磁浮車輛-橋梁耦合系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)分析的時(shí)域顯式方法研究

陸周瑞，陳 冉，蘇 成,2

(1. 華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院，廣州 510640；2. 華南理工大學(xué)亞熱帶建筑科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州 510640)

磁浮列車以其運(yùn)行速度高、乘坐舒適安全、線路適應(yīng)能力強(qiáng)、運(yùn)營(yíng)維護(hù)成本低等優(yōu)勢(shì)，成為當(dāng)前頗具競(jìng)爭(zhēng)力的地面軌道交通運(yùn)輸工具[1-4]。目前，國(guó)內(nèi)外已建成多條磁浮列車商業(yè)線路，我國(guó)600 km/h 高速磁浮試驗(yàn)樣車也已進(jìn)入試跑階段。當(dāng)磁浮列車高速通過高架橋梁時(shí)，軌道不平順是誘發(fā)磁浮車輛和橋梁耦合振動(dòng)的重要因素，直接影響行車舒適性和穩(wěn)定性[5-6]。經(jīng)典的車橋耦合動(dòng)力學(xué)理論主要聚焦于確定性振動(dòng)分析方面，考慮輸入系統(tǒng)的激勵(lì)是確定性函數(shù)(如某一軌道不平順樣本)，研究單一給定激勵(lì)作用下車橋系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)。事實(shí)上，軌道不平順具有本質(zhì)的隨機(jī)性，而車橋耦合系統(tǒng)本身是一個(gè)時(shí)變體系，在軌道隨機(jī)不平順作用下的車橋耦合振動(dòng)是典型的非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)問題，需要在非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)理論框架下進(jìn)行研究。考慮軌道不平順等激勵(lì)源的隨機(jī)特性，開展磁浮車輛-橋梁耦合系統(tǒng)(以下簡(jiǎn)稱磁浮車橋耦合系統(tǒng))隨機(jī)振動(dòng)分析方法研究具有重要的理論價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義。

已有的車橋耦合系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)分析方法可以劃分為統(tǒng)計(jì)型方法[5,7-9]和非統(tǒng)計(jì)型方法[10-19]。統(tǒng)計(jì)型方法即傳統(tǒng)的隨機(jī)模擬法(也稱Monte Carlo 模擬法)，該法通過計(jì)算車橋耦合系統(tǒng)在大量隨機(jī)生成激勵(lì)樣本下的時(shí)域響應(yīng)，統(tǒng)計(jì)得到車橋動(dòng)力響應(yīng)的隨機(jī)特征，如文獻(xiàn)[5]采用軌道不平順譜生成樣本，模擬計(jì)算了TR06 磁浮車橋耦合系統(tǒng)時(shí)域上的隨機(jī)響應(yīng)，通過時(shí)頻變換給出系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)的功率譜。統(tǒng)計(jì)型方法本質(zhì)上是針對(duì)樣本的確定性分析方法，其優(yōu)點(diǎn)是原理簡(jiǎn)單和適用性廣，但計(jì)算效率嚴(yán)重依賴于所需樣本量和單樣本時(shí)程分析效率，難以滿足大型復(fù)雜磁浮車橋耦合系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)計(jì)算的需求。非統(tǒng)計(jì)型方法指基于隨機(jī)振動(dòng)理論的分析方法，主要有譜演化法(包括功率譜法[10-11]和虛擬激勵(lì)法[12-15])、矩演化法[16]和概率密度演化法[17-19]等。其中，虛擬激勵(lì)法已被應(yīng)用于磁浮車輛隨機(jī)振動(dòng)問題，如文獻(xiàn)[12]基于虛擬激勵(lì)原理，提出磁浮車輛系統(tǒng)受多點(diǎn)異相位平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)的響應(yīng)功率譜計(jì)算方法，但未考慮磁浮車輛與橋梁的耦合振動(dòng)問題?？傮w而言，對(duì)于一般的車橋耦合系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)問題，已開展了大量研究，但針對(duì)磁浮車橋耦合系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)問題，相關(guān)研究尚不多見。

