Copula理論在金融管理領(lǐng)域中的應(yīng)用概述

易文德， 黃愛華

（1. 重慶文理學(xué)院 數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院， 重慶 永川 402160；2. 重慶文理學(xué)院 財(cái)務(wù)處， 重慶 永川 402160）

一、引言

眾所周知， 具有相同相關(guān)系數(shù)的時(shí)間序列間的相依結(jié)構(gòu)可能不同，或者說，不同相依結(jié)構(gòu)的時(shí)間序列的相關(guān)系數(shù)可能相同。 金融時(shí)間序列間相依結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和多樣性不僅表現(xiàn)在相依分布的中部，而且還反映在相依分布的尾部。 相依結(jié)構(gòu)會(huì)影響資產(chǎn)、資產(chǎn)組合的定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)測度，特別是在局部和某些極端情況下，相依結(jié)構(gòu)對風(fēng)險(xiǎn)的預(yù)測起著決定性的影響。Boyer認(rèn)為，在建立風(fēng)險(xiǎn)管理模型時(shí)僅僅考慮變量間的相關(guān)度（Degree of Dependence）是不夠的，還必須考慮變量的相依結(jié)構(gòu)（Dependence Structrue），并對Copula函數(shù)在風(fēng)險(xiǎn)管理中的應(yīng)用問題進(jìn)行探討［1-2］。研究時(shí)間序列的相依結(jié)構(gòu)不僅可以在相依程度上反映相關(guān)關(guān)系，還可以在相依的形態(tài)構(gòu)成上反映相關(guān)的模式，以至更精細(xì)地刻畫時(shí)間序列的相依特征。

由于金融市場不斷涌現(xiàn)的典型事例，大量的理論和實(shí)證表明有效市場假說并非是實(shí)際市場運(yùn)行機(jī)制的完美描述，許多金融資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)度量分析技術(shù)的假設(shè)與實(shí)際有較大偏差，這就導(dǎo)致了有些分析技術(shù)的欠缺和局限性。 如在傳統(tǒng)的風(fēng)險(xiǎn)管理理論中，通常假定資產(chǎn)收益服從正態(tài)分布，并采用Pearson的線性相關(guān)系數(shù)（Linear Correlation）作為資產(chǎn)相關(guān)性度量指標(biāo)，眾多研究結(jié)果表明，許多金融資產(chǎn)的收益具有明顯的厚尾性，與正態(tài)分布假設(shè)相差較大；而當(dāng)市場發(fā)生重大波動(dòng)時(shí)，線性相關(guān)系數(shù)也無法反映出資產(chǎn)收益曲線的尾部相關(guān)特征。

相關(guān)性理論是研究資本證券市場復(fù)雜性問題的重要理論， 基于Copula理論的金融時(shí)間序列相依結(jié)構(gòu)的研究是金融工程的重要研究課題。 它從金融時(shí)間序列自身的相依關(guān)系和時(shí)間序列之間相依關(guān)系的角度， 解釋目前作為主流理論的有效市場假說所無法涵蓋解釋的隨機(jī)現(xiàn)象，為市場動(dòng)力分析提供了一種新的統(tǒng)計(jì)分析方法。

關(guān)于金融市場相依性的研究主要有三種方法：聯(lián)合分布函數(shù)的方法、條件相關(guān)的方法和Copula函數(shù)理論的方法。 聯(lián)合分布函數(shù)的方法通常應(yīng)用聯(lián)合正態(tài)分布和相關(guān)系數(shù)度量金融市場的相關(guān)性，線性相關(guān)系數(shù)對相關(guān)結(jié)構(gòu)不能給予有效的分析，且要求邊緣分布為橢圓形分布，而許多金融資產(chǎn)的收入序列并不滿足這樣的條件， 因此聯(lián)合分布函數(shù)的方法具有很多局限性。 條件相關(guān)的方法在研究相關(guān)性時(shí)考慮了金融資產(chǎn)的條件信息，彌補(bǔ)了非條件線性相關(guān)的缺陷。 然而，F(xiàn)orbes 和Rigobon指出：條件相關(guān)系數(shù)在不同的條件下會(huì)產(chǎn)生很大變化，對相關(guān)性結(jié)果分析會(huì)產(chǎn)生誤導(dǎo)而難以對結(jié)果進(jìn)行解釋［3］。 Copula函數(shù)方法是一種直接而靈活的相關(guān)性測度方法，它不僅可以測度相關(guān)的強(qiáng)度而且可捕捉相關(guān)的結(jié)構(gòu)，能夠適用于任何分布形式和測度非線性相關(guān)的情形，Copula函數(shù)方法已經(jīng)成為相關(guān)性研究最有效的新方法。

