利用遞推式求解數(shù)列通項問題的探究

趙雨林 孫 強

(江蘇省揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 225009)

1 前言

1.1 鏈接新教材

在新版的蘇教版《普通高中選擇性必修第一冊》中，明確給出了數(shù)列遞推公式的概念，即一般地，如果已知一個數(shù)列{an}的第1項(或前幾項)，且任一項an與它的前一項an-1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.

這是舊版蘇教版教材中未呈現(xiàn)過的重要概念，也體現(xiàn)了在強調(diào)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的今天，遞推數(shù)列以強調(diào)邏輯推理的重要特性為載體，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力.新教材新增了這一重要概念，更加強調(diào)了遞推數(shù)列的重要性，在未來高考中可能會越來越重視遞推數(shù)列的考查.

1.2 鏈接新高考

在2011-2020年近十年的江蘇卷中，數(shù)列問題以壓軸題的形式共出現(xiàn)了8年，且只有2012年考查了遞推式數(shù)列求解數(shù)列(非通項)問題.但在2021年，江蘇地區(qū)新高考中第一次采用新課標(biāo)Ⅰ卷，對數(shù)列的考查放在了解答題第一題，是關(guān)于利用遞推式求解數(shù)列通項問題.

新高考較往年比，雖然降低了對數(shù)列考查的難度，但遞推式數(shù)列求解通項相關(guān)問題在近十年江蘇卷真題中出現(xiàn)的次數(shù)僅為一次，說明之前江蘇卷并不重視這類題型的考查.因此本文將從宏觀上分析，如何思考這類問題，如何利用好遞推式數(shù)列.

2 利用遞推關(guān)系解決數(shù)列通項問題的步驟

(3)求解.求解時，需要回歸條件，解題要思考縝密.例如，在此題中，因為數(shù)列各項為正數(shù)，則an+1+2an≠0，所以只能an+1-3an=0，由a1=1，則an是以1為首項，公比為3的等比數(shù)列.

3 常用解題策略和方法

挖掘題中條件給出的遞推式數(shù)列，是求解通項公式的突破口.在解題的這一環(huán)節(jié)中，如果對一些方法和策略不能掌握，就會影響解題.

3.1 累加和累乘

該題題干是an+1=an+f(n)(n∈N*)形式的遞推式，是最常見的遞推數(shù)列之一，求{an}的通項公式一般要用累加法.

在解題過程中，我們發(fā)現(xiàn){an}的通項周期性的特征：a1=2，a2=3，a3=3，a4=2，a5=2，a6=3，….其通項以4為一個周期，那么通過2022除以4得505余2，所以S2022=(2+3+3+2)×505+(2+3)=5055.

該題題干中出現(xiàn)了an+1=f(n)an(n∈N*)形式的遞推式，這也是比較常見的遞推數(shù)列.

3.2 遞推消元法

①

評注此類問題的特點為用n-1替換原式中的n，再通過相減或相除，進(jìn)而解決問題.

3.3 迭代法

例4數(shù)列{an}滿足a1=1,an=2an-1+3n+1，則an=____.

該題題干為an+1=pan+f(n)(n∈N*,p≠0,1)形式的遞推式，可用迭代法求解通項公式.

評注運用迭代法時，要注意尋找遞推過程中的規(guī)律.本題中，利用an=2an-1+3n+1這一遞推公式進(jìn)行迭代，在迭代重復(fù)的過程中2的指數(shù)s和3的指數(shù)v滿足s+v=n+1，這樣即可快速完成迭代.

3.4 觀察配湊法

再觀察例4這道題，迭代法固然可以解決這個問題，但在計算中比較容易出錯，那可以再思考一下：是否還有其他的方法可尋？

①

從而可得an=-13·2n+3n+2.

評注當(dāng)數(shù)列遞推式化為形如an+1=pan+q(p,q≠0)時，便可通過觀察配湊成an+k=p(an-1+k).倘若此題不能直接配湊出①式，還可采用待定系數(shù)的方法.

3.5 待定系數(shù)法

評注待定系數(shù)法是為了應(yīng)對“湊”的時候不容易看出來的情況，利用待定系數(shù)法就會更容易解題.

3.6 數(shù)學(xué)歸納法

從題目條件中我們可以看出：這是一個分段的遞推式數(shù)列，對于這類數(shù)列，可以化抽象為具體，先著眼于分析這個數(shù)列“長什么樣子”.

由于a1=1,那么a2=a1+1=2,a3=a2+2=4,a4=5,a5=7,a6=8.

第一問要求{bn}的通項公式，即數(shù)列{a2n}的通項公式.那么，我們需要把數(shù)列{an}的偶數(shù)項拿出來，看看有什么規(guī)律.

n246…2kan258?

由表可知，數(shù)列{an}的前三項分別為2，5，8，那么我們可猜想數(shù)列{a2n}是以3為公差的等差數(shù)列.以下可用數(shù)學(xué)歸納法：

設(shè)a2k=3k-1,則a2k+1=a2k+2=3k-1+2=3k+1,a2k+2=a2k+1+1=3k+2,得證.

所以a2n=3n-1.即bn=3n-1.

評注數(shù)學(xué)歸納法是由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法，也是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的重要方法.在舊版的蘇教版數(shù)學(xué)教材中未呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)歸納法，但新版教材中，將數(shù)學(xué)歸納法納入教材，可見其重要性的凸顯.

上述六種方法是解決遞推式數(shù)列通項問題常用的方法，在解決問題的過程中需要做到具體問題具體分析，靈活多變地根據(jù)題意選擇相應(yīng)的方法.