王 萍，弓清瑞，程 澤，張吉昂

（天津大學(xué)電氣自動(dòng)化與信息工程學(xué)院，天津 300072）

前言

鋰電池作為一種清潔能源，以其能量密度高、體積小、壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于電動(dòng)汽車和電力系 統(tǒng) 等 諸 多 領(lǐng) 域。 電 池 管 理 系 統(tǒng)（battery management system，BMS）可以實(shí)現(xiàn)對(duì)電池的科學(xué)評(píng)估和風(fēng)險(xiǎn)預(yù)警，從而保證電池的穩(wěn)定運(yùn)行。電池荷電狀態(tài)（state of charge，SOC）直接反映了電池的剩余電量，它的準(zhǔn)確估計(jì)是BMS 運(yùn)維的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。然而SOC 并不能直接測(cè)量，只能通過電池的外部可測(cè)變量，結(jié)合數(shù)學(xué)算法來推斷。

目前SOC 的估計(jì)方法主要有直接測(cè)量法、數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)法和基于自適應(yīng)濾波器的方法。

直接測(cè)量法包括安時(shí)積分法和開路電壓法。安時(shí)積分法是通過對(duì)放電過程中電流隨時(shí)間積分來獲得SOC。該方法有簡(jiǎn)單易用的優(yōu)點(diǎn)，但十分依賴于SOC 初值的確定，且電流的測(cè)量誤差會(huì)隨時(shí)間累積。開路電壓法是通過測(cè)量電池的開路電壓（open circuit voltage，OCV），通過查詢OCV-SOC 曲線來獲得電池SOC。但該方法須將電池離線后進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間靜置，因而難以用于SOC的在線估計(jì)。

數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)法是使用機(jī)器學(xué)習(xí)的算法建立電池外部可測(cè)變量如電壓、電流和溫度等參數(shù)與SOC 的映射關(guān)系。機(jī)器學(xué)習(xí)方法主要包括統(tǒng)計(jì)機(jī)器學(xué)習(xí)方法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法。其中，后者有更靈活的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，對(duì)非線性關(guān)系的表達(dá)能力也更強(qiáng)，應(yīng)用也更廣泛。這類方法無須分析電池復(fù)雜的電化學(xué)反應(yīng)，但計(jì)算量較大，且十分依賴于訓(xùn)練集的有效可靠。

基于自適應(yīng)濾波的方法須建立等效電路模型，再結(jié)合濾波算法來實(shí)現(xiàn)SOC 的閉環(huán)估計(jì)。如文獻(xiàn)［11］中使用2 階RC 模型對(duì)鋰電池進(jìn)行建模，并結(jié)合模糊自適應(yīng)卡爾曼濾波器來實(shí)現(xiàn)對(duì)SOC 的實(shí)時(shí)估計(jì)。常用的等效電路模型有PNGV 模型和RC 模型等。常用的濾波算法有觀測(cè)器、粒子濾波器、卡爾曼濾波器等，其中卡爾曼濾波器最為常用，有著許多優(yōu)秀的變型，如擴(kuò)展卡爾曼濾波器、自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼濾波器和無跡卡爾曼濾波器等。這類方法可以矯正SOC初始值不確定造成的誤差和緩解過程中誤差積累，但對(duì)等效電路的參數(shù)較為敏感。

無跡卡爾曼濾波器（unscented Kalman filter，UKF）因其優(yōu)越的性能被廣泛應(yīng)用。但UKF 存在對(duì)電池模型精度和系統(tǒng)噪聲的要求較高，穩(wěn)定性不強(qiáng)的問題。針對(duì)該問題，本文中引入一般性的濾波器收斂判據(jù)，從自適應(yīng)調(diào)整測(cè)量噪聲、調(diào)整過程噪聲和修正卡爾曼增益的角度改進(jìn)UKF，形成了基于自適應(yīng)無跡卡爾曼濾波器（adaptive unscented Kalman filter，AUKF）的SOC 估計(jì)方法。本文利用測(cè)試數(shù)據(jù)和馬里蘭大學(xué)電池?cái)?shù)據(jù)集進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明所提方法具有較快的收斂速度和較高的估計(jì)精度。

1 RC等效電路模型

RC 等效電路模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，只需少量的參數(shù)和較低的計(jì)算成本便可完成建模，應(yīng)用廣泛。本文以2階RC 模型為例，展示電池建模和SOC 估計(jì)的過程，模型結(jié)構(gòu)如圖1所示，其狀態(tài)空間數(shù)學(xué)表達(dá)式為

圖1 2階RC模型的結(jié)構(gòu)