1959年，Sklar定理的提出奠定了Copula理論的基礎(chǔ)［4］。Joe和Nelson詳細(xì)地介紹了Copula函數(shù)統(tǒng)計(jì)和數(shù)學(xué)方面的基本內(nèi)容和性質(zhì)［5-6］。Copula理論創(chuàng)立后，更多的是在數(shù)學(xué)性質(zhì)等理論方面的研究。 由于計(jì)算技術(shù)的原因，其在應(yīng)用方面研究的進(jìn)展比較緩慢，在20世紀(jì)末才逐漸在各領(lǐng)域應(yīng)用，特別是在金融風(fēng)險(xiǎn)管理中的應(yīng)用得到了人們的重視，并迅速發(fā)展且取得了巨大的成果。 Embrechts等［2,7-8］最先把Copula理論引入風(fēng)險(xiǎn)管理中， 應(yīng)用Copula理論研究金融、宏觀經(jīng)濟(jì)和微觀經(jīng)濟(jì)等數(shù)據(jù)的相依風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR，并研究Copula函數(shù)的參數(shù)估計(jì)、模型的評價(jià)方法。

基于Copula理論對時(shí)間序列建模的研究主要有兩個(gè)方面： 一個(gè)方面是應(yīng)用于多維時(shí)間序列模型，主要模擬隨機(jī)向量Xt=（X1t，X2t，…，Xnt）′聯(lián)合分布以研究各邊緣序列間的相依結(jié)構(gòu)，這導(dǎo)致了時(shí)變Copula函數(shù)的研究；另一方面是應(yīng)用于模擬單個(gè)時(shí)間序列的觀測序列（Xt，Xt+1，…，Xt+n）′的聯(lián)合分布，以研究單個(gè)序列的觀測序列的相依結(jié)構(gòu)，這種應(yīng)用引導(dǎo)人們考慮Markov過程和非線性的時(shí)間序列模型。 本文對Copula理論在金融風(fēng)險(xiǎn)管理領(lǐng)域中的應(yīng)用進(jìn)行歸納和概述，以期梳理Copula理論在金融管理中的研究進(jìn)展和現(xiàn)狀。

二、基于Copula理論的多維時(shí)間序列模型的研究

（一）多維時(shí)間序列模型

基于Copula理論的多維時(shí)間序列模型，主要是模擬隨機(jī)變量Xt=（X1t，X2t，…，Xnt）′的聯(lián)合分布以研究各邊緣序列間的相依結(jié)構(gòu)。Longin和Solnik［9］應(yīng)用Gumbel Copula函數(shù)研究了資本市場的尾部相依關(guān)系，實(shí)證表明：拒絕多個(gè)資本市場的下尾服從多元正態(tài)分布，而不拒絕上尾服從正態(tài)分布，相關(guān)性與市場變化趨勢相關(guān)而與市場自身的波動(dòng)無關(guān)，熊市中相關(guān)性大于相對應(yīng)的牛市中的相關(guān)性。 Patton［10-11］定義了條件Copula函數(shù)，結(jié)合GARCH模型和Copula理論分析外匯市場的相依關(guān)系時(shí)，研究了條件Copula函數(shù)參數(shù)的時(shí)變特征，刻畫邊緣分布應(yīng)用了Engle［12］的ARCH模型和Bollerslev［13］的GARCH模型，參數(shù)時(shí)變形式的設(shè)定考慮了參數(shù)自身的滯后項(xiàng)和觀測值滯后的關(guān)系。 Jondeau和Rockinger［14］考慮收益率的聯(lián)合非正態(tài)分布和時(shí)變特征，其中包括了波動(dòng)聚集性、非對稱和肥尾特征，應(yīng)用條件Copula函數(shù)研究了幾個(gè)股票市場的相依關(guān)系及其時(shí)變性。 另外，Rodriguez［15］研究了條件Copula函數(shù)的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換模型，并應(yīng)用該模型分析了金融市場的風(fēng)險(xiǎn)傳染性。 Okimoto［16］研究了證券市場的非對稱結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)證券收益率的相依函數(shù)在高期望、低波動(dòng)狀態(tài)時(shí)是顯著非對稱的，而在低期望、高波動(dòng)狀態(tài)時(shí)是對稱的。 Lee和Long［17］把Copula理論和多元GARCH模型結(jié)合起來，構(gòu)造靈活的Copula分布函數(shù)模擬多元GARCH模型回歸的殘差，GARCH模型能捕捉時(shí)間序列的時(shí)變相關(guān)關(guān)系， 而用Copula函數(shù)捕捉那些不能被GARCH模型刻畫的無序列相關(guān)的殘差之間的相依關(guān)系。

