農(nóng)村初中生二次函數(shù)學(xué)習(xí)困難點(diǎn)分析

張瓊丹

貴州省大方縣貓場鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)（貴州省畢節(jié)市 551605）

2017 年，教育部頒布的《初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確規(guī)定：初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)的目標(biāo)，在于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維、推理能力、創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。二次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)課程中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生對(duì)二次函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)和技能的掌握，對(duì)提高其數(shù)學(xué)抽象、推理和概括能力等都具有重要的意義。同時(shí)，縱觀近年來的中考試卷我們不難發(fā)現(xiàn)：二次函數(shù)是一個(gè)高頻考點(diǎn)，考題形式有填空題、選擇題以及綜合解答題，重點(diǎn)考核的是二次函數(shù)的圖形與性質(zhì)。二次函數(shù)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性，決定了初中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)的過程中，應(yīng)當(dāng)強(qiáng)化二次函數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)，以達(dá)到全面提高二次函數(shù)教學(xué)質(zhì)量的目的。

作為農(nóng)村初中數(shù)學(xué)教師，筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)：學(xué)生在二次函數(shù)的學(xué)習(xí)中，存在畏難情緒、認(rèn)知障礙等問題，農(nóng)村初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)教學(xué)質(zhì)量不高是困擾著廣大數(shù)學(xué)教師的一大難題。基于農(nóng)村初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)的教學(xué)現(xiàn)狀，近年來，筆者一直在思考以下問題：學(xué)生學(xué)習(xí)二次函數(shù)的困難點(diǎn)是什么？教師在二次函數(shù)教學(xué)中存在哪些問題與不足？如何優(yōu)化和改進(jìn)農(nóng)村初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)的教學(xué)？針對(duì)相關(guān)問題，本文中，筆者將結(jié)合第一個(gè)問題“農(nóng)村初中生二次函數(shù)學(xué)習(xí)困難點(diǎn)”進(jìn)行深入的探索，以期明晰問題，為后續(xù)對(duì)策建議的提出奠定基礎(chǔ)。

1 農(nóng)村初中生二次函數(shù)學(xué)習(xí)困難點(diǎn)調(diào)研設(shè)計(jì)及過程

為了充分了解農(nóng)村初中生二次函數(shù)學(xué)習(xí)的困難點(diǎn)，筆者采取了實(shí)地調(diào)查研究的方式，選取筆者所執(zhí)教的農(nóng)村初中學(xué)校學(xué)生為研究對(duì)象，調(diào)研設(shè)計(jì)及過程如下：

1.1 調(diào)研總體設(shè)計(jì)

筆者有多年的農(nóng)村初中數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)歷，其中包括帶初三畢業(yè)班、準(zhǔn)備中考復(fù)習(xí)課等實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。在日常的教學(xué)中，作為青年教師，筆者也時(shí)常向一些經(jīng)驗(yàn)豐富的“老”教師探討經(jīng)驗(yàn)。立足教研活動(dòng)、教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，筆者發(fā)現(xiàn)：很多農(nóng)村初中生在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的過程中，對(duì)二次函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握一般還不錯(cuò)，但在綜合分析題中，尤其是面對(duì)中高難度的綜合分析題時(shí)，學(xué)生往往會(huì)因?yàn)橹R(shí)應(yīng)用不夠靈活、思維的局限性等而出現(xiàn)分析困難。通過近年來對(duì)中考數(shù)學(xué)試題的分析，筆者發(fā)現(xiàn)：二次函數(shù)是中考“16 分”必考考點(diǎn)，且考題多數(shù)出現(xiàn)在綜合分析題中，該考點(diǎn)正好是學(xué)生學(xué)習(xí)二次函數(shù)的困難點(diǎn)之一。基于以上幾點(diǎn)因素，筆者決定開展農(nóng)村初中生二次函數(shù)學(xué)習(xí)困難點(diǎn)的調(diào)查研究，希望通過調(diào)查研究，進(jìn)一步明確學(xué)生學(xué)習(xí)的困難點(diǎn)，為提出切實(shí)可行的對(duì)策建議奠定基礎(chǔ)。