式中：表示電池端電流；代表電池端電壓；表示電池的歐姆內(nèi)阻；和并聯(lián)環(huán)節(jié)表示電化學(xué)極化過程，和并聯(lián)環(huán)節(jié)表示濃度差極化過程；表示電池的開路電壓。

本文通過離線實(shí)驗(yàn)對(duì)RC 模型阻容等參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，具體包括（·）、、、、和。

2 參數(shù)辨識(shí)

2.1 CCP測(cè)試

本文的實(shí)驗(yàn)對(duì)象是額定容量為3 A·h、標(biāo)稱電壓為3.6 V 的18650 三元鋰離子電池。設(shè)定恒溫箱溫度為25 ℃，采用恒流脈沖（constant current pulse，CCP）測(cè)試進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，實(shí)驗(yàn)步驟如下：

①將室溫下充滿電的電池置于恒溫箱內(nèi)，靜置1 h，記錄電池的開路電壓；

②以1C恒流放電3 min；

③靜置2 h，記錄電池的靜置電壓；

④重復(fù)過程②和③直至電池放空。

CCP 實(shí)驗(yàn)的電壓和電流全周期和一個(gè)周期的變化曲線如圖2和圖3所示。

圖2 CCP測(cè)試全周期曲線圖

圖3 中A 點(diǎn)之前電池處于靜置狀態(tài)；在BC 段，以1C 放電3 min，電壓快速下降，SOC 下降0.05；在DE 段，電池靜置2 h，電流為0，電壓緩慢回升，并逐漸趨于穩(wěn)定。

圖3 CCP測(cè)試一個(gè)周期曲線圖

2.2 OCV-SOC曲線擬合

在CCP 測(cè)試第③步中，取靜置結(jié)束時(shí)刻的E 點(diǎn)電壓值作為當(dāng)前SOC 下的OCV 值。CCP 測(cè)試過程共得到20 個(gè)SOC-OCV 散點(diǎn)。本文將電化學(xué)模型Shepherd、Unnewehr 和Nerst 進(jìn)行組合，得到一種較為理想的開路電壓模型，如式（3）所示，使用最小二乘法來對(duì)其進(jìn)行擬合，從而得到各參數(shù)的辨識(shí)值。

2.3 阻容參數(shù)辨識(shí)

2.3.1的辨識(shí)

分別計(jì)算通電瞬間（AB 段）和斷電瞬間（CD 段）的后，取二者的平均值作為最終值，計(jì)算式為

式中Δ和Δ分別為通電和斷電瞬間電壓變化的絕對(duì)值，分別對(duì)應(yīng)圖3 中AB 段的電壓驟降和CD段的電壓驟升。

2.3.2、、和的辨識(shí)

DE 段可看作是RC 環(huán)節(jié)的零輸入響應(yīng)。D 為起點(diǎn)，電容和兩端初始電壓分別為（0）和（0），這時(shí)端電壓表達(dá)式如式（5）所示。使用最小二乘法對(duì)式（5）進(jìn)行擬合，可以得到（0）、（0）以及時(shí)間常數(shù)、的值。

BC 段可看作RC 環(huán)節(jié)的零狀態(tài)響應(yīng)。因?yàn)殡娙蓦妷翰荒芡蛔?，由C 點(diǎn)和D 點(diǎn)的極化電壓相等的關(guān)系可得

式中=3 min。

由式（6）和式（7）可計(jì)算得到和，進(jìn)一步由=×的關(guān)系可得和。

RC 模型的阻容參數(shù)會(huì)隨SOC 的變化產(chǎn)生波動(dòng)，使用線性插值法來擬合這種波動(dòng)，即

式中：=｛0.95，0.9，...，0｝；X為對(duì)應(yīng)的參數(shù)取值序列；為某個(gè)實(shí)際的SOC 值。Interp2 表示2 維線性插值運(yùn)算，即在與距離最近的兩個(gè)參考點(diǎn)之間建立線性模型，將代入獲取此時(shí)的參數(shù)值。

3 AUKF算法

3.1 UKF算法

UKF 算法主要包括系統(tǒng)初始化、狀態(tài)預(yù)測(cè)和測(cè)量校正3個(gè)部分。

（1）系統(tǒng)初始化

初始化狀態(tài)量和誤差協(xié)方差矩陣為

用對(duì)稱采樣法生成初始Sigma點(diǎn)，其中為尺度參數(shù)：

（2）狀態(tài)預(yù)測(cè)

