解題中的遺漏現(xiàn)象導(dǎo)致錯(cuò)解透析

楚衛(wèi)華

【摘要】文章從初中數(shù)學(xué)學(xué)科四個(gè)主要課程領(lǐng)域出發(fā)，分析各領(lǐng)域?qū)W生解題中容易發(fā)生的遺漏現(xiàn)象.對忽略特殊值導(dǎo)致遺漏、忽略隱含條件導(dǎo)致遺漏、基本概念理解不到位產(chǎn)生思維遺漏以及情況分析不周全導(dǎo)致遺漏等情況通過典型的錯(cuò)解題目進(jìn)行糾正和分析，希望通過錯(cuò)題剖析，幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中養(yǎng)成思維訓(xùn)練的自覺，減少解題錯(cuò)誤，提升數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)能力.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);遺漏現(xiàn)象;錯(cuò)解透析

進(jìn)入初中，數(shù)學(xué)學(xué)科的難度有了很大的提高，解題過程中會出現(xiàn)各種遺漏導(dǎo)致解題錯(cuò)誤的現(xiàn)象.這些遺漏可能是解題中的疏忽、概念理解不到位、遺漏已知條件、隱含條件被忽視、情況分析討論不周全等造成.

初中數(shù)學(xué)由四個(gè)主要課程領(lǐng)域，分別是數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐，在訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)算能力、分析能力的基礎(chǔ)上，關(guān)注培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)的感覺、對符號的理解、建立空間和幾何的直觀概念以及數(shù)據(jù)分析和模型思想.每個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域都有因思考遺漏引起的典型錯(cuò)誤，數(shù)與代數(shù)容易出現(xiàn)忽視特殊情況;圖形與幾何中的隱含條件經(jīng)常被忽略;統(tǒng)計(jì)與概率有基本概念不清晰造成的錯(cuò)誤;綜合與實(shí)踐常常出現(xiàn)情況分析不周全的疏漏.本文針對一些常見的遺漏錯(cuò)解，以典型題目為例進(jìn)行深入剖析，幫助學(xué)生理清思路，總結(jié)方法，提升初中數(shù)據(jù)學(xué)科的解題和思維能力.

1 忽略特殊值而導(dǎo)致的遺漏

初中學(xué)生進(jìn)入代數(shù)學(xué)習(xí)后，經(jīng)常對表示數(shù)的字母在題目中的特殊性考慮不充分.

例如 關(guān)于x的方程2kx2+（8k+1）x=-8k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是多少？

錯(cuò)解 因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不相等實(shí)數(shù)根，所以方程判別式Δ>0;

方程整理得 2kx2+（8k+1）x+8k=0;

Δ=（8k+1）2-4×2k×8k =16k+1>0;

解得 k>-116;

糾正 因?yàn)閗為一元二次方程二次項(xiàng)的系數(shù)，所以 k≠0;

解得 k>-116且k≠0.

分析 學(xué)生的解題思路總體來講是正確的，題目是利用一元二次方程的判別式的性質(zhì)解題，學(xué)生清楚地抓住了判斷式的性質(zhì)，大于零兩個(gè)不等實(shí)根，等于零兩個(gè)相等實(shí)根，小于零沒有實(shí)根.但學(xué)生忽略了系數(shù)k的特殊性.我們知道利用一元二次方程判別式解題的前提是要保證方程是一元二次方程，k正好是二次項(xiàng)的系數(shù)，要保證解題的先決條件，必須使k不為零.

導(dǎo)致這種現(xiàn)象發(fā)生可能是學(xué)生粗心，因?yàn)橹灰岬筋}目中字母的特殊性他們就會恍然大悟，但歸根結(jié)底還是學(xué)生對關(guān)鍵知識點(diǎn)沒有主動思考，思維不周全造成.

2 題目的隱含條件被忽略

在圖形與幾何學(xué)習(xí)中，圖形中隱含的條件和性質(zhì)容易被學(xué)生忽略.

例如 P是圓C內(nèi)一點(diǎn)，圓C的半徑為15，P點(diǎn)到圓心C的距離為9，求通過P點(diǎn)，長度是整數(shù)的弦的條數(shù)是幾條？

錯(cuò)解 因?yàn)檫^P點(diǎn)最長弦長為直徑長30，最短弦長是與過P點(diǎn)的半徑垂直弦的長，其長度利用三角形勾股定理計(jì)算可得24;

24與30之間共有整數(shù)6個(gè)，分別是24、25、26、27、28、29、30;

所以 過P點(diǎn)長度是整數(shù)的弦的條數(shù)是6條.

糾正 根據(jù)圓的對稱性可知，長度為整數(shù)的弦共有6×2=12條.

分析 學(xué)生能認(rèn)識到過P點(diǎn)的最長弦長為直徑，最短弦長與過P點(diǎn)的半徑（或直徑）相垂直，說明對弦長的理解是清楚的;但是卻忽略了圓的中心對稱特性，以過P的直徑為分界，過P點(diǎn)的弦可以分別向圓的左右兩側(cè)半圓延伸，因此題目要求的數(shù)值為整數(shù)的弦的數(shù)量應(yīng)該為12.