時(shí)域顯式法(explicit time-domain method)是近年來發(fā)展起來的一類針對(duì)大規(guī)模系統(tǒng)的高效非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)分析方法[20-23]。該法通過構(gòu)建系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的時(shí)域顯式表達(dá)式，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)物理演化機(jī)制與概率演化機(jī)制的相對(duì)分離，在獲取響應(yīng)統(tǒng)計(jì)矩的過程中，無須反復(fù)求解系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程，同時(shí)可以任意選取所關(guān)注的自由度進(jìn)行降維計(jì)算。最近，時(shí)域顯式法已成功應(yīng)用于線彈性接觸[24]和非線性赫茲接觸[25]的輪軌車橋耦合系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)分析，展現(xiàn)了良好的計(jì)算精度和效率。

本文在文獻(xiàn)[24 - 25]的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步發(fā)展了考慮軌道隨機(jī)不平順作用的磁浮車橋耦合系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)分析時(shí)域顯式法。分別從車輛系統(tǒng)和橋梁系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)，結(jié)合車軌間的電磁力方程和幾何相容條件，構(gòu)建表征車橋相互作用的電磁力關(guān)于軌道不平順的時(shí)域顯式表達(dá)式，并進(jìn)一步得到磁浮車橋耦合系統(tǒng)關(guān)鍵響應(yīng)關(guān)于軌道不平順的時(shí)域顯式表達(dá)式。在此基礎(chǔ)上，利用統(tǒng)計(jì)矩運(yùn)算法則或隨機(jī)模擬法，高效計(jì)算磁浮車橋耦合系統(tǒng)關(guān)鍵響應(yīng)的演變統(tǒng)計(jì)矩。數(shù)值算例表明，本文所提方法具有理想的計(jì)算精度與效率。

1 磁浮車橋耦合系統(tǒng)的基本方程

1.1 計(jì)算模型

為了闡述時(shí)域顯式法的列式過程，考慮二自由度常導(dǎo)電磁懸浮型車輛以勻速V通過簡(jiǎn)支梁橋的計(jì)算模型，如圖1 所示。車輛系統(tǒng)由車體、車體懸架和電磁鐵組成，采用多剛體建模，m1和m2分別為車體和電磁鐵的質(zhì)量，ks和cs分別為車體懸架的剛度和阻尼。橋梁系統(tǒng)采用平面梁?jiǎn)卧?，L為橋梁跨度， ρAb和EIb分別為橋梁的線密度和抗彎剛度。假定磁浮車輛通過橋梁前橋面在自重作用下保持水平，并假定軌道與橋面之間不存在相對(duì)位移，w(x)為軌道不平順隨機(jī)場(chǎng)，以向下為正，其中x=Vt。

圖1 二自由度磁浮車輛-橋梁耦合系統(tǒng)力學(xué)模型Fig. 1 Mechanical model for a 2-DOF maglev vehicle-bridge coupled system

1.2 磁浮車輛系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程

車輛系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可以列為：

式中：下標(biāo)v 表示車輛(vehicle)；Mv、Cv和Kv分別為車輛系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；Yv、和分別為車輛系統(tǒng)的位移向量、速度向量和加速度向量，方向以向下為正，并取車輛系統(tǒng)在岸上的靜懸浮位置為原點(diǎn)；G為車輛系統(tǒng)的重力；F(t) 為 電磁吸引力，如圖1 所示；Lv為作用于車輛電磁鐵上荷載 [G-F(t)]的定位向量。

1.3 橋梁系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程

橋梁系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可以列為：

式中：下標(biāo)b 表示橋梁(bridge)；Mb、Cb和Kb分別為橋梁系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；Yb、和分別為橋梁系統(tǒng)的位移向量、速度向量和加速度向量，方向以向下為正，并取車輛通過橋梁前的橋梁系統(tǒng)靜平衡位置為原點(diǎn)；Lb(x) 為 車輛位置x處 電磁力F(t)的定位向量。

1.4 電磁力方程

與輪軌直接接觸方式不同，磁浮車輛借助電磁鐵和軌道之間的電磁吸引力克服重力作用，實(shí)現(xiàn)懸浮。任意瞬時(shí)的電磁力可以表示為：

式中：μ0為空氣磁導(dǎo)率；N為電磁鐵線圈匝數(shù)；A為有效磁極面積；I(t) 為 電磁鐵電流；c(x)為懸浮間隙，x=Vt，如圖1 所示。

式(3)說明了電磁力是關(guān)于電流和懸浮間隙的非線性函數(shù)。假定車輛靜懸浮時(shí)，電流和懸浮間隙分別為I0和c0，此時(shí)電磁力F0=G。考慮到車輛運(yùn)行時(shí)控制電流和懸浮間隙的變化較小[5]，在I0和c0處對(duì)電磁力進(jìn)行一階泰勒展開，可將電磁力表達(dá)為如下線性函數(shù)：

