      解計(jì)算可知

      123456000÷37=3336648……24,

      因?yàn)閭鱽淼拇鸢窽恰好是24,所以可知三位數(shù)abc可以被37整除,

      37×3=111,

      所以最小的三位數(shù)abc是111.

      2A.答案:105.

      解由題設(shè)知 aa5=225=152,

      所以這三個(gè)質(zhì)數(shù)的和是15,而下面的等式是唯一存在的,

      15=3+5+7,3×5×7=105,

      所以這三個(gè)數(shù)的乘積是105.

      2B.答案:52.5(或5212或1052).

      6

      解如圖26,設(shè)AP1=T,BP2=T,則

      當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)P1和P2之間時(shí),有PA<T,

      且PB<T成立.(*)

      連接OP1,OP2,則有

      OA=OP1=AP1=T,

      OB=OP2=BP2=T,

      所以△OAP1和△OBP2都是等邊三角形,則

      ∠AOP1=∠BOP2=60°,

      所以∠P1OP2=60°+60°-90°=30°,

      由(*),知點(diǎn)P所在圓弧的長(zhǎng)度是

      30360×2πT=π6T=12T.

      前面同學(xué)傳來的答案是T=105,

      所以12T=52.5(或5212或1052).

      3A.答案:5.

      解將方程中等號(hào)的左邊分解因式,得

      x4-5x3+5x2+5x-6

      =(x4-1)-5x2(x-1)+5(x-1)

      =(x2+1)(x2-1)-5(x-1)(x2-1)

      =(x+1)(x-1)(x2+1-5x+5)

      =(x+1)(x-1)(x-2)(x-3),

      原方程即

      (x+1)(x-1)(x-2)(x-3)=0,

      得x1=-1,x2=1,

      x3=2,x4=3,

      -1+1+2+3=5,

      故方程的所有根的和是5.

      3B.答案:52.

      7

      解設(shè)BC=a,CA=b,從點(diǎn)D作直線GB,CB的垂線,垂足分別為M,N,如圖27.

      易證明

      ∠DBM=∠ABC,

      ∠DBN=∠BAC,

      BD=BC=a,

      GB=BA=5,

      所以DM=BDsin∠DBM=BDsin∠ABC

      =a×b5=ab5,

      DN=BDsin∠DBN=BDsin∠BAC

      =a×a5=a25,

      S△BDG=12BG·DM=ab2=T,①

      由勾股定理,有a2+b2=25,②

      S△BDC=12BC·DN=a310.③

      前面同學(xué)傳來的答案是T=5,

      聯(lián)立①和②,得a2+b2=25,ab2=5,

      解得{a=5,b=25,

      把a(bǔ)的值代入③,得

      S△BDC=a310=52.

      個(gè)人賽

      1.答案:990.

      解因?yàn)?4=1936<2014<2025

      =45,

      對(duì)比a<2014<a+1,a是整數(shù),

      可知a=44.

      于是1+2+3+…+a

      =a(a+1)2=44×452=990.

      2.答案:5.

      解將題設(shè)兩個(gè)等式的兩邊分別相加,得

      x+2xy+y+x+y=30,

      即(x+y)2+(x+y)-30=0,

      解得x+y=5或x+y=-6.

      顯然x+y≥0,

      所以只取x+y=5.

      3.答案:165(或3.2或315).

      解由點(diǎn)B、E是定點(diǎn),知道BE是定長(zhǎng),所以,要使△BME的周長(zhǎng)最短,只須使MB+ME最短,以下求點(diǎn)M.

      設(shè)E′是點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn),BE′交CD于點(diǎn)M′,連接EM′,E′M,如圖28.

      由三角形兩邊之和大于第三邊,得

      EM+BM=E′M+BM≥BE′,

      可知當(dāng)點(diǎn)M在M′處時(shí),△BME的周長(zhǎng)最短.

      8

      此時(shí)DE′∥BC,

      所以DM′CM′=DE′BC,

      即4-CM′CM′=14,

      解得CM′=165,

      故當(dāng)△BME的周長(zhǎng)最短時(shí),

      CM=CM′=165(或3.2或315).

      4.答案:a>45.

      解易知y=ax2-ax-8-2a

      =a(x2-x-2)-8,

      其中x2-x-2=(x+1)(x-2),

      易知當(dāng)x>2時(shí),函數(shù)y=x2-x-2是增函數(shù),且當(dāng)x=2時(shí),x2-x-2=0,

      所以當(dāng)4≤x≤6時(shí),

      x2-x-2>0,

      所以a(x2-x-2)-8>0可變形為a>8x2-x-2,

      要使此式恒成立,需要a大于8x2-x-2的最大值.

      而當(dāng)4≤x≤6時(shí),y=x2-x-2是增函數(shù),

      y=8x2-x-2是減函數(shù),

      可知8x2-x-2的最大值在x=4時(shí)取得,這個(gè)值是842-4-2=45,

      所以a>45.

      5.答案:16.

      解題設(shè)的等式,即

      (10b+a)-(10a+b)

      =(100a+b)-(10b+a),

      即b=6a.

      因?yàn)閍,b是1到9的數(shù)字,

      所以只能是a=1,b=6.

      則ab=16.

      6.答案:227.

      解作如下的樹狀圖,

      由樹狀圖,可知三次傳球,有27種方式,球回到A手中的情況僅有2種,所以傳遞三次后,球回到A手中的概率是227.

      9

      7.答案:12.

      解連接AC,BP.

      由圖29知

      S△BCP=S△ACP

      =12AP·CC′,

      S正方形ABCD

      =S△APD+S△ABP+S△BCP

      =12AP(DD′+ BB′+CC′)

      =12×4×6

      =12.