多元Copula函數(shù)模型構(gòu)造：設(shè)隨機(jī)變量X1，…，XN的Copula函數(shù)C（·，…，·;·）的密度分布為c（·，…，·；·），其邊緣分布為Fn（·；·），邊緣密度函數(shù)為fn（·；·），n=1，…，N，由Copula函數(shù)與聯(lián)合分布的關(guān)系有：

其聯(lián)合密度函數(shù)為：

其中，θ=（θ1，…，θN；θC），樣本（x1，t，…，xN+t），t=1，…，T。 對數(shù)似然函數(shù)表示為：

這樣對模型參數(shù)的估計(jì)可以分步進(jìn)行， 對于多參數(shù)模型來說可以提高參數(shù)估計(jì)的效能，節(jié)約模型的自由度，模型參數(shù)估計(jì)更具有優(yōu)越性。

（二）單個(gè)時(shí)間序列模型

根據(jù)單個(gè)時(shí)間序列（Xt，Xt+1，…，Xt+n）′的觀測序列建立Copula模型，以研究單個(gè)序列的時(shí)間上的前后相依關(guān)系。Darsow等［18］為一階Markov時(shí)間序列建立了Copula模型，研究變量Xt和Xt+1之間的相依關(guān)系，并研究模型參數(shù)估計(jì)量的一些性質(zhì)，給出了基于Copula的時(shí)間序列是Markov過程的充分必要條件。 Chen和Fan［19］研究了一階Markov時(shí)間序列的半?yún)?shù)Copula模型的參數(shù)估計(jì)和模型誤設(shè)情況下的模型選擇問題，模型的邊緣分布用非參數(shù)方法估計(jì)，而Copula函數(shù)設(shè)定為參數(shù)正態(tài)分布。 Ibragimov［20］把Darsow等的工作拓展到Markov鏈的高階情形，并且新提出了一類Copula函數(shù)。 Beare［21］通過Copula函數(shù)的性質(zhì)研究Markov時(shí)間序列的弱相依性，證明了時(shí)間序列的Copula函數(shù)尾部相依性會(huì)導(dǎo)致Markov 時(shí)間序列不滿足標(biāo)準(zhǔn)混合條件。 Gagliardini 和Gourieroux［22］拓展了Engle和Russell的自回歸條件持續(xù)時(shí)間模型，提出并研究了時(shí)間序列短期相依的Copula模型。 Ibragimov和Lentzas［23］對時(shí)間序列的長期相依關(guān)系進(jìn)行了Copula函數(shù)模型探討。

單個(gè)時(shí)間序列模型：設(shè){Xt，t=1，2，…}由（F（·；θ），C（·，·；δ））生成的一階平穩(wěn)馬爾科夫時(shí)間序列，其中F（·；θ）是連續(xù)的邊緣分布函數(shù)，密度函數(shù)f（·；θ）是實(shí)數(shù)域上的Lebesgue測度；C（·，·；δ）是關(guān)于（Xt－1，Xt）的連續(xù)的Copula函數(shù)，密度函數(shù)c（·，·；δ）是（0，1）2上的Lebesgue測度，θ，δ分別是邊緣分布和Copula函數(shù)的有限維參數(shù)。 由Sklar定理［6］：H（x，y；θ，δ）=C（F（x；θ），F(xiàn)（y；θ）；δ）是一個(gè)具有邊緣分布為F（·；θ）的聯(lián)合分布函數(shù)。 Joe［5］應(yīng)用Copula函數(shù)模擬了馬爾科夫時(shí)間序列的相依關(guān)系。 聯(lián)合分布為H的平穩(wěn)馬爾科夫時(shí)間序列的轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)可表示為:

（4）式可以等價(jià)表示為：

由（5）式可知，平穩(wěn)馬爾科夫時(shí)間序列完全由邊緣分布和Copula函數(shù)確定。

（三）綜合以上兩類時(shí)間序列的相依關(guān)系模型

對于時(shí)間序列Xt和Yt組成的向量，這里有兩類相依結(jié)構(gòu)需要考慮：一類是單個(gè)序列時(shí)間上的相依關(guān)系，如Xt－1和Xt之間的相依關(guān)系；二是兩個(gè)序列間的同期相依關(guān)系，如Xt和Yt之間的相依關(guān)系。 這兩類相依關(guān)系都同時(shí)影響時(shí)間序列向量的相依關(guān)系，研究這兩類相依關(guān)系的特性及其融合的方式，無疑是具有很大意義的。

設(shè)時(shí)間序列Xt和Yt分別是一階平穩(wěn)的馬爾科夫序列，F(xiàn)（·；α）和G（·；β）是連續(xù)的邊緣分布Xt和Yt的邊緣分布密度f（·；α）和g（·；β），二是Xt－1和Xt以及Yt－1和Yt的短期條件相依關(guān)系cX（·，·；θX）和cY（·，·；θY），三是Xt和Yt的同期相依關(guān)系c?（·，·；θ?）。這有利于模型參數(shù)的估計(jì)，估計(jì)模型參數(shù)時(shí)可以分階段進(jìn)行，便于模型的求解。

從（7）式可以看出，隨機(jī)變量

三、Copula模型的估計(jì)與評價(jià)

多維時(shí)間序列Copula模型的參數(shù)估計(jì)有許多種方法，主要分為參數(shù)方法和非參數(shù)方法。

（一）完全參數(shù)模型

即條件邊緣分布和條件Copula函數(shù)都是有限維的參數(shù)分布，可以應(yīng)用極大似然估計(jì)方法，如果邊緣分布、Copula函數(shù)可以分開，則參數(shù)估計(jì)可以分步進(jìn)行，采用多步驟極大似然估計(jì)MSMLE （Multi-Stage Maximum Likelihood Estimation） 方法， 有時(shí)也稱IFM（Inference Functions for Margins）方法。通過一元分布函數(shù)的極大似然估計(jì)方法估計(jì)邊緣分布的參數(shù)，在此基礎(chǔ)上再估計(jì)Copula模型的參數(shù)。 多步驟似然估計(jì)方法可以簡化計(jì)算，降低或消除參數(shù)估計(jì)的維數(shù)問題。 Patton［11，24］應(yīng)用多步驟極大似然估計(jì)MSMLE對多維時(shí)間序列模型的參數(shù)估計(jì)進(jìn)行研究，考慮各時(shí)間序列的樣本觀測值的時(shí)間段不相同情況的估計(jì)效果，與一步極大似然 （1SMLE） 估計(jì)相比，MSMLE的估計(jì)效果沒有比1SMLE的效果更差。 Chen與Fan［19，25］和Chen等（2006）［26］證明一階平穩(wěn)Markov時(shí)間序列Copula模型的半?yún)?shù)極大似然估計(jì)的一致性和近似正態(tài)性，并對模型進(jìn)行了應(yīng)用研究；而Abegaz和Naik-Nimbalkar［27］研究了一階平穩(wěn)Markov時(shí)間序列Copula模型的兩階段參數(shù)極大似然估計(jì)及其估計(jì)的一致性和近似正態(tài)性。 Prokhorov和Schmidt［28］研究了用面板數(shù)據(jù)對Copula函數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)極大似然估計(jì)的穩(wěn)健性、冗余性和有效性的實(shí)證分析。Kallenberg［29］研究用模型選擇技術(shù)估計(jì)Copula函數(shù)密度問題，發(fā)現(xiàn)應(yīng)用復(fù)雜的模型會(huì)產(chǎn)生較小模型誤差，但會(huì)產(chǎn)生較大的隨機(jī)或估計(jì)誤差；而應(yīng)用簡單的模型則會(huì)產(chǎn)生較小的隨機(jī)誤差但會(huì)有較大的模型誤差。 Fantazzini［30］研究t-Copula的三階段半?yún)?shù)估計(jì)以及估計(jì)的近似性質(zhì)， 并分析了這種估計(jì)的優(yōu)缺點(diǎn)。 Yi和Liao［31］考慮時(shí)間序列的同期相依關(guān)系和短期相依關(guān)系，建立了一階平穩(wěn)Markov時(shí)間序列Copula模型， 提出模型參數(shù)的三階段準(zhǔn)極大似然估計(jì)方法3SPMLE （three-stage pseudo maximum likelihood estimation），并研究3SPMLE參數(shù)估計(jì)的一致性和近似正態(tài)性。 Autin等［32］用小波方法研究多維Copula密度函數(shù)的估計(jì)問題，并提出了估計(jì)的算法和用模擬的方法評價(jià)了估計(jì)方法的性質(zhì)。