式中： ΔI(t) 和 Δc(x)分別為電流變化量和懸浮間隙變 化 量；kI和kc分 別 為 ΔI(t) 和 Δc(x)的 比 例系數(shù)，其表達(dá)式分別為：

1.5 電流控制律和車軌幾何相容條件

電磁力是有源主動(dòng)控制力，通?？梢詫腋￠g隙變化量等信號(hào)輸入懸浮控制器，實(shí)現(xiàn)電磁力的動(dòng)態(tài)調(diào)整，進(jìn)而控制懸浮間隙變化量，保持車輛的懸浮穩(wěn)定性。選取懸浮間隙變化量 Δc(x)、車輛電磁鐵豎向速度(t) 和 豎向加速度(t)為狀態(tài)反饋量，則電流控制律可以寫為[8]：

式中，G1、G2和G3分別為 Δc(x) 、(t) 和(t)的反饋系數(shù)。

根據(jù)車輛和橋梁之間的幾何相容條件，由圖1可得懸浮間隙變化量 Δc(x)的表達(dá)式為：

式中：yv(t) 為 車輛電磁鐵豎向位移；yb(x,t)為電磁力作用點(diǎn)處橋梁豎向位移。

將式(7)和式(8)代入式(4)，整理后可得：

式中：

由以上推導(dǎo)可見，電磁力式(9)綜合考慮了線性化電磁力方程式(4)、電流控制律式(7)和幾何相容條件式(8)，揭示了車橋運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及軌道不平順對(duì)電磁力的影響機(jī)制。

2 系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)域顯式表達(dá)式

2.1 系統(tǒng)響應(yīng)關(guān)于電磁力的顯式表達(dá)

采用任意一種數(shù)值積分方法，如Newmark-β法，分別求解運(yùn)動(dòng)方程式(1)和式(2)，導(dǎo)出車輛和橋梁響應(yīng)關(guān)于各離散時(shí)刻電磁力F(ti)的顯式表達(dá)式：

2.2 電磁力關(guān)于軌道不平順的顯式表達(dá)

考慮全部時(shí)刻的電磁力，由式(9)可得：

式中，w[n]=[w(x1)w(x2) ···w(xn)]T。

將式(15)～式(18)代入式(19)，整理后可得：

式中：

式中，Iu為n階單位矩陣。

式(20)即為電磁力向量F[n]關(guān)于軌道不平順向量w[n]的顯式表達(dá)式，該式從本質(zhì)上反映了磁浮車橋耦合系統(tǒng)的物理演化過程。

2.3 系統(tǒng)關(guān)鍵響應(yīng)關(guān)于軌道不平順的顯式表達(dá)

式(13)和式(14)分別給出了電磁力作用下磁浮車輛系統(tǒng)和橋梁系統(tǒng)的響應(yīng)表達(dá)式，而式(20)則給出了電磁力關(guān)于軌道不平順的表達(dá)式。因此，可以進(jìn)一步推導(dǎo)車輛系統(tǒng)和橋梁系統(tǒng)關(guān)鍵響應(yīng)關(guān)于軌道不平順的顯式表達(dá)式。假定rv(t)和rb(t)分別為磁浮車輛系統(tǒng)和橋梁系統(tǒng)的某一關(guān)鍵響應(yīng)。同樣地，由式(13)和式(14)可以得到全部時(shí)刻rv(ti)和rb(ti)(i=1,2,···,n)分別為：

將式(20)分別代入式(22)和式(23)中，整理后可得磁浮車輛系統(tǒng)和橋梁系統(tǒng)關(guān)鍵響應(yīng)關(guān)于軌道不平順的顯式表達(dá)式：

式中：

2.4 電流變化量及懸浮間隙變化量關(guān)于軌道不平順的顯式表達(dá)

除了車輛系統(tǒng)和橋梁系統(tǒng)的關(guān)鍵響應(yīng)外，與磁浮車輛行駛穩(wěn)定性密切相關(guān)的控制電流變化量和懸浮間隙變化量也應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注。由式(7)和式(8)可 以 得 到 全 部 時(shí) 刻 ΔI(ti) 和Δc(ti)(i=1,2,···,n)分別為：

