例析高中數(shù)學(xué)“齊次式”的處理策略

李云錦

(福建省廈門市海滄中學(xué) 361000)

1 齊次式

2 典型例題分析

2.1 三角中的齊次式

解析分子分母同除以cosα,得

所以tanα=-3.

評(píng)析由于分子和分母都是齊1次式的，所以將分子分母同除以cosα，就能轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanα的方程.本題是弦與切的轉(zhuǎn)化，當(dāng)分子分母是齊2次式時(shí)，可以同除以cos2α，進(jìn)而得到關(guān)于tanα的方程.

例2設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若bcosC+ccosB=asinA，則△ABC的形狀為( ).

A.銳角三角形 B.直角三角形

C.鈍角三角形 D.不確定

解析因?yàn)閎cosC+ccosB=asinA，

所以由正弦定理,得

sinBcosC+sinCcosB=sin2A.

所以sin(B+C)=sin2A.

所以sinA=sin2A.

所以△ABC是直角三角形.

2.2 解析幾何中的齊次式

解析設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則

所以kOA·kOB=-1.

即OA⊥OB.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P2且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線l過(guò)定點(diǎn)(2,-1)，求證：直線P2A與直線P2B的斜率的和為定值.

設(shè)A′(x′1,y′1)，B′(x′2,y′2)，則

設(shè)直線A′B′的方程為mx′+ny′=1，

因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)(2,-2)，所以2m-2n=1.

故直線P2A與直線P2B的斜率的和為定值.

2.3 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的齊次式

所以φ(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

所以φ(t)<φ(1)=0.

例6若0

A.ex2-ex1>lnx2-lnx1

B.ex2-ex1

C.x2ex1>x1ex2

D.x2ex1

當(dāng)0

當(dāng)00，

所以0

所以當(dāng)0

所以y=ex2-ex1與y=lnx2-lnx1的大小關(guān)系沒(méi)辦法判斷，所以選項(xiàng)A，B不正確.

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.

當(dāng)0g(x2)，

所以x2ex1>x1ex2，故選項(xiàng)C正確.

評(píng)析通過(guò)觀察不等式結(jié)構(gòu)，可以將含有x1與x2的式子分開(kāi)，利用齊次結(jié)構(gòu)構(gòu)造新的函數(shù)，進(jìn)而解決問(wèn)題.