（二）非參數(shù)估計(jì)方法

Genest和Rivest［33］、Capéraà等［34］對多維隨機(jī)變量的Copula模型進(jìn)行了非參數(shù)估計(jì)方法的研究，而Ibragimov［35］研究了單個(gè)時(shí)間序列Copula模型的非參數(shù)估計(jì)方法。Chen等［36］提出基于置信區(qū)間（Confidence Intervals）的經(jīng)驗(yàn)似然方法（Empirical Likelihood）估計(jì)Copula函數(shù)模型，通過與Bootstrap方法的對比進(jìn)行了實(shí)證和模擬研究。

在實(shí)際應(yīng)用中通常要檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠癯浞址从辰?jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的實(shí)際特征，因此模型的評價(jià)在經(jīng)濟(jì)應(yīng)用研究中是非常重要的內(nèi)容。Copula模型的評價(jià)主要有兩類：一類是在幾個(gè)模型中選擇最好的模型，這種檢驗(yàn)評價(jià)方法是用模型的經(jīng)濟(jì)標(biāo)準(zhǔn)或統(tǒng)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)加以比較，如似然比檢驗(yàn)、信息準(zhǔn)則AIC或BIC(Akaike or Schwarz’s Bayesian Information Criteria)。 Diebold 等［37］對Copula模型的分布密度的選擇評價(jià)問題進(jìn)行了研究，Chen和 Fan［38-39］研究了Copula模型的分布密度的評價(jià)和半?yún)?shù)時(shí)間序列Copula模型的似然比檢驗(yàn)問題，Abegaz和Naik-Nimbalkar［27］研究了一階平穩(wěn)Markov時(shí)間序列參數(shù)Copula模型在誤設(shè)情況下似然比檢驗(yàn)問題。 另一類是評價(jià)一個(gè)單獨(dú)的模型是否充分?jǐn)M合了數(shù)據(jù)，如構(gòu)造某種統(tǒng)計(jì)量，在一定的置信水平下比較統(tǒng)計(jì)量與臨界值的大小以決定模型的擬合優(yōu)度，如χ2檢驗(yàn)，“Hit”檢驗(yàn)等。 Malevergne和Sornette［40］研究了高斯Copula模型的擬合檢驗(yàn)，Panchenko［41］研究了時(shí)間序列模型的擬合檢驗(yàn)，Scaillet［42］研究了獨(dú)立同分布隨機(jī)變量Copula模型的擬合評價(jià)，Genest等［43］研究了時(shí)間序列基于概率積分變換方法Copula模型的擬合檢驗(yàn)問題。

四、Copula理論在金融和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用

Copula理論在金融和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用主要集中在風(fēng)險(xiǎn)管理、期權(quán)定價(jià)、組合投資、信用風(fēng)險(xiǎn)和金融市場的傳染性等方面。