1.2 調(diào)研目的

初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)的重要性，并不僅僅源于其是中考數(shù)學(xué)中的高頻考點(diǎn)，更在于二次函數(shù)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的抽象推理能力的重要性，同時(shí)，初中二次函數(shù)的學(xué)習(xí)，也能夠?yàn)閷W(xué)生進(jìn)入高中之后更加深入地學(xué)習(xí)二次函數(shù)奠定基礎(chǔ)。作為農(nóng)村初中數(shù)學(xué)教師，筆者在近年來執(zhí)教、與學(xué)生溝通交流、與其他教師溝通交流的過程中發(fā)現(xiàn)：學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)二次函數(shù)的困難點(diǎn)，與教師的主觀認(rèn)知與理解具有一定的差異性。而這種差異性，源于教師在日常教學(xué)實(shí)踐中缺乏調(diào)查、缺乏與學(xué)生的溝通交流。因此，筆者力求通過調(diào)查研究的方式，深入了解學(xué)生二次函數(shù)學(xué)習(xí)的困難點(diǎn)，改變教師憑借主觀認(rèn)知開展教學(xué)的現(xiàn)狀，有針對(duì)性地針對(duì)農(nóng)村初中生二次函數(shù)學(xué)習(xí)提出對(duì)策建議。

1.3 調(diào)研對(duì)象

本次研究選取的調(diào)研對(duì)象為：畢節(jié)市大方縣貓場鎮(zhèn)中學(xué)九年級(jí)1-4 班共計(jì)121 名學(xué)生。該四個(gè)班級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)成績基本一致，教學(xué)的內(nèi)容、教學(xué)進(jìn)度等基本一致。針對(duì)教師的研究，主要是有豐富的九年級(jí)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)教師，共計(jì)18 名。針對(duì)教師和學(xué)生的調(diào)查，主要以學(xué)生學(xué)習(xí)二次函數(shù)的障礙為依托，探索農(nóng)村初中生二次函數(shù)學(xué)習(xí)的困難點(diǎn)。

1.4 調(diào)研實(shí)施過程

本次調(diào)研，采取調(diào)查問卷、訪談、測試相結(jié)合的方式。

首先，編制調(diào)查問卷。調(diào)查問卷分為教師調(diào)查問卷和學(xué)生調(diào)查問卷兩種，其中，涉及教師的調(diào)查問卷，主要是搞清楚教師嚴(yán)重二次函數(shù)學(xué)習(xí)的困難點(diǎn)，了解教師在教授二次函數(shù)章節(jié)的知識(shí)時(shí)，擬采用的教學(xué)方法、備課情況以及課堂教學(xué)情況等；針對(duì)學(xué)生的調(diào)查問卷，主要是結(jié)合學(xué)生在二次函數(shù)測評(píng)中，容易出錯(cuò)的點(diǎn)、學(xué)習(xí)二次函數(shù)過程中存在的困難，對(duì)教師二次函數(shù)教學(xué)的建議幾個(gè)方面入手。

其次，測評(píng)卷的編制。測評(píng)是了解學(xué)生學(xué)習(xí)薄弱點(diǎn)的有效方式。為了充分了解農(nóng)村初中生二次函數(shù)學(xué)習(xí)的困難點(diǎn)，在調(diào)研進(jìn)行的過程中，筆者采取了隨機(jī)測評(píng)的方式，結(jié)合測評(píng)結(jié)果分析學(xué)生二次函數(shù)學(xué)習(xí)的障礙、或困難點(diǎn)。測評(píng)卷涵蓋了初中二次函數(shù)重要的知識(shí)點(diǎn)：包括二次函數(shù)的概念、定義；圖像平移；二次函數(shù)的圖形與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想；求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的應(yīng)用等。

第三，調(diào)查與測評(píng)的實(shí)施。本次調(diào)查的實(shí)施、測評(píng)的實(shí)施等可以同步進(jìn)行。在編制好調(diào)查問卷之后，調(diào)查小組開展實(shí)地的問卷調(diào)查、訪談，并同步開展二次函數(shù)的測評(píng)，回收相關(guān)的問卷以及測評(píng)卷，對(duì)問卷數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和分析，對(duì)測評(píng)卷進(jìn)行批改、分析，了解學(xué)生測評(píng)過程中的知識(shí)薄弱點(diǎn)。

