高中數(shù)學(xué)解題中圓錐曲線參數(shù)方程的應(yīng)用

權(quán)正清

(貴州省桐梓縣蟠龍高級中學(xué) 563200)

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，相關(guān)習(xí)題解題的靈活性較大.教學(xué)中為幫助學(xué)生樹立解題自信，使其認(rèn)識到運(yùn)用參數(shù)方程解題的便利，應(yīng)做好相關(guān)習(xí)題的篩選與講解，為學(xué)生展示圓錐曲線參數(shù)方程在不同問題中的應(yīng)用，促進(jìn)學(xué)生解題能力的進(jìn)一步提升.

1 用于解答極限問題

習(xí)題以橢圓、極限為背景出題，情境較為新穎.解題時如采用常規(guī)做法難以求解出x,y的值，而運(yùn)用橢圓的參數(shù)方程將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，問題就迎刃而解.解題的關(guān)鍵在于運(yùn)用橢圓參數(shù)方程正確表示出“x+y”的最大值.

所以其參數(shù)方程為

2 用于求解取值范圍

例2從一塊短軸長為2b的橢圓形玻璃鏡中劃出一塊面積最大的矩形，其面積的取值范圍為[3b2，4b2]，則這一橢圓離心率e的取值范圍為( ).

該題目給出的已知條件較少，具有一定的技巧.使用常規(guī)做法難以有效破題.考慮到題干中矩形的四個頂點(diǎn)均在橢圓上，結(jié)合橢圓的參數(shù)方程，運(yùn)用其中一個頂點(diǎn)的坐標(biāo)表示出矩形的面積，結(jié)合已知條件以及橢圓的定義，運(yùn)用不等式知識不難推理出正確結(jié)果.

易得橢圓內(nèi)接矩形的長、寬分別為2acosθ，2bsinθ，則其面積S=4abcosθsinθ=2absin2θ≤2ab.

又因?yàn)?b2≤2ab≤4b2，所以3b≤2a≤4b.

平方得到9b2≤4a2≤16b2.

在橢圓中b2=a2-c2，所以

9(a2-c2)≤4a2≤16(a2-c2).

所以5a2≤9c2且12a2≥16c2.

3 用于求解最值問題

A.7 B.8 C.9 D.10

習(xí)題融合圓、橢圓、向量、最值等知識，較為綜合.使用常規(guī)思路得出正確結(jié)果的難度較大.要求解的問題涉及到向量，因此，可運(yùn)用橢圓的參數(shù)方程，表示出向量的坐標(biāo)，運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算加以突破.

由圓M，N的參數(shù)方程以及題意可知，A(1+cosα，sinα)，B(1-cosα，-sinα)，C(-1+cosβ，sinβ)，D(-1-cosβ，-sinβ).

4 用于探究定值問題

該習(xí)題是橢圓、圓、直線的綜合類題目，采用常規(guī)做法雖然能夠求解出最終的定值，但計(jì)算較為繁瑣，并不可取.運(yùn)用橢圓的參數(shù)方程，表示出M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合已知條件，便可很快求出S△MON的定值.

所以cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2=0.

所以cos(θ1-θ2)=0.

|sin(θ1-θ2)|=1.

5 用于求解參數(shù)的值

該題考查的知識點(diǎn)較多，既有參數(shù)方程又有極坐標(biāo)方程.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)遇到與曲線最大或最小距離問題時運(yùn)用圓錐曲線參數(shù)方程，可獲得意想不到的解題效果，因此，該題可使用圓錐曲線參數(shù)方程進(jìn)行解答.

若m-2>0，則m-2=4，即m=6；

教學(xué)中應(yīng)注重圓錐曲線參數(shù)方程知識講解，要求學(xué)生采用對比記憶法牢記不同圓錐曲線的參數(shù)方程，明確曲線方程中相關(guān)參數(shù)表示的含義.同時，優(yōu)選精講典型例題，使學(xué)生掌握運(yùn)用圓錐曲線參數(shù)方程解題的思路，尤其要求學(xué)生做好聽課的總結(jié)以及學(xué)習(xí)心得的分享，更好地把握相關(guān)應(yīng)用細(xì)節(jié)，不斷提高解題水平.