      8.答案:33+72.

      0

      解如圖30,延長(zhǎng)DC,交AB于點(diǎn)E.

      從點(diǎn)E分別作EF⊥AD于點(diǎn)F,EG⊥BC于點(diǎn)G.

      因?yàn)椤螦=45°,

      ∠B=30°,∠D=60°,

      所以∠BEG=60°,

      ∠DEF=30°,∠AEF=45°,

      于是∠CEG=180°-∠AEF-∠DEF

      -∠BEG=45°,

      ∠GCE=90°-∠CEG=45°.

      故可設(shè)EG=GC=x,則

      BG=3x,CE=2x,

      所以BC=BG+GC=(1+3)x=3+1,

      解得x=1.

      所以CE=2x=2,

      于是ED=EC+CD=22,

      DF=ED2=2,AF=EF=3DF=6.

      可得四邊形ABCD的面積

      =S△BCE+S△AED=12BC·EG+12AD·EF

      =12(1+3)×1+12(2+6)×6

      =33+72.

      9.答案:15.

      1

      解把圖中的字母標(biāo)記序號(hào),如圖31.

      則通過M1的路徑有

      W→M1→T1→C1,

      W→M1→T1→C2,

      W→M1→T2→C2,

      W→M1→T2→C3,

      共4條;

      類似的,經(jīng)過M2的路徑有7條;

      經(jīng)過M3的路徑有4條.

      故經(jīng)過的四個(gè)字母正好是WMTC的路徑有

      4+7+4=15(條).

      10.答案:22014.

      解由x+y=2,得

      (x+y)2=x2+y2+2xy=4,

      因?yàn)閤2+y2=4,所以xy=0,

      故x=0,或y=0.

      當(dāng)x=0時(shí),由x+y=2,得y=2,

      此時(shí)x2014+y2014=22014;

      當(dāng)y=0時(shí),由x+y=2,得x=2,

      此時(shí)x2014+y2014=22014,

      綜上知,x2014+y2014的值是22014.

      11.答案:AM=72(或3.5).

      解因?yàn)椤螩+∠CAE

      =∠AEB=∠AEM+∠MEB,

      ∠B=∠C=∠AEM,

      所以∠CAE=∠BEM,

      于是△AEC∽△EMB,

      可得CEBM=ACBE,

      所以BM=12,

      故AM=72(或3.5).

      12.答案:4620.

      解因?yàn)?54=2×7×11,

      所以在1到154的自然數(shù)中,與154互質(zhì)的是除7和11的倍數(shù)之外的一切奇數(shù).

      從1到154的連續(xù)奇數(shù)有77個(gè),它們的和是

      1+3+5+…+149+151+153

      =(1+153)×77÷2

      =5929.

      以上的奇數(shù)中,7的倍數(shù)有11個(gè),它們的和是

      7×(1+3+5+…+19+21)

      =7×(1+21)×11÷2

      =847.

      11的倍數(shù)有7個(gè),它們的和是

      11×(1+3+5+…+11+13)

      =11×(1+13)×7÷2

      =539.

      既是7的倍數(shù),又是11的倍數(shù)僅有一個(gè),

      即7×11=77.

      所以符合條件的各個(gè)數(shù)的和是

      5929-847-539+77=4620.

      13.答案:3.

      解設(shè)點(diǎn)A(a,a2),點(diǎn)C(c,c2),這里

      a<0,

      0<c<-a,

      則點(diǎn)B的坐標(biāo)是(-a,a2),

      于是AC2=(c-a)2+(c2-a2)2,①

      BC2=(c+a)2+(c2-a2)2,②

      AB2=4a2,③

      由勾股定理,得

      AC2+BC2=AB2,

      將①②③代入并整理,得

      (a2-c2)2=a2-c2.

      由于a2>c2,

      所以a2-c2=1,

      故斜邊AB上高h(yuǎn)=a2-c2=1.

      又Rt△ABC的面積為2,

      所以12AB·h=2,

      即12·|2a|·(a2-c2)=|a|=2,

      所以c2=a2-1=3,

      即點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是3.

      14.答案:24-123.

      解易知圓M的半徑R=6.

      設(shè)圓N的半徑為r,則由題設(shè)條件,得

      (r+R)2=(R-r)2+(DC-R-r)2,

      即(6+r)2=(6-r)2+(18-6-r)2,

      r2-48r+144=0,

      則Δr=(-48)2-4×144

      =16×122-4×122

      =12×122

      =3×242.

      得r=48±2432=24±123,

      因?yàn)閞<R,

      只取r=24-123.

      15.答案:1.

      解根據(jù)能被3整除的數(shù)的特點(diǎn),知

      若M=123456789101112…47484950是3的倍數(shù),則M的數(shù)字和也是3的倍數(shù),

      因?yàn)镸的數(shù)字的和是5×(1+2+3+…+9)+(1+2+3+4)×10+5=330,

      又330=2×3×5×11,

      所以M是3的倍數(shù).

      同理,若M是9的倍數(shù),則M的數(shù)字和也是9的倍數(shù),已證M的數(shù)字的和是

      2×3×5×11,

      所以M不是9的倍數(shù),綜上知,k的值是1.

      16.答案:1535.

      2

      解作AD平分∠BAC,交BC于D,如圖32.

      由題設(shè)及作圖,可知

      ∠BDA=∠DAC+∠C

      =2∠C

      =∠BAC,

      因?yàn)椤螦BD=∠ABC,

      所以△ABD∽△CBA,

      于是ABBC=BDAB=ADAC,(*)

      得BD=AB2BC=10216=254.

      所以CD=BC-BD=16-254=394,

      由(*)式,得

      AC=AB·ADBD=10×394254=1535.

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