式 中： ΔI[n]=[ΔI(t1)ΔI(t2) ··· ΔI(tn)]T，Δc[n]=[Δc(t1) Δc(t2) ··· Δc(tn)]T。

將式(20)代入式(15)～式(18)，然后再分別代入式(28)和式(29)，整理后可得電流變化量和懸浮間隙變化量關(guān)于軌道不平順的顯式表達(dá)式：

式中：

至此，已經(jīng)獲得磁浮車橋耦合系統(tǒng)關(guān)鍵響應(yīng)、控制電流變化量以及懸浮間隙變化量關(guān)于軌道不平順的顯式表達(dá)，分別如式(24)、式(25)、式(30)和式(31)所示。當(dāng)給定軌道不平順隨機(jī)場(chǎng)的功率譜密度函數(shù)或相關(guān)函數(shù)后，即可利用上述式子開展磁浮車橋耦合系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)分析。

3 磁浮車橋耦合系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)分析

3.1 時(shí)域顯式直接法

式中， E(w[n]) 和 cov(w[n],w[n])分別表示軌道不平順的均值向量和協(xié)方差矩陣，它們的具體形式如下：

其中，μw(x)和Rw(x,x+τ)分別為軌道不平順場(chǎng)的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。特別地，當(dāng)w(x)為均勻隨機(jī)場(chǎng)時(shí)，Rw(τ)可由軌道不平順場(chǎng)的功率譜密度函數(shù)Sw(ω)通過傅氏變換求得。

值得注意的是，由式(34)～式(37)計(jì)算得到的各協(xié)方差矩陣，其對(duì)角線元素即為各個(gè)時(shí)刻磁浮車橋耦合系統(tǒng)關(guān)鍵響應(yīng)、電流變化量以及懸浮間隙變化量的方差值。

從上述計(jì)算列式可以看出，由于已經(jīng)先行構(gòu)建了磁浮車橋耦合系統(tǒng)關(guān)鍵響應(yīng)、電流變化量以及懸浮間隙變化量的顯式表達(dá)式，在其統(tǒng)計(jì)矩的計(jì)算過程中，并不需要嵌入磁浮車橋耦合系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的求解，同時(shí)可以針對(duì)任意關(guān)鍵響應(yīng)進(jìn)行降維計(jì)算，顯著提高了隨機(jī)振動(dòng)的分析效率。由于該法是在時(shí)域顯式表達(dá)式的基礎(chǔ)上直接進(jìn)行統(tǒng)計(jì)矩的運(yùn)算，因此可稱為時(shí)域顯式直接法。

3.2 時(shí)域顯式隨機(jī)模擬法

磁浮車橋耦合系統(tǒng)關(guān)鍵響應(yīng)、控制電流變化量以及懸浮間隙變化量的平均峰值通常也是需要重點(diǎn)關(guān)注的，可以利用隨機(jī)模擬方法獲得。根據(jù)式(39)給出的軌道不平順向量w[n]的協(xié)方差矩陣，利用隨機(jī)向量的數(shù)字生成方法，如正交分解法[26]，即可生成w[n]的大量樣本(k=1,2,···,K)，K為樣本總數(shù)。將生成的軌道不平順樣本代入時(shí)域顯式表達(dá)式(24)、式(25)、式(30)和式(31)，得：

對(duì)各個(gè)物理量的時(shí)程樣本峰值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，即可得到各物理量的平均峰值如下：

3.農(nóng)村新型養(yǎng)老保險(xiǎn)。國(guó)務(wù)院從2009年起開展新型農(nóng)村社會(huì)養(yǎng)老保險(xiǎn)(簡(jiǎn)稱新農(nóng)保)試點(diǎn)。新型農(nóng)村社會(huì)養(yǎng)老保險(xiǎn)是以保障農(nóng)村居民年老時(shí)的基本生活為目的，由政府組織實(shí)施的一項(xiàng)社會(huì)養(yǎng)老保險(xiǎn)制度，是國(guó)家社會(huì)保險(xiǎn)體系的重要組成部分。養(yǎng)老待遇由社會(huì)統(tǒng)籌與個(gè)人賬戶相結(jié)合，與家庭養(yǎng)老、土地保障、社會(huì)救助等其他社會(huì)保障政策措施相配套，建立個(gè)人繳費(fèi)、集體補(bǔ)助、政府補(bǔ)貼相結(jié)合的籌資模式。

