葉柳康，葉文華，楊高杰，肖 曉

(1.南京航空航天大學(xué)機電學(xué)院，南京 210016；2.航空工業(yè)濟南特種結(jié)構(gòu)研究所，濟南 250023)

0 引言

激光三角測量技術(shù)因精度高、效率高、測量無損傷等優(yōu)點，被廣泛用于加工檢測中[1-3]。相對于點激光，線激光測量效率更高，應(yīng)用更廣。

線激光傳感器只含X、Z軸數(shù)據(jù)，無法完成零件特征檢測，一般與運動機構(gòu)組成系統(tǒng)實現(xiàn)三維測量[4-5]，系統(tǒng)測量精度受運動機構(gòu)精度、傳感器分辨率、安裝姿態(tài)、測量環(huán)境等影響，其中安裝姿態(tài)可在傳感器安裝完成后對其標定，以此提高系統(tǒng)精度。國內(nèi)外對激光傳感器系統(tǒng)標定問題展開了許多研究，主要研究方向是機器人測量系統(tǒng)的手眼標定[6-9]，常用方法為定點變位姿法。黃佳等[10]令機器人變位姿測量固定球心，由球心位置不變原則解算機器人與傳感器位姿關(guān)系。吳聊等[11]以平面為靶標，以平面在機器人不同位姿下的測點求解標定參數(shù)。定點變位姿法雖然方法簡單，但對幾何誤差敏感[12]，另外，載體為移動機構(gòu)的測量系統(tǒng)姿態(tài)無法任意變化，以該方法標定誤差較大。機床測量系統(tǒng)中，徐舒婷[13]提出了一種方向標定方法，以階梯面標定三個方向偏角并進行角度校正，方法簡單，但需要額外的調(diào)整機構(gòu)，且對階梯面精度要求高。相對其他特征，球面具有各向同性且定位準確的特點，但受傳感器測量特性影響[14]，線激光測量球面的Z向誤差較大，直接以球面標定會影響精度。雖然平面定位效果與標定精度均不如球面[15]，但平面比球面的線激光測量Z向誤差小。

為了實現(xiàn)準確標定，本文提出一種線激光傳感器測量系統(tǒng)的安裝姿態(tài)標定方法。建立了測量系統(tǒng)標定模型，并以歐拉角描述安裝姿態(tài)，以平面和球面為靶標分析繞X、Y、Z軸轉(zhuǎn)動的姿態(tài)角，最后解算姿態(tài)矩陣。該方法結(jié)合了平面與球面的線激光測量特性，減小測量誤差對標定的影響，可有效提高標定精度。

1 線激光傳感器測量系統(tǒng)建模

系統(tǒng)由X、Y、Z三軸移動機構(gòu)，線激光傳感器，數(shù)據(jù)傳輸線和上位機等組成，其中線激光傳感器采用了激光三角測量技術(shù)。在移動機構(gòu)末端安裝線激光傳感器，使其按指定路徑對零件掃描，傳感器數(shù)據(jù)與機構(gòu)數(shù)據(jù)以數(shù)據(jù)線傳輸?shù)缴衔粰C構(gòu)成三維數(shù)據(jù)，經(jīng)過數(shù)據(jù)分析得到測量結(jié)果。實現(xiàn)精密測量的關(guān)鍵在于傳感器X、Z軸數(shù)據(jù)與機構(gòu)數(shù)據(jù)的融合，傳感器姿態(tài)是影響最大的因素之一，因此測量系統(tǒng)的安裝姿態(tài)標定十分必要。

圖1 測量系統(tǒng)介紹

為了描述坐標系之間的關(guān)系，定義ObXbYbZb表示測量系統(tǒng)的基坐標系，OLXLYLZL表示末端坐標系，OsXsYsZs表示傳感器坐標系。由于載體是移動機構(gòu)，可定義末端坐標系與基坐標系的坐標軸同向，傳感器坐標系與基坐標系的關(guān)系由安裝姿態(tài)決定，如圖1所示。

根據(jù)運動學(xué)關(guān)系，被測點應(yīng)滿足坐標轉(zhuǎn)換關(guān)系：

xb=RL(Rsxs+Ts)+TL

(1)

式中，xb、xs分別為被測點在基坐標系、傳感器坐標系下的坐標；RL、TL為末端坐標系相對基坐標系的變換矩陣；Rs、Ts為傳感器坐標系相對末端坐標系的變換矩陣。由坐標系定義知RL=I3×3，可將式(1)簡化為：

xb=Rsxs+Ts+TL

(2)