第個(gè)采樣時(shí)刻，Sigma點(diǎn)構(gòu)建的矩陣為

對(duì)式（11）的Sigma點(diǎn)進(jìn)行狀態(tài)方程的處理，并對(duì)時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)量和誤差方差矩陣進(jìn)行預(yù)測(cè)：

式中Q為時(shí)刻的過程噪聲協(xié)方差矩陣。

（3）觀測(cè)校正

計(jì)算時(shí)刻的觀測(cè)量的估測(cè)值：

計(jì)算時(shí)刻觀測(cè)量的方差矩陣為

式中R為時(shí)刻的測(cè)量噪聲協(xié)方差矩陣。

計(jì)算時(shí)刻狀態(tài)量與觀測(cè)量的協(xié)方差為

計(jì)算卡爾曼濾波增益為

更新狀態(tài)量與誤差方差矩陣為

3.2 AUKF算法的實(shí)現(xiàn)

UKF算法能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的實(shí)時(shí)估計(jì)。但仍存在以下問題：

（1）由于在非線性系統(tǒng)中存在一些不確定因素，導(dǎo)致過程噪聲協(xié)方差矩陣Q和測(cè)量噪聲協(xié)方差矩陣R難以獲得準(zhǔn)確值。而使用經(jīng)驗(yàn)法將它們?cè)O(shè)置為定值則會(huì)影響UKF的估計(jì)精度。

（2）UKF對(duì)RC模型的精度十分依賴，但RC模型的阻容參數(shù)辨識(shí)存在誤差是不可避免的。當(dāng)模型誤差較大和R取值不當(dāng)時(shí)，會(huì)通過測(cè)量校正環(huán)節(jié)引入較大的狀態(tài)估計(jì)誤差。

（3）實(shí)際應(yīng)用中常存在SOC 初值存在偏差和測(cè)量噪聲異常擾動(dòng)等突發(fā)情形。常規(guī)的UKF 對(duì)這些情形的自適應(yīng)能力較有限。

3.2.1 測(cè)量噪聲協(xié)方差自適應(yīng)調(diào)整

設(shè)置越大，表明對(duì)測(cè)量值的置信度越低，這會(huì)導(dǎo)致算法初始的收斂速度慢；設(shè)置越小，收斂速度越快，但會(huì)導(dǎo)致SOC 估計(jì)后期的波動(dòng)性較大?？梢娺^大或過小的值都會(huì)影響SOC 的整體估計(jì)效果。因此在濾波算法的初始階段設(shè)置較小的值，用表示，使SOC的估計(jì)初值快速向真實(shí)值方向收斂，等到估計(jì)值收斂到真實(shí)值附近時(shí)，再切換較大的值，用表示，以降低估計(jì)值的非線性波動(dòng)。和的取值與電壓傳感器的測(cè)量精度有關(guān)，所以在SOC 估計(jì)的初始階段，的取值比電壓傳感器精確度低一個(gè)數(shù)量級(jí)，過小容易引起估計(jì)值波形在起始階段過沖。則取比傳感器精度高一個(gè)數(shù)量級(jí)的數(shù)，過大則會(huì)引起值減小，使測(cè)量校正失去作用。

根據(jù)文獻(xiàn)［21］中提出的濾波器收斂性判據(jù)，濾波器發(fā)散時(shí)，真實(shí)的估計(jì)誤差要遠(yuǎn)大于計(jì)算得到的預(yù)測(cè)誤差。因此，SOC估計(jì)的發(fā)散條件為

在后續(xù)SOC 的估計(jì)過程中，能通過影響增益，進(jìn)而影響SOC 估計(jì)的測(cè)量校正階段。當(dāng)傳感器測(cè)量誤差較大或RC 模型的誤差較大，即時(shí)刻的觀測(cè)殘差ζ較大時(shí)，如果此時(shí)值非0，會(huì)在測(cè)量校正階段引入較大的估計(jì)誤差。因此為該算法設(shè)置第2個(gè)判據(jù)：

若式（20）不滿足，即觀測(cè)殘差ζ超過預(yù)設(shè)閾值時(shí)，則將設(shè)為無窮大，此時(shí)趨于0，相當(dāng)于只進(jìn)行狀態(tài)預(yù)測(cè)而不進(jìn)行觀測(cè)校正，只有當(dāng)測(cè)量誤差較低和RC模型精度較高時(shí)，才同時(shí)進(jìn)行狀態(tài)預(yù)測(cè)和觀測(cè)校正。判據(jù)式（20）的引入，有助于降低UKF對(duì)RC模型精度和傳感器測(cè)量精度的依賴，增強(qiáng)SOC 估計(jì)的穩(wěn)定性。