值得注意的是，若采用傳統(tǒng)隨機(jī)模擬法，需要將生成的軌道不平順樣本代入電磁力式(9)，并借助磁浮車橋耦合系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程式(1)和式(2)進(jìn)行反復(fù)迭代求解，樣本分析計(jì)算效率很低。利用已經(jīng)構(gòu)建完畢的磁浮車橋耦合系統(tǒng)關(guān)鍵響應(yīng)、電流變化量和懸浮間隙變化量的時(shí)域顯式表達(dá)式進(jìn)行隨機(jī)模擬，在樣本分析中并不需要求解磁浮車橋耦合系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程，且可以針對(duì)任意關(guān)鍵響應(yīng)進(jìn)行降維計(jì)算，大幅提高了隨機(jī)模擬的計(jì)算效率。由于該法是在時(shí)域顯式表達(dá)式的基礎(chǔ)上進(jìn)行隨機(jī)模擬，因此可稱為時(shí)域顯式隨機(jī)模擬法。

4 數(shù)值算例1

采用圖1 所示的磁浮車橋耦合模型開展數(shù)值模擬研究，相關(guān)參數(shù)參考文[27]選定。橋梁跨度L=20 m ， 線密度 ρAb=1.42×103kg/m，抗彎剛度EIb=1.66×108N·m2，采用Rayleigh 阻尼模型，阻尼比 ζ=0.05。橋梁離散為100 個(gè)平面梁?jiǎn)卧＼圀w質(zhì)量m1=500 kg ， 電磁鐵質(zhì)量m2=300 kg，車體懸架剛度ks=1.40×104N/m ， 車體懸架阻尼cs=5.80×102N·s/m 。 空氣磁導(dǎo)率μ0=4π×10-7H/m，有效磁極面積A=0.049 m2，線圈匝數(shù)N=356 T，靜懸浮電流I0=20 A ， 靜懸浮間隙c0=0.01 m。電流控制的位移反饋系數(shù)G1=7500 A/m，速度反饋系數(shù)G2=10 A·s/m ， 加速度反饋系數(shù)G3=0.5 A·s2/m 。 車輛行駛速度V=20 m/s。

假定軌道不平順場(chǎng)為零均值均勻隨機(jī)場(chǎng)，其功率譜密度函數(shù)可取為如下形式[5]：

式中：ω為空間圓頻率，ω=2πf，f為空間頻率；α為頻率特征參數(shù)；Aw為粗糙度系數(shù)。在本算例中，取 α=3，Aw=6.1×10-8m，f的取值范圍為[0.01,7]m-1。

4.1 單樣本時(shí)程分析

根據(jù)上述功率譜密度函數(shù)形成如式(39)所示的軌道不平順向量的協(xié)方差矩陣，據(jù)此生成大量軌道不平順樣本，其中一條軌道不平順樣本如圖2所示。

圖2 某軌道不平順樣本Fig. 2 A sample of guideway irregularity

采用Newmark-β 積分格式建立磁浮車橋耦合系統(tǒng)關(guān)鍵響應(yīng)、電流變化量和懸浮間隙變化量的時(shí)域顯式表達(dá)式，分別如式(24)、式(25)、式(30)和式(31)所示，時(shí)程分析步長(zhǎng) Δt=0.005 s。考慮圖2 所示的單個(gè)軌道不平順樣本，采用時(shí)域顯式法獲得橋梁跨中豎向位移ybm、車體豎向加速度a1、電流變化量 ΔI和懸浮間隙變化量 Δc的時(shí)程曲線，分別如圖3～圖6 所示。為了進(jìn)行對(duì)比，采用傳統(tǒng)的Newmark-β 逐步迭代法計(jì)算得到的結(jié)果也示于圖3～圖6 中。從圖中可見，時(shí)域顯式法和傳統(tǒng)方法的計(jì)算結(jié)果完全吻合，說明了時(shí)域顯式法的正確性。

圖3 橋梁跨中豎向位移 ybm時(shí)程Fig. 3 Time history of vertical displacement ybmat mid-span of bridge