（一）在風(fēng)險(xiǎn)管理領(lǐng)域

目前主流的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值指標(biāo)為VaR（Value at Risk）, 而大量的研究證明許多金融時(shí)間序列具有高峰厚尾性而不服從正態(tài)分布。因此，在正態(tài)分布假設(shè)下計(jì)算的VaR值，常常會(huì)低估實(shí)際的風(fēng)險(xiǎn)，而在低估的風(fēng)險(xiǎn)值下進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)管理運(yùn)作，可能會(huì)使金融機(jī)構(gòu)遭受巨大的損失。 為了更準(zhǔn)確有效地測度資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值, Hull 和White［44］研究變量的非正態(tài)假設(shè)情況下的VaR， Embrechts等［8］應(yīng)用Copula理論研究組合資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR；Rosenberg 和 Schuermann［45］應(yīng)用Copula理論研究市場的綜合風(fēng)險(xiǎn)問題，他們認(rèn)為研究風(fēng)險(xiǎn)時(shí)必須同時(shí)考慮市場風(fēng)險(xiǎn)、信用風(fēng)險(xiǎn)和操作風(fēng)險(xiǎn)。 McNeil等［46］和Alexander［47］對Copula理論在風(fēng)險(xiǎn)管理中的應(yīng)用問題做了較詳細(xì)的闡述，從多角度分析Copula理論在金融風(fēng)險(xiǎn)管理中的建模應(yīng)用問題。 Huang［48］實(shí)證研究了應(yīng)用條件Copula-GARCH模型估計(jì)計(jì)算組合資產(chǎn)的VaR的方法，認(rèn)為估計(jì)組合資產(chǎn)的VaR時(shí)Copula模型比傳統(tǒng)的模型更好。 Fantazzini［49］研究邊緣分布和Copula函數(shù)都為誤設(shè)情況下VaR估計(jì)的蒙特卡羅（Monte Carlo）方法，指出Copula誤設(shè)對VaR估計(jì)的影響主要取決于相依的程度。 Chollete等［50］應(yīng)用多元Copula轉(zhuǎn)換模型研究了金融資產(chǎn)的相依關(guān)系，認(rèn)為Copula模型能模擬金融市場的相依結(jié)構(gòu)，邊緣分布的選擇對Copula建模有重要影響。

（二）在期權(quán)定價(jià)領(lǐng)域

Cherubini等［51］比較詳細(xì)地介紹了Copula理論在期權(quán)資產(chǎn)定價(jià)中的應(yīng)用研究，Zhang等［52］應(yīng)用時(shí)變Copula模型研究了GARCH過程的期權(quán)定價(jià)問題， 實(shí)證認(rèn)為期權(quán)定價(jià)的動(dòng)態(tài)Copula模型優(yōu)于靜態(tài)模型。 Lai等［53］應(yīng)用Copula-門限GARCH模型研究了五個(gè)東亞國家的現(xiàn)貨和期貨市場的最優(yōu)套期保值模型，研究認(rèn)為由Gaussian 或混合copula模型所構(gòu)造的對沖比率（hedge ratios）更為合理。 有關(guān)Copula理論應(yīng)用于衍生資產(chǎn)定價(jià)的研究還有Rosenberg［54］和van den Goorbergh等［55］等，他們從不同的角度研究期權(quán)價(jià)格相依性的模型擬合問題。

（三）在組合投資領(lǐng)域

一般認(rèn)為組合資產(chǎn)的效用函數(shù)是二次的、服從多元橢圓形分布，在決定最優(yōu)組合資產(chǎn)的權(quán)重時(shí)，僅考慮資產(chǎn)價(jià)格序列的一階矩、二階矩和線性相關(guān)系數(shù)。 然而，大量的研究證明組合資產(chǎn)的上述假設(shè)是不成立的，因此，在做最優(yōu)組合資產(chǎn)投資決策時(shí)，需要設(shè)定組合資產(chǎn)的條件聯(lián)合分布。 Patton［56］應(yīng)用Copula理論，結(jié)合資產(chǎn)的峰度和偏度，研究兩個(gè)資產(chǎn)的投資組合問題，并分析組合投資在熊市和牛市情況下的相依關(guān)系問題；而Garcia和Tsafack［57］的研究分析了四類資產(chǎn)，其中包括股票和債券資產(chǎn)，同類資產(chǎn)有較強(qiáng)的相關(guān)性，特別是在非對稱的情況下，而資產(chǎn)和債券間的相關(guān)性較弱。 Sak等［58］應(yīng)用t-Copula模型研究資產(chǎn)線性組合的尾部概率有效模擬計(jì)算問題，t-Copula模型捕捉資產(chǎn)對數(shù)收益率之間的相依結(jié)構(gòu)，而假設(shè)邊緣分布服從廣義二次曲線分布。