3.2.2 卡爾曼增益自適應(yīng)調(diào)整

3.2.3 過程噪聲自適應(yīng)調(diào)整

過程噪聲主要反映系統(tǒng)模型的誤差。通過在SOC估計(jì)的過程中動(dòng)態(tài)調(diào)整，使其能充分反映系統(tǒng)模型本身的誤差，以避免模型誤差造成的SOC 估計(jì)精度過多的下降。方法是通過利用多個(gè)之前時(shí)刻的真實(shí)值與估計(jì)值的殘差，對(duì)下一時(shí)刻的Q進(jìn)行遞推：

式中：-<<；e表示在-1～區(qū)間內(nèi)，由電壓測(cè)量值與模型估計(jì)值的殘差組成的序列；G表示由e組成的協(xié)方差陣；表示該e序列的長(zhǎng)度，該值越大，越能充分反映系統(tǒng)的模型誤差，但是計(jì)算量也越大。Q由式（24）不斷迭代遞推獲得。

通過在SOC 估計(jì)過程中對(duì)測(cè)量噪聲協(xié)方差、卡爾曼增益和過程噪聲協(xié)方差進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，形成了AUKF算法，如圖4所示。

圖4 AUKF算法流程圖

4 實(shí)驗(yàn)與分析

利用實(shí)際測(cè)試數(shù)據(jù)和馬里蘭大學(xué)電池?cái)?shù)據(jù)集，對(duì)所提出的AUKF算法的性能進(jìn)行驗(yàn)證。

4.1 實(shí)驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)

設(shè)置恒溫箱溫度為25 ℃，對(duì)額定容量為3 A·h、標(biāo)稱電壓為3.6 V 的18650 三元鋰離子電池充滿電后，采用動(dòng)態(tài)應(yīng)力測(cè)試（dynamic stress test，DST）工況進(jìn)行放電，放電過程中電池的電壓電流曲線見圖5。

圖5 DST工況下電壓電流測(cè)試曲線

圖6展示了采用AUKF 和UKF 算法進(jìn)行SOC 估計(jì)的結(jié)果和相對(duì)誤差，圖7 為采用AUKF 算法進(jìn)行SOC 估計(jì)過程中的電壓觀測(cè)值和模型輸出值、擬合誤差即殘差隨放電時(shí)間的變化情況。由圖6 可知，UKF 算法收斂后的相對(duì)誤差在3%以內(nèi)，而AUKF 算法收斂后的相對(duì)誤差則更小，接近于零，且具有更快的收斂速度，更高的估計(jì)精度，估計(jì)值曲線更加平滑和穩(wěn)定。圖6 和圖7 右圖的綠色虛線表示發(fā)散與收斂的界限：在它之前的時(shí)刻，由于SOC初始誤差的存在，端電壓的擬合殘差也存在較大偏差，這時(shí)式（19）成立，濾波器處于發(fā)散狀態(tài)，此時(shí)選取較小的作為測(cè)量噪聲協(xié)方差，之后的時(shí)刻AUKF 收斂，選取較大的作為測(cè)量噪聲協(xié)方差。圖7右圖的紅色和藍(lán)色虛線分別表示電壓正閾值和負(fù)閾值，閾值設(shè)為0.03 V。在濾波器收斂后的SOC 估計(jì)過程中，由于傳感器測(cè)量精度或RC 模型本身的誤差造成一些時(shí)刻的觀測(cè)殘差大于閾值，則這些時(shí)刻的設(shè)為無窮大，只進(jìn)行狀態(tài)預(yù)測(cè)而不進(jìn)行狀態(tài)校正。

圖6 SOC估計(jì)結(jié)果與誤差（SOC0=0.8）

圖7 電壓觀測(cè)值、模型輸出值和殘差的時(shí)間歷程（SOC0=0.8）

為定量刻畫算法的收斂性能，定義“跟隨系數(shù)”為SOC 真實(shí)值與估計(jì)值的誤差絕對(duì)值小于0.02 所用的時(shí)間與放電總時(shí)間的比值。表1 列出跟隨時(shí)刻之后的平均絕對(duì)誤差（mean absolute error，MAE）和均方根誤差（root mean squared error，RMSE）及跟隨系數(shù)。

表1 SOC估計(jì)誤差和跟隨系數(shù)