圖4 車體豎向加速度 a1時(shí)程Fig. 4 Time history of vertical acceleration a1 of car body

圖5 電流變化量 ΔI時(shí)程Fig. 5 Time history of electric current change ΔI

圖6 懸浮間隙變化量 Δc時(shí)程Fig. 6 Time history of air gap changeΔc

在計(jì)算效率方面，表1 對(duì)比了兩種方法進(jìn)行單樣本分析的計(jì)算耗時(shí)。從表1 中可見，時(shí)域顯式法的耗時(shí)由兩部分組成：一部分是建立時(shí)域顯式表達(dá)式所需時(shí)間(0.739 s)；另一部分是利用時(shí)域顯式表達(dá)式進(jìn)行時(shí)程分析所需時(shí)間(0.013 s)，總耗時(shí)0.752 s；而Newmark-β 逐步迭代法則耗時(shí)1.413 s。顯然，對(duì)于單樣本時(shí)程分析，時(shí)域顯式法的計(jì)算效率已經(jīng)高于Newmark-β 逐步迭代法的效率。

表1 單樣本時(shí)程分析耗時(shí)對(duì)比Table 1 Comparison of computation time for sample analysis

4.2 響應(yīng)統(tǒng)計(jì)矩分析

采用時(shí)域顯式直接法，即式(34)～式(37)，計(jì)算磁浮車橋耦合系統(tǒng)關(guān)鍵響應(yīng)、電流變化量和懸浮間隙變化量的統(tǒng)計(jì)矩時(shí)程。其中，考慮到軌道不平順是零均值均勻隨機(jī)場(chǎng)，因此 E(w[n])=0，而cov(w[n],w[n])可以利用式(48)給出的功率譜密度函數(shù)計(jì)算得到。圖7～圖14 分別給出了橋梁跨中豎向位移ybm、車體豎向加速度a1、電流變化量 ΔI和懸浮間隙變化量 Δc的均值時(shí)程和標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)程。為了進(jìn)行對(duì)比，根據(jù) cov(w[n],w[n])，通過正交分解法生成大量軌道不平順樣本，采用時(shí)域顯式隨機(jī)模擬法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)矩分析，其結(jié)果也示于圖7～圖14中。從圖中可見，隨著樣本數(shù)的增加，時(shí)域顯式隨機(jī)模擬法的計(jì)算結(jié)果逐漸收斂，并與時(shí)域顯式直接法的計(jì)算結(jié)果十分接近，驗(yàn)證了時(shí)域顯式直接法的正確性。注意到，對(duì)于隨機(jī)模擬，計(jì)算電流變化量或懸浮間隙變化量統(tǒng)計(jì)矩時(shí)程所需樣本數(shù)一般要多于計(jì)算橋梁跨中豎向位移或車體豎向加速度統(tǒng)計(jì)矩時(shí)程所需的樣本數(shù)。從圖8 可見，在車輛即將出橋時(shí)，橋梁跨中豎向位移的標(biāo)準(zhǔn)差出現(xiàn)最大值，這一現(xiàn)象與文[10]算例中出現(xiàn)的情況相似。

圖7 橋梁跨中豎向位移 ybm 均值時(shí)程Fig. 7 Time history of mean value of vertical displacement ybmat mid-span of bridge

圖8 橋梁跨中豎向位移 ybm 標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)程Fig. 8 Time history of standard deviation of vertical displacement ybm at mid-span of bridge

圖9 車體豎向加速度 a1均值時(shí)程Fig. 9 Time history of mean value of vertical acceleration a1 of car body

圖10 車體豎向加速度 a1標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)程Fig. 10 Time history of standard deviation of vertical acceleration a1 of car body

圖11 電流變化量 ΔI均值時(shí)程Fig. 11 Time history of mean value of electric current changeΔI

圖12 電流變化量 ΔI標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)程Fig. 12 Time history of standard deviation of electric current changeΔI

圖13 懸浮間隙變化量 Δc均值時(shí)程Fig. 13 Time history of mean value of air gap changeΔc

圖14 懸浮間隙變化量 標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)程ΔcFig. 14 Time history of standard deviation of air gap changeΔc