在初中數(shù)學(xué)的各課程領(lǐng)域，此類隱含條件遺漏的情況時(shí)有發(fā)生，而圖形與幾何中尤其容易出現(xiàn)此類忽略圖形隱含條件或性質(zhì)的錯(cuò)誤.例如涉及圓的題目忽略圓的對稱性，三角形中容易忽略隱含的邊地平行、垂直、相等之類的特征，角的相等、互余、互補(bǔ)的隱含特性也容易被忽略.導(dǎo)致這類錯(cuò)誤的原因在于思維過于集中在題目顯性條件上，沒有關(guān)注題目中的隱含條件和前提.要避免這類遺漏需要學(xué)生在日常的練習(xí)中主動思考，訓(xùn)練自己見一想三的能力，強(qiáng)化分析題目隱含條件和性質(zhì)的思維自覺.

3 基本概念不清晰造成的思維遺漏

基本概念不清晰、基本定義模糊，造成思維遺漏，產(chǎn)生解題錯(cuò)誤是初中學(xué)生比較容易犯的錯(cuò)誤.概率與統(tǒng)計(jì)是初中數(shù)學(xué)課程領(lǐng)域的重要分支，概率與統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)尤其需要理解基本概念，基本概念不清楚，則比較容易出現(xiàn)解題遺漏.

例如 一項(xiàng)“過關(guān)游戲”規(guī)定：在第n關(guān)要擲一顆骰子n次，如果這n次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于3n4，則算過關(guān)，否則不算過關(guān)，現(xiàn)有下列說法：

1）過第一關(guān)是必然事件;

2）過第二關(guān)的概率是3536;

3）可以過第四關(guān);

4）過第五關(guān)的概率大于零.

問：其中正確說法的個(gè)數(shù)為幾個(gè)？

錯(cuò)解1）第一關(guān)要求擲一次點(diǎn)數(shù)大于34，骰子的最小點(diǎn)數(shù)為1，所以是必然事件;

2）第二關(guān)要求擲兩次，點(diǎn)數(shù)和大于94，兩次骰子點(diǎn)數(shù)組合，只有（1，1）配對的情況不符合要求，所以36種組合中有35種情況都過關(guān)，因此概率是3536;

3）第四關(guān)要求擲四次，點(diǎn)數(shù)和大于814，四次骰子點(diǎn)數(shù)組合，大于等于21點(diǎn)都是符合要求的，例如（6，6，6，6），所以第四關(guān)總是可以過關(guān)的;

4）概率是一個(gè)非負(fù)數(shù)，一般來講概率是一個(gè)不大于1的真分?jǐn)?shù)，即使非常小，也可能發(fā)生，所以過第五關(guān)的概率大于零.

綜上所述：題目中正確說法的個(gè)數(shù)為4個(gè).

糾正 第五關(guān)要求擲五次，點(diǎn)數(shù)和大于2434，五次骰子點(diǎn)數(shù)組合，大于等于81點(diǎn)都是符合要求的，但骰子最大點(diǎn)數(shù)為6，五次點(diǎn)數(shù)和不會超過30，因此過第五關(guān)的概率為0.

因此，題目中正確說法的個(gè)數(shù)為3個(gè)，分別是1）、2）、3）項(xiàng).

分析 概率是某事件發(fā)生的所有可能組合與所有可能組合之比.所有可能組合是全集，某事件發(fā)生的所有可能組合是子集，這個(gè)子集也可能是空集，這是初中學(xué)生比較難理解的概念.概率是通過計(jì)算得到的，首先要把事件進(jìn)行清楚的定義，搞清楚全部組合中哪一部分是事件能產(chǎn)生的組合.本題的關(guān)鍵就是要逐一定義事件，抓住要從全集中獲取的子集的特征，如果想當(dāng)然認(rèn)為概率即使非常小也總會發(fā)生，憑感覺或常識去解決概率的問題，通常容易犯錯(cuò)誤.

4 情況分析不周全造成的遺漏

初中數(shù)學(xué)中，由于絕對值、方根等概念的引入，題目中常常會出現(xiàn)多種情況，需要進(jìn)行討論，一旦情況分析不周全就會造成遺漏，引起解題錯(cuò)誤.

例如 求方程|x2-1|=（4-23）（x+2）的解.

錯(cuò)解 原方程化為： x2 -（4-23）x+43-9=0;

解得 x1=4-33，x2=3.

糾正 1）當(dāng)x2≥1時(shí)，絕對值大于0，原方程化為x2 -（4-23）x+43-9=0;

解得 x1=4-33，x2=3;

因?yàn)閤2≥1，x≤-1或x≥1，所以x1、x2均滿足要求;

2）當(dāng)x2<1時(shí)，絕對值小于0，原方程化為x2 +（4-23）x+7-43=0，

解得 x3=x4=3-2;

因?yàn)閤2<1，-1

分析 學(xué)生在解絕對值方程時(shí)，沒有對絕對值進(jìn)行討論而直接打開絕對值符號，這是剛接觸絕對值計(jì)算時(shí)常見的錯(cuò)誤.分情況討論是初中數(shù)學(xué)中不可避免要遇到的解題形式，絕對值討論只是其中最簡單的部分，在綜合與實(shí)踐課程領(lǐng)域，分情況討論更是非常多見，如函數(shù)組合中的交點(diǎn)、距離、路程都可能在不同方向、不同軌跡中存在多個(gè)解.學(xué)生在學(xué)習(xí)中要從絕對值應(yīng)用開始，要克服多情況討論的困難，強(qiáng)化自己的思維廣度和深度，為綜合與實(shí)踐課程打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

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