平移矩陣Ts與傳感器安裝位置、末端坐標系定義有關(guān)。為了簡化過程，定義此次安裝標定的末端坐標系原點OL與傳感器坐標系原點Os重合，即Ts=(0,0,0)T，并設(shè)一固定參考點。若需重新安裝標定時，以參考點為基準校正Ts即可。平移矩陣TL由移動機構(gòu)的運動學(xué)關(guān)系得到，因此只需求解線激光傳感器姿態(tài)即可得到旋轉(zhuǎn)矩陣Rs完成標定。

2 測量系統(tǒng)標定方法

2.1 定點變位姿法

圖2 定點變位姿法原理

設(shè)機器人基坐標系下的球心坐標為Qi(i=1,2,…,q)，由基坐標系下球心位置不變原則，得到以下關(guān)系：

Q1=Q2=…=Qq

(3)

(4)

2.2 安裝姿態(tài)標定法

在描述物體姿態(tài)的方法中，除方向余弦矩陣外，還有一種“角度給定法”[16]。角度給定法可分成RPY角和歐拉角兩類，其中后者更常用。歐拉角有12種組合，安裝姿態(tài)標定法以其中一種組合描述姿態(tài)，完成測量系統(tǒng)的安裝姿態(tài)標定。

2.2.1 安裝姿態(tài)描述

根據(jù)傳感器坐標系相對末端坐標系的轉(zhuǎn)動順序，安裝姿態(tài)以z-x-y歐拉角描述。令繞Zs軸轉(zhuǎn)動的歐拉角為θ，繞Xs軸轉(zhuǎn)動的歐拉角為β，繞Ys軸轉(zhuǎn)動的歐拉角為α，如圖3所示。

圖3 安裝姿態(tài)描述

2.2.2 安裝姿態(tài)分析

(1)歐拉角α：以平面為對象，將高精度平面放置與末端坐標系OLXLYLZL的XLOYL平面平行。為了保證平面滿足平行的要求，令機構(gòu)沿Xb軸或Yb軸運動，調(diào)節(jié)高精度平面使其在傳感器坐標系的x=0處測點始終滿足Z向差值|z2-z1|≤ε(ε為波動范圍，根據(jù)實際平面條件設(shè)置)，如圖4所示。

圖4 平面調(diào)節(jié)過程

線激光傳感器測量該平面得到由數(shù)據(jù)點(xi,zi)構(gòu)成的輪廓線(i=1,2,…,n1)，如圖5a所示。

設(shè)直線擬合方程為z=a1+b1x，根據(jù)最小二乘法，得到目標函數(shù)為：

(5)

由此求出直線參數(shù)a1、b1的大小，再根據(jù)圖5b所示的直線斜率b1與歐拉角α的關(guān)系，得到α的大小為：

α=|arctan(b1)|

(6)

歐拉角α的正負判斷方法是直線上偏為正，下偏為負。

(a) 平面測量(b) 直線與α的關(guān)系

(2)歐拉角β：在歐拉角α標定的基礎(chǔ)上，傳感器坐標系的Xs軸與末端坐標系的XLOLYL面共面。在基坐標系Zb軸方向上選擇位置1、2，將位置2處傳感器坐標系的Zs2軸延長至位置1處傳感器坐標系的Xs1O1Ys1平面交于A0得到ΔO1O2A0，則歐拉角β的大小可由∠O1O2A0表示，如圖6a所示。歐拉角β的正負判斷方法是傳感器Zs軸左偏為正，右偏為負，如圖6b所示。

(a) 歐拉角β大小(b) 歐拉角方向判斷

O1O2長度等于位置1、2的基坐標系Zb軸的坐標差Zb2-Zb1，O1A0長度Δs由交點A0到Y(jié)s1軸的距離ΔXs與到Xs1軸的距離ΔYs確定，即：

(7)

因此，得到以下關(guān)系：

(8)

Zb1與Zb2可直接從機構(gòu)坐標獲取，分析出ΔXs與ΔYs的值即可得到歐拉角β的大小。首先，分析ΔXs的大小。將標準球放置合適并固定，在位置1處測量球面得到在傳感器坐標系下的截面圓輪廓點數(shù)據(jù)，圓擬合得到圓心坐標C1；將傳感器移動到位置2，同理可得圓心坐標C2，如圖7a所示。

截面圓輪廓數(shù)據(jù)擬合采用最小二乘法，設(shè)擬合圓方程為：

(9)

(10)