（四）在信用風(fēng)險(xiǎn)領(lǐng)域

Li［59］最早把Copula理論應(yīng)用于信用風(fēng)險(xiǎn)管理中，定義了兩個(gè)信用風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的違約相依關(guān)系，探討應(yīng)用Copula理論研究違約相關(guān)問題的方法。 Giesecke［60］應(yīng)用Copula理論研究不完全信息狀況下的違約相關(guān)性問題， 一個(gè)公司的違約會(huì)導(dǎo)致投資者對相關(guān)資產(chǎn)價(jià)格進(jìn)行重新評估，違約具有傳染性。 Chen等［61］從日本證券市場選擇43家公司研究信用違約收益與證券收益率分布的峰度之間的相依結(jié)構(gòu)，認(rèn)為Gumbel函數(shù)最適合描述它們之間的相依結(jié)構(gòu)，認(rèn)為在低信用等級(jí)時(shí)信用違約收益對信用轉(zhuǎn)移風(fēng)險(xiǎn)更敏感。 He和Gong［62］構(gòu)造基于Copula理論的條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR (Conditional Value-at-Risk)模型以刻畫市場和信用風(fēng)險(xiǎn)的相依關(guān)系，研究結(jié)果顯示，如果忽略信用風(fēng)險(xiǎn)，公司股票的相依風(fēng)險(xiǎn)會(huì)低估。

（五）金融波動(dòng)傳染性研究

金融波動(dòng)傳染性是金融市場普遍存在的現(xiàn)象，一個(gè)市場的劇烈波動(dòng)或危機(jī)會(huì)導(dǎo)致其他市場出現(xiàn)劇烈波動(dòng)或危機(jī)，1997年的亞洲金融危機(jī)和2008年美國次級(jí)債貸款危機(jī)就是例子。 在危機(jī)時(shí)期和非危機(jī)時(shí)期，市場的相依程度以及相依結(jié)構(gòu)是不相同的。為研究這個(gè)問題,Baur［63］研究了金融市場的波動(dòng)溢出和相關(guān)性； Granger等［64］研究了二維時(shí)間序列條件分布的公共因素，收入與消費(fèi)之間的影響因素是在邊緣分布上而不是在Copula模型所刻畫的相依關(guān)系上；Hu［65］提出用混合Copula函數(shù)對金融數(shù)據(jù)進(jìn)行分析可以較好地捕捉金融變量的尾部相依性；Hu［66］應(yīng)用條件時(shí)變Copula模型研究中國股票市場與美國股票市場的相依關(guān)系，實(shí)證認(rèn)為：時(shí)變相依模型不一定總是優(yōu)于常變量模型，在有些時(shí)間段內(nèi)，上尾的相依程度比下尾的相依程度明顯更高，中國股票市場具有相對的獨(dú)立性，中國市場與美國市場的尾部相依關(guān)系要強(qiáng)于與其他國家股市的相關(guān)性；Jondeau 和Rockinger［14］應(yīng)用時(shí)變Copula模型研究四個(gè)主要國際股票市場的相依關(guān)系；Rodriguez［15］應(yīng)用混合Copula模型研究東亞股票市場與拉丁美洲股票市場在金融危機(jī)時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)傳染性，建立了Markov轉(zhuǎn)換的Copula模型；Ning和Wirjanto［67］研究東亞國家6個(gè)新興股票市場的指數(shù)與交易量尾部的相依關(guān)系，實(shí)證發(fā)現(xiàn)這些市場的指數(shù)與交易量尾部相依關(guān)系是顯著、非對稱的，特別發(fā)現(xiàn)指數(shù)的極端上漲與極端大的交易量相聯(lián)系，但是沒有發(fā)現(xiàn)指數(shù)的極端下跌與極端大或極端小的交易量有聯(lián)系。 Ning［68］應(yīng)用Copula函數(shù)研究資本市場與外匯市場的相依結(jié)構(gòu)。