在計(jì)算效率方面，表2 列出了兩種方法的計(jì)算耗時(shí)。從表中可知，兩種方法都需要建立系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)域顯式表達(dá)式，耗時(shí)0.739 s，該時(shí)間與表1相應(yīng)的時(shí)間是一致的。除此以外，時(shí)域顯式直接法在進(jìn)行響應(yīng)統(tǒng)計(jì)矩運(yùn)算時(shí)，還需耗時(shí)0.100 s；而時(shí)域顯式隨機(jī)模擬法在進(jìn)行響應(yīng)統(tǒng)計(jì)矩分析時(shí)，還需耗時(shí)0.072 s～0.693 s 不等，這部分時(shí)間取決于所選的樣本數(shù)。顯然，兩種方法均具有較高的計(jì)算效率。值得注意的是，隨著樣本數(shù)的增加，時(shí)域顯式隨機(jī)模擬法的計(jì)算耗時(shí)并沒有顯著增加，這是由于時(shí)域顯式表達(dá)式僅需構(gòu)建1 次，即可用于各樣本分析。因此，樣本數(shù)的增加對(duì)于時(shí)域顯式隨機(jī)模擬法的總耗時(shí)影響不大，說明在樣本數(shù)規(guī)模加大時(shí)，時(shí)域顯式隨機(jī)模擬法比傳統(tǒng)隨機(jī)模擬法(如基于Newmark-β 逐步迭代的隨機(jī)模擬法)更具計(jì)算效率優(yōu)勢(shì)。

表2 算例1 響應(yīng)統(tǒng)計(jì)矩分析的計(jì)算耗時(shí)Table 2 Computation time for statistical moment analysis of responses for the 1st numerical example

4.3 響應(yīng)平均峰值分析

根據(jù) cov(w[n],w[n])，通過正交分解法生成大量軌道不平順樣本，采用時(shí)域顯式隨機(jī)模擬法，即式(44)～式(47)，分別計(jì)算橋梁跨中豎向位移ybm、車體豎向加速度a1、電流變化量 ΔI和懸浮間隙變化量 Δc的平均峰值，其結(jié)果如表3 所示。從表中可見，各響應(yīng)平均峰值收斂較快，當(dāng)采用200 個(gè)樣本時(shí)，結(jié)果已基本收斂。由于表3 中所考慮的樣本數(shù)與表2 中的樣本數(shù)一致，這里的時(shí)域顯式隨機(jī)模擬法計(jì)算時(shí)間與表2 所列時(shí)間基本一致。

表3 各響應(yīng)平均峰值Table 3 Mean peak values of responses

5 數(shù)值算例2

本文以二自由度磁浮車輛與橋梁耦合模型為例闡述了時(shí)域顯式法的列式過程，該列式原理同樣可以推廣應(yīng)用于多自由度磁浮列車與橋梁耦合系統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)分析。采用圖15 所示的磁浮列車過多跨簡(jiǎn)支梁橋模型開展工程應(yīng)用研究，相關(guān)參數(shù)參考文[27]選定。多跨簡(jiǎn)支梁橋的單跨長(zhǎng)度L=25 m ， 線密度 ρAb=3.76×103kg/m，抗彎剛度EIb=2.46×1010N·m2，采用Rayleigh 阻尼模型，阻尼比 ζ=0.05。每跨簡(jiǎn)支梁離散為100 個(gè)平面梁?jiǎn)卧?。磁浮列車由三?jié)車輛組成，每節(jié)車輛包含1 個(gè)車體和5 個(gè)懸浮架，采用多剛體建模，考慮沉浮和點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)，每節(jié)車輛共12 個(gè)自由度。其中，車體長(zhǎng)度L1=16 m ， 車體質(zhì)量M1=2.32×104kg，車體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1=2.11×105kg·m2，懸浮架長(zhǎng)度L2=3.12 m ， 懸浮架質(zhì)量M2=846 kg，懸浮架轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J2=1.80×103kg·m2，懸浮架與車體之間由車體懸架連接，車體懸架剛度ks=8.10×104N/m，車體懸架阻尼cs=5.00×103N·s/m?？紤]車輛之間的聯(lián)系，車輛連接豎向剛度kl=5.00×105N/m，車輛連接豎向阻尼cl=2.50×104N·s/m。懸浮架下布置4 個(gè)電磁鐵，每個(gè)電磁鐵對(duì)應(yīng)的有效磁極面積A=0.084 m2，線圈匝數(shù)N=356 T，靜懸浮電流I0=20 A ， 靜懸浮間隙c0=0.01 m。電流控制的反饋系數(shù)取值與數(shù)值算例1 相同。列車行駛速度V=100 km/h。