為進(jìn)一步驗(yàn)證不同的SOC估計(jì)初值對(duì)兩種算法的影響，取=0.5，得到圖8 和圖9。由仿真測(cè)試結(jié)果可知，取較小的SOC估計(jì)初值時(shí)，兩種算法下的收斂時(shí)間均會(huì)變長(zhǎng)，跟隨系數(shù)都有所增加，圖8 和圖9 的綠色虛線也更加靠右。其中UKF 的跟隨系數(shù)增加幅度更大，表明UKF 算法抵抗初值不確定性的穩(wěn)定性較差。雖然AUKF 算法的估計(jì)誤差與初值為0.8 時(shí)相比略有增加，但估計(jì)誤差MAE 與RMSE 仍保持在較低水平。

圖8 SOC估計(jì)結(jié)果與誤差（SOC0=0.5）

圖9 電壓觀測(cè)值、模型輸出值和殘差的時(shí)間歷程（SOC0=0.5）

為進(jìn)一步驗(yàn)證所提出的AUKF 算法對(duì)不同SOC初值的收斂能力，取為0.2、0.4、0.6 和0.8 進(jìn)行仿真測(cè)試，得到結(jié)果如圖10 所示。估計(jì)誤差和跟隨系數(shù)列于表2 中?？芍煌琒OC 估計(jì)初值下，AUKF 均能可靠收斂，跟隨系數(shù)都保持在0.07以內(nèi)。隨著初始誤差增大，跟隨系數(shù)升高，總體MAE 和RMSE 誤差增大，但最大值都不超過1%。這表明所提出的AUKF 算法具有較高的估計(jì)精度和較好的魯棒性。

表2 不同SOC估計(jì)初值下的計(jì)算誤差和跟隨系數(shù)

圖10 不同SOC估計(jì)初值下的估計(jì)效果與誤差

4.2 馬里蘭電池?cái)?shù)據(jù)集

馬里蘭大學(xué)電池?cái)?shù)據(jù)集使用額定容量為2 A·h、標(biāo)稱電壓為3.6 V 的18650 三元鋰離子電池進(jìn)行試驗(yàn)。該數(shù)據(jù)集中提供了電動(dòng)汽車常用的測(cè)試工況數(shù)據(jù)，如US06 工況、聯(lián)邦城市行車（federal urban driving schedule，F(xiàn)UDS）工況、北京動(dòng)態(tài)應(yīng)力測(cè)試（Beijing dynamic stress test，BJDST）工況。因此，該數(shù)據(jù)集很適合驗(yàn)證本文提出的基于AUKF 的SOC 估計(jì)方法。需要注意的是，該數(shù)據(jù)集中的測(cè)試電池是從約80%額定容量時(shí)開始放電，在約為20%額定容量時(shí)放電結(jié)束，該放電區(qū)間也是電動(dòng)汽車實(shí)際應(yīng)用中最常用的放電區(qū)間。取=0.6，各動(dòng)態(tài)工況的SOC 估計(jì)結(jié)果和誤差分別如圖11～圖13 所示，其MAE 和RMSE 計(jì)算誤差與跟隨系數(shù)列于表3 中。可以看到，在3種不同測(cè)試工況下，與UKF相比，AUKF具有更小的跟隨系數(shù)和估計(jì)誤差，表現(xiàn)出更加優(yōu)越的性能。

圖11 SOC估計(jì)結(jié)果和誤差（US06工況）

圖12 SOC估計(jì)結(jié)果和誤差（FUDS工況）

圖13 SOC估計(jì)結(jié)果和誤差（BJDST工況）

表3 馬里蘭數(shù)據(jù)集上的SOC估計(jì)誤差與跟隨系數(shù)

5 結(jié)論

首先介紹RC等效電路模型及其數(shù)學(xué)描述，完成了參數(shù)辨識(shí)和模型建立工作，并提出了一種阻容參數(shù)的二維插值方法，對(duì)阻容參數(shù)隨SOC 的變化進(jìn)行建模。其次針對(duì)常規(guī)UKF 存在的問題，提出了一種AUKF 算法，該方法將濾波器的一般性收斂判據(jù)引入U(xiǎn)KF 中，并通過對(duì)測(cè)量噪聲協(xié)方差、過程噪聲協(xié)方差和卡爾曼增益進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，提升了濾波算法的穩(wěn)定性和收斂性，降低了對(duì)電路模型精度的依賴。最后在實(shí)際測(cè)試數(shù)據(jù)的DST 工況、馬里蘭大學(xué)電池?cái)?shù)據(jù)集的3 種循環(huán)工況中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。結(jié)果表明在不同的測(cè)試工況下，與常規(guī)UKF 算法相比，所提出的AUKF 算法皆具有較高的估計(jì)精度、較小的跟隨系數(shù)和較平穩(wěn)的估計(jì)曲線。