F分別對a2、b2、c2求偏導(dǎo)數(shù)并令其等于0得到偏導(dǎo)數(shù)方程組f2，求解方程組f2可得F的最小值，若令：

(11)

則方程組f2的解為：

(12)

則圓心坐標(xc,zc)與半徑Rc可表示為：

(13)

由最小二乘圓擬合方法得到位置1的圓心坐標C1(xc1,zc1)和半徑Rc1，位置2的圓心坐標C2(xc2,zc2)和半徑Rc2，則ΔXs的大小為：

ΔXs=|xc2-xc1|

(14)

其次，分析ΔYs的大小。ΔYs可由球心在位置1、2傳感器坐標系的Ys軸坐標差值表示。但截面圓擬合半徑誤差較大，以半徑Rc1、Rc2與球基準半徑R0計算球心坐標[10]不準確，從而難以得到準確的ΔYs值。由于線激光傳感器安裝姿態(tài)的歐拉角通常較小，可由球心在機構(gòu)Yb軸坐標的差值近似替代ΔYs值。在位置1處通過機構(gòu)Yb軸運動使傳感器掃描球面，將Yb軸坐標與傳感器Xs、Zs軸坐標結(jié)合構(gòu)成球面輪廓數(shù)據(jù)(xsk,ybk,zsk)，k=1,2,…,n2，如圖7b所示。

(a) 截面圓測量 (b) 球心測量

采用最小二乘法進行球面擬合，原理與最小二乘圓擬合方法類似，由此得到位置1處的擬合球心為(xQ1,yQ1,zQ1)，半徑為RQ1。在位置2處同理得到擬合球心為(xQ2,yQ2,zQ2)，半徑為RQ2。則可以得到ΔYs的大小為：

ΔYs≈|yQ2-yQ1|

(15)

從而歐拉角β大小為：

(16)

實際標定過程中，可以多次改變位置1、2測量球心來計算歐拉角β，剔除其中的粗大誤差并幾何平均計算得到最優(yōu)值，能夠有效減小機構(gòu)幾何誤差影響。

(3)歐拉角θ：在歐拉角α，β標定的基礎(chǔ)上，末端坐標系OLXLYLZL與傳感器坐標系OsXsYsZs之間僅存在歐拉角θ。在位置3處使線激光傳感器測量球面得到截面圓輪廓數(shù)據(jù)(xm,zm)與當前位置基坐標系的Yb軸坐標yc3(m=1,2,…,n3)。對數(shù)據(jù)點(xm,zm)進行最小二乘圓擬合，得到圓心坐標C3(xc3,zc3)；位置4同理可得圓心坐標C4(xc4,zc4)與該位置基坐標系的Yb軸坐標yc4，如圖8a所示。

根據(jù)末端坐標系與傳感器坐標系的幾何關(guān)系構(gòu)建ΔC3C4B0，如圖8b所示。歐拉角θ大小為：

θ=sin-1(|xc4-xc3|/|yc4-yc3|)

(17)

歐拉角θ正負判斷方法是Ys軸上偏為正，下偏為負。為減小機構(gòu)幾何誤差的影響，多次改變位置3、4測量計算歐拉角θ求解最優(yōu)值。

(a) 截面圓測量 (b) 坐標系的幾何關(guān)系

2.3 安裝姿態(tài)標定

根據(jù)“從左到右”的原則排列三次旋轉(zhuǎn)對應(yīng)的矩陣R(z,θ)、R(x,β)、R(y,α)，從而表示安裝姿態(tài)的旋轉(zhuǎn)矩陣Rs為：

(18)

式中，R(z,θ)、R(x,β)、R(y,α)分別為：

將上述分析得到的歐拉角α、β、θ代入式(18)解算旋轉(zhuǎn)矩陣Rs，根據(jù)式(2)完成線激光傳感器測量系統(tǒng)的安裝姿態(tài)標定。

3 實驗驗證與分析

3.1 系統(tǒng)標定試驗

標定實驗中，運動載體為X、Y、Z三軸移動機構(gòu)，其單軸重復(fù)定位精度≤5 μm、線激光傳感器型號為GOcator2420，其技術(shù)指標有：測量范圍為25 mm，X向分辨率為0.014 mm，Z向分辨率為0.001 8 mm、標定靶標為φ30 mm且圓度≤1 μm的啞光陶瓷球和1級精度的啞光量塊，裝置如圖9所示。

