一道模考導(dǎo)數(shù)壓軸題的多角度思考及教學(xué)啟示

高玉立

(安徽省無(wú)為市第二中學(xué) 238300)

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)>0在(1，+∞)上恒成立,求整數(shù)a的最大值.

2 解答探究

本題的第一問(wèn)比較基礎(chǔ),學(xué)生基本能夠獨(dú)立完成.第(1)問(wèn)答案:當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)a>0時(shí),f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a，+∞)上單調(diào)遞增;接下來(lái)，重點(diǎn)探究第二問(wèn).

注意到要求的是整數(shù)a的最值,我們可以預(yù)判這里需要對(duì)a進(jìn)行估算，從而優(yōu)先考慮參數(shù)分離，利用隱零點(diǎn)代換的方式，對(duì)a的范圍進(jìn)行估算.這樣我們就得到了如下的解法.

因?yàn)閤>1,所以h′(x)>0.

所以h(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞增.

又因?yàn)閔(3)=1-ln3<0,h(4)=2-ln4>0，

所以?x0∈(3,4),滿足x0-lnx0-2=0.(*)

從而有,當(dāng)x∈(1,x0)時(shí),h(x)<0，即g′(x)<0,g(x)在(1,x0)上單調(diào)遞減;

當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),h(x)>0，即g′(x)>0,g(x)在(x0,+∞)上單調(diào)遞增.

所以a

又因?yàn)閤0∈(3，4),a∈Z,

所以整數(shù)a的最大值為3.

評(píng)注解法1通過(guò)參數(shù)分離的方式將求a的范圍問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為求g(x)的最小值問(wèn)題，這也是求解恒成立問(wèn)題的非常重要的方法，具體計(jì)算時(shí)由于g′(x)=0的根無(wú)法直接求出，所引發(fā)的隱零點(diǎn)計(jì)算，也需要學(xué)生認(rèn)真體會(huì).

我們通過(guò)參數(shù)分離的方式，完成了本題的求解.那么，如果不分離參數(shù)，直接對(duì)函數(shù)f(x)的最小值進(jìn)行討論，能否完成此題呢.通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生合作探究，很快地，學(xué)生就得到了如下的解法.

解法2由(1)知:

①當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)>f(1)=1>0成立.

②當(dāng)0f(1)=1>0成立.

③當(dāng)a>1時(shí),f(x)在(1,a)上單調(diào)遞減,在(a，+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(a)>0.

即lna-a+2>0.

令g(x)=lnx-x+2，

原問(wèn)題等價(jià)于解不等式g(a)>0.

所以當(dāng)x>1時(shí),g′(x)<0,g(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞減,且g(3)=ln3-3+2=ln3-1>0,g(4)=ln4-4+2=ln4-2<0.

所以整數(shù)a的最大值為3.

評(píng)注與解法1相比,充分利用了函數(shù)f(x)的單調(diào)性，回避了復(fù)雜的求導(dǎo)計(jì)算，從而簡(jiǎn)化了問(wèn)題求解，也體現(xiàn)了分類討論思想在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的重要性,那么除了這兩種方法外，我們能否進(jìn)一步簡(jiǎn)化計(jì)算呢，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題的特征，有學(xué)生給出了解法3.

解法3令x=2,由f(2)>0,

所以有a<2(ln2+1)<4.

所以整數(shù)a的最大可能取值為3.

所以當(dāng)x∈(1,3)時(shí),f′(x)<0,f(x)在(1，3)上單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(3，+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)在(3，+∞)上單調(diào)遞增.

所以f(x)≥f(3)=ln3-1>0.

所以整數(shù)a的最大值為3.

評(píng)注解法3通過(guò)先取特殊值x=2，先縮小了a的范圍,相當(dāng)于得到了關(guān)于a的范圍的一個(gè)必要條件,然后在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步驗(yàn)證該范圍的充分性，使得計(jì)算過(guò)程無(wú)比簡(jiǎn)潔.