五、國內(nèi)研究現(xiàn)狀

國內(nèi)許多學(xué)者應(yīng)用Copula模型實(shí)證研究金融市場中多個(gè)不同方面的現(xiàn)象和問題， 取得了豐富的研究成果。張堯庭［69］從理論上探討Copula在金融管理方面應(yīng)用的可行性，分析了各相關(guān)性指標(biāo)的優(yōu)缺點(diǎn)；韋艷華、張世英［70］等用Copula-ARCH 模型研究上海證券市場中幾個(gè)板塊間的相關(guān)性，討論Copula-ARCH類模型的構(gòu)建，并應(yīng)用于金融市場的風(fēng)險(xiǎn)分析中；史道濟(jì)等［71-72］應(yīng)用Copula理論研究滬深股市的相依性以及相依風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR；何其祥等［73］研究股指期貨的投資組合風(fēng)險(xiǎn)；劉志東［74］結(jié)合GARCH-EVT模型研究資產(chǎn)組合選擇模型以及模型的混合遺傳算法；劉曉星和邱桂華［75］基于Copula-EVT模型研究我國股票市場流動(dòng)性調(diào)整的VaR和ES風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)；詹原瑞等［76］應(yīng)用Copula函數(shù)族研究信用違約互換組合定價(jià)問題；吳恒煜等［77］研究我國國債利率期限結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)Gumbel Copula和混合Copula能較好地描述1年期和10年期國債利率的結(jié)構(gòu)；童中文等［78］、李建平等［79］也對信用風(fēng)險(xiǎn)和違約風(fēng)險(xiǎn)的相關(guān)性進(jìn)行了研究；葉五一等［80-81］應(yīng)用Copula函數(shù)研究風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值和美國次級(jí)債金融危機(jī)的傳染性；杜子平等［82］研究基于“藤”結(jié)構(gòu)的高維動(dòng)態(tài)Copula模型的構(gòu)建。 還有一些學(xué)者，如傅強(qiáng)、朱世武、陳守東、李秀敏、羅付巖、王玉剛、易文德、張明恒、蔡霞、胡心瀚等，也應(yīng)用Copula函數(shù)對金融市場的相關(guān)性作過一些探討［74,83-91］。

同時(shí)， 近年來國內(nèi)若干課題組對Copula理論及其在金融領(lǐng)域的應(yīng)用方面也進(jìn)行了卓有成效的研究，如北京航空航天大學(xué)李平教授的“基于動(dòng)態(tài)Copula的多元信用衍生產(chǎn)品定價(jià)”和“離散時(shí)間不完全金融市場中基于Copula的多資產(chǎn)期權(quán)定價(jià)研究”； 江西財(cái)經(jīng)大學(xué)吳恒煜先生的“基于Copula的多重基于資產(chǎn)信用衍生品定價(jià)的蒙特卡羅模擬方法研究”； 天津科技大學(xué)杜子平先生的“動(dòng)態(tài)Copula模型的構(gòu)建及其在金融領(lǐng)域的應(yīng)用研究”和“時(shí)序非線性相依Copula分析建模及金融領(lǐng)域應(yīng)用研究”。 還有許多國內(nèi)學(xué)者也進(jìn)行了相關(guān)研究，在此不一一列舉。

六、存在問題分析

截至目前， 運(yùn)用Copula理論探索金融時(shí)間序列的相依關(guān)系而進(jìn)行的風(fēng)險(xiǎn)管理還存在以下三個(gè)方面的問題：

一是模型相依關(guān)系的單一性問題。 現(xiàn)有的Copula函數(shù)模型都只考慮金融時(shí)間序列間的同期相依結(jié)構(gòu)或時(shí)間序列的短期相依結(jié)構(gòu)。 金融時(shí)間序列的相依關(guān)系主要有兩類：一類是金融時(shí)間序列之間的相依關(guān)系，即時(shí)間序列的同期相依關(guān)系；另一類是單個(gè)時(shí)間序列的短期相依關(guān)系。而已有的這些Copula相依模型都只是考慮了單方面的相依關(guān)系，而沒有把這兩類相依關(guān)系同時(shí)考慮進(jìn)去。

二是邊緣時(shí)間序列波動(dòng)性的擬合問題。 單個(gè)時(shí)間序列的波動(dòng)一般用ARCH類模型來描述，現(xiàn)有模型一般只考慮邊緣時(shí)間序列波動(dòng)的一階矩和二階矩的影響，而對金融時(shí)間序列的高階矩影響沒有考慮，也未進(jìn)行系統(tǒng)分析。

三是非線性相依結(jié)構(gòu)模型的描述問題。 雖然Copula理論作為研究隨機(jī)變量間非線性相依關(guān)系的一種更為廣泛和靈活的統(tǒng)計(jì)方法而受到關(guān)注，但建立一個(gè)充分描述非線性相依結(jié)構(gòu)模型仍然是困難的。