圖9 標定實驗裝置

采用定點變位姿法進行標定實驗。分別改變移動機構(gòu)的X、Y、Z軸坐標值6次，然后對固定的標準球測量，得到18組機構(gòu)坐標與傳感器坐標系下的球截面圓心坐標與半徑，由此求出傳感器坐標系下的球心坐標，其中的6組數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 定點變姿法實驗數(shù)據(jù) (mm)

由18組數(shù)據(jù)求出表示傳感器安裝姿態(tài)的旋轉(zhuǎn)矩陣Rs1為：

采用安裝姿態(tài)標定法進行標定實驗。實驗得到表示傳感器安裝姿態(tài)的歐拉角α、β、θ具體數(shù)值，如表2所示。

表2 安裝姿態(tài)角數(shù)據(jù) (°)

由三個歐拉角得到表示傳感器安裝姿態(tài)的旋轉(zhuǎn)矩陣Rs2為：

3.2 誤差驗證實驗

測量系統(tǒng)坐標系中的坐標點絕對位置較難確定，為了驗證標定精度，線激光傳感器測量系統(tǒng)分別以上述兩種方法標定后，對一組數(shù)據(jù)點之間的空間距離進行測量，并與基準距離比較得到測量誤差，以此評價標定效果。

圖10 驗證實驗裝置

數(shù)據(jù)點通過行程為25×25×10 mm的X、Y、Z三軸微調(diào)平臺與直徑為12.01 mm的基準孔工件實現(xiàn)，其中微調(diào)平臺X、Y、Z軸的分辨率均為0.01 mm、精度<0.03 mm。將基準孔工件固定在微調(diào)機構(gòu)上，如圖10所示。

通過微調(diào)平臺的X、Y、Z軸構(gòu)建坐標系，以初始位置的基準孔坐標為參考點，依次沿坐標系X軸方向改變10次位置、Y軸方向改變10次位置、Z軸方向改變4次位置及X、Y、Z軸同時改變3次位置得到27個全局坐標系下的圓心數(shù)據(jù)點，數(shù)據(jù)點到參考點的基準距離由微調(diào)平臺坐標計算得到。為了減小基準孔測量誤差影響，每次測量圓孔的區(qū)域基本保持不變，并以相同的數(shù)據(jù)處理算法進行去噪處理、圓孔輪廓提取及圓擬合。

由上述兩種方法分別標定后的測量系統(tǒng)對27個位置的基準孔測量，得到各位置的基準孔測量半徑及其與參考點的測量距離，與基準距離比較得到兩種方法標定后的距離測量誤差，如圖11和圖12所示。

圖11 基準孔測量半徑圖12 距離測量誤差圖

對數(shù)據(jù)進一步處理分別得到定點變位姿法M1與安裝姿態(tài)標定法M2的數(shù)據(jù)點距離測量誤差絕對值的最大值Emax、最小值Emin和均方根誤差Erms_d，以及27次基準孔測量半徑的均值Rave及其均方根誤差Erms_r，如表3所示。

表3 測量結(jié)果分析 (mm)

根據(jù)圖11、圖12和表3可知，定點變位姿法標定后的距離測量誤差不穩(wěn)定，存在誤差敏感方向且誤差較大，而安裝姿態(tài)標定法標定后的距離測量誤差較穩(wěn)定且誤差較??；安裝姿態(tài)標定法的距離測量均方根誤差為0.039 mm、圓孔測量半徑均方根誤差為0.011 mm，比定點變位姿法的0.803 mm與0.162 mm減少了0.764和0.151。結(jié)果表明，安裝姿態(tài)標定法精度優(yōu)于定點變位姿法，且基本達到現(xiàn)有研究[4]標準偏差在0.065 mm以內(nèi)的精度水平，可滿足零件加工檢測需求。

另外，測量結(jié)果誤差來源除了標定誤差，還有X、Y、Z三軸移動機構(gòu)與微調(diào)平臺的幾何誤差、圓孔測量誤差以及環(huán)境噪聲等?？赏ㄟ^機構(gòu)誤差補償?shù)却胧瑴p小這些因素對測量結(jié)果的影響，進一步提高測量精度。

4 結(jié)論

本文針對多軸移動機構(gòu)與線激光傳感器構(gòu)建的測量系統(tǒng)提出了一種安裝姿態(tài)標定方法，解決了標定精度不足的問題。以歐拉角描述了測量系統(tǒng)的安裝姿態(tài)，以平面和球面為靶標分析了歐拉角大小，并構(gòu)建了姿態(tài)矩陣完成標定。測量結(jié)果表明，該方法標定精度較高，達到了現(xiàn)有研究的精度水平，可滿足相關(guān)需求。