3 應(yīng)用舉例

變式(2022屆高三第二次T8聯(lián)考22)已知函數(shù)f(x)=(x2-ax)lnx+x(a∈R,a>0).

(1)若1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),求a的值;

(2)若0

(3)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求滿足題意的a的最小整數(shù)值.

本題的第三問(wèn)標(biāo)準(zhǔn)答案采用的就是隱零點(diǎn)代換的方法.考慮到求a的最小整數(shù)值，從形式上和例題有很強(qiáng)的相似性，通過(guò)啟發(fā)學(xué)生思考,通過(guò)方法上的遷移應(yīng)用，學(xué)生可以得到如下的解法.

解析由(2)知,當(dāng)0

(1)當(dāng)a=2時(shí),因?yàn)楫?dāng)x>2時(shí),g(x)=(x-2)lnx+1>1>0;

當(dāng)00.

綜上,g(x)>0,g(x)沒(méi)有零點(diǎn),從而f(x)沒(méi)有零點(diǎn).

(2)當(dāng)a=3時(shí),因?yàn)楫?dāng)x>3時(shí),g(x)=(x-3)lnx+1>1>0;

當(dāng)0

綜上,g(x)>0,g(x)沒(méi)有零點(diǎn),從而f(x)沒(méi)有零點(diǎn).

(4)當(dāng)a=4時(shí),g(x)=(x-4)lnx+1,

g(1)=(1-4)ln1+1=1>0；

g(2)=(2-4)ln2+1<0；

g(4)=(4-4)ln4+1=1>0,

從而由零點(diǎn)存在性定理知道g(x)有兩個(gè)零點(diǎn),從而f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

所以a的最小整數(shù)值為4.

評(píng)注不同于答案給出的解法，通過(guò)必要性探路逐步縮小a的范圍,相當(dāng)于得到了關(guān)于a的范圍的一個(gè)必要條件,然后在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步驗(yàn)證該范圍的充分性，使得計(jì)算過(guò)程無(wú)比簡(jiǎn)潔,從而真正地讓學(xué)生“學(xué)透一道題，掌握一類題”，跳出題海戰(zhàn)術(shù).

4 教學(xué)啟示

4.1 注重通性通法

我國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)具有重視基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)、基本技能訓(xùn)練和能力培養(yǎng)的傳統(tǒng) , 新世紀(jì)的高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)發(fā)揚(yáng)這種傳統(tǒng).因此，我們?cè)诮虒W(xué)中要注重通性通法, 淡化特殊技巧, 力求讓學(xué)生熟練掌握解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的常規(guī)方法.

解法1看似計(jì)算復(fù)雜, 但在考試中可能是最容易想到的很自然的思路, 同時(shí),我們看到此解法也恰恰體現(xiàn)了高考對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想方法和運(yùn)算求解能力的考查.通過(guò)參數(shù)分離的方式求解恒成立問(wèn)題，在高考真題中屢屢見(jiàn)到，平常我們?cè)诮虒W(xué)中也要重視對(duì)通性通法的研究.

4.2 吃透一道題，學(xué)好一類題

導(dǎo)數(shù)題作為高三月考乃至高考中的壓軸題，涉及豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，學(xué)生要通過(guò)題海戰(zhàn)術(shù)提升能力往往事倍功半.這就要求教師在教學(xué)時(shí)把好選題關(guān)，精選好題.通過(guò)對(duì)典型例題的分析，發(fā)散學(xué)生的思維，讓學(xué)生真正做到觸類旁通，提升高三復(fù)習(xí)效率.

高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)告訴我們：“數(shù)學(xué)教學(xué)要體現(xiàn)課程改革的基本理念，在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地學(xué)習(xí)，掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能以及它們所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)有較為全面的認(rèn)識(shí)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).”數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使學(xué)生能用數(shù)學(xué)的思考方式去觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題和數(shù)學(xué)地解決問(wèn)題.