圖15 磁浮列車過多跨簡(jiǎn)支梁橋模型Fig. 15 Mechanical model for a maglev train traversing a multi-span simply-supported bridge

采用與數(shù)值算例1 中相同的軌道不平順場(chǎng)功率譜密度函數(shù)，分別利用時(shí)域顯式直接法和時(shí)域顯式隨機(jī)模擬法計(jì)算磁浮車橋耦合系統(tǒng)關(guān)鍵響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)矩時(shí)程，時(shí)程分析步長(zhǎng) Δt=0.02 s。圖16～圖19 分別給出了某跨簡(jiǎn)支梁跨中豎向位移ybm和第2 節(jié)車輛車體豎向加速度a1的均值時(shí)程和標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)程。從圖中可見，時(shí)域顯式隨機(jī)模擬法采用1000 個(gè)樣本的計(jì)算結(jié)果與時(shí)域顯式直接法的計(jì)算結(jié)果十分接近。

圖16 某跨簡(jiǎn)支梁跨中豎向位移 ybm 均值時(shí)程Fig. 16 Time history of mean value of vertical displacement ybmat mid-span of a simply-supported beam

圖17 某跨簡(jiǎn)支梁跨中豎向位移 ybm標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)程Fig. 17 Time history of standard deviation of vertical displacement ybm at mid-span of a simply-supported beam

圖18 第2 節(jié)車輛車體豎向加速度 a1均值時(shí)程Fig. 18 Time history of mean value of vertical acceleration a1for car body of the 2nd maglev vehicle

圖19 第2 節(jié)車輛車體豎向加速度 a1標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)程Fig. 19 Time history of standard deviation of vertical acceleration a1 for car body of the 2nd maglev vehicle

在計(jì)算效率方面，表4 列出了兩種方法的計(jì)算耗時(shí)。從表中可知，兩種方法均能對(duì)大型復(fù)雜磁浮車橋耦合系統(tǒng)進(jìn)行高效的隨機(jī)振動(dòng)分析，其中時(shí)域顯式隨機(jī)模擬法比時(shí)域顯式直接法耗時(shí)更短。實(shí)際上，當(dāng)車橋耦合系統(tǒng)規(guī)模達(dá)到一定程度時(shí)，采用式(36)和式(37)所需的計(jì)算量將高于采用隨機(jī)模擬方法所需的計(jì)算量，此時(shí)時(shí)域顯式隨機(jī)模擬法將比時(shí)域顯式直接法計(jì)算效率更高。

表4 算例2 響應(yīng)統(tǒng)計(jì)矩分析的計(jì)算耗時(shí)Table 4 Computation time for statistical moment analysis of responses for the 2nd numerical example

6 結(jié)論

軌道不平順作用下磁浮車橋耦合系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)本質(zhì)上是一類非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)，采用傳統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)方法求解時(shí)，由于需要同時(shí)處理系統(tǒng)的物理演化和概率演化兩種機(jī)制，通常需要反復(fù)求解磁浮車橋耦合系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，涉及大量的時(shí)程積分運(yùn)算。本文開展了磁浮車橋耦合系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)分析的時(shí)域顯式方法研究，得到了以下結(jié)論：

(1) 通過建立磁浮車橋耦合系統(tǒng)關(guān)鍵響應(yīng)關(guān)于軌道不平順的時(shí)域顯式表達(dá)式，完全揭示了系統(tǒng)的物理演化過程，在此基礎(chǔ)上再開展磁浮車橋耦合系統(tǒng)關(guān)鍵響應(yīng)的隨機(jī)分析，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)物理演化機(jī)制和概率演化機(jī)制的分離處置；

(2) 時(shí)域顯式方法大幅提升了磁浮車橋耦合系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)分析的計(jì)算效率，可以準(zhǔn)確計(jì)算磁浮車橋耦合系統(tǒng)關(guān)鍵響應(yīng)、控制電流變化量以及懸浮間隙變化量等隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)矩及平均峰值。

本文將電磁力在靜懸浮點(diǎn)附近線性化，是一種簡(jiǎn)化處理。在后續(xù)研究工作中，將進(jìn)一步考慮電磁力的非線性特點(diǎn)，開展磁浮車橋耦合系統(tǒng)非線性隨機(jī)振動(dòng)方法的研究，以期在實(shí)際工程中推廣應(yīng)用。