2 農(nóng)村初中生二次函數(shù)學(xué)習(xí)困難點(diǎn)分析

通過問卷調(diào)查、訪談以及測評(píng)，立足筆者一線農(nóng)村初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)分析農(nóng)村初中生二次函數(shù)學(xué)習(xí)的困難點(diǎn)體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：二次函數(shù)的概念、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、確定二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的應(yīng)用。而上述的困難點(diǎn)，呈現(xiàn)于不同學(xué)生的身上，具體表現(xiàn)如下：

2.1 二次函數(shù)的概念

常言道：基礎(chǔ)不牢，地動(dòng)山搖。在執(zhí)教農(nóng)村初中數(shù)學(xué)的過程中，筆者也常常教導(dǎo)學(xué)生應(yīng)當(dāng)重視基礎(chǔ)知識(shí)的掌握。只有基礎(chǔ)牢固了，才能夠在數(shù)學(xué)的分析與實(shí)踐中靈活自如地應(yīng)用知識(shí)，提高學(xué)習(xí)質(zhì)量。本次調(diào)查研究中，結(jié)合學(xué)生的測評(píng)卷我們可以清晰地看見：在二次函數(shù)基礎(chǔ)概念的掌握方面，依然有部分學(xué)生掌握得不夠牢固，如二次函數(shù)概念的表述、二次函數(shù)方程式的判斷等，具體表現(xiàn)如下：

從圖1 可見，關(guān)于“什么是二次函數(shù)”這個(gè)問題，其實(shí)就是一個(gè)極其簡單的基礎(chǔ)概念題，其主要目的就是看學(xué)生能否完整地、準(zhǔn)確地表達(dá)二次函數(shù)的概念。當(dāng)然，測評(píng)的目的，并非是要讓學(xué)生一字不漏地背誦二次函數(shù)的概念，學(xué)生能夠用自己的語言完整的表述也可以。但事實(shí)證明，依然有部分學(xué)生不能表述二次函數(shù)的概念，包括結(jié)合自己的理解用自己的語言表述。

圖1

圖2 中，這道題本質(zhì)上也是針對(duì)學(xué)生二次函數(shù)概念掌握情況的考察。在批改這道題的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤，而出現(xiàn)錯(cuò)誤的具體原因?yàn)椋簩W(xué)生在判斷含有未知參數(shù)的解析式時(shí)，會(huì)忘記“二次項(xiàng)系數(shù)不能為0”這個(gè)關(guān)鍵條件。結(jié)合這道題，筆者又開展了與學(xué)生的深入溝通交流，結(jié)果表明：部分理解能力弱、學(xué)習(xí)能力弱的學(xué)生，并不能真正理解“二次項(xiàng)系數(shù)不能為0”這個(gè)條件，很多時(shí)候?qū)W生只能死記硬背。正是因?yàn)閷W(xué)生的不理解，導(dǎo)致在判斷的過程中容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。

圖2

圖3 這道題也是對(duì)二次函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的測評(píng)。這道題也是學(xué)生錯(cuò)誤集中的題目，而分析錯(cuò)誤原因，在于學(xué)生在判斷二次函數(shù)解析式時(shí)，采取了直接判斷的方式，而非先進(jìn)性合并化簡。

圖3

以上三道題，采取了不同的方式針對(duì)學(xué)生二次函數(shù)的掌握情況進(jìn)行了測評(píng)。測評(píng)結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)：二次函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)依然是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的一個(gè)困難點(diǎn)，學(xué)生出現(xiàn)的相關(guān)錯(cuò)誤表明：在學(xué)習(xí)二次函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)時(shí)，學(xué)生并沒有靈活的理解、掌握和應(yīng)用，而是采取死記硬背的方式。這種死記硬背的方式，容易導(dǎo)致學(xué)生在面對(duì)一些有干擾條件的題目時(shí)，因不能夠靈活地應(yīng)用知識(shí)而出現(xiàn)解題錯(cuò)誤。

2.2 二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

相比較二次函數(shù)的概念知識(shí)而言，學(xué)生在二次函數(shù)圖像與性質(zhì)的學(xué)習(xí)中存在更多的困難點(diǎn)，這種困難點(diǎn)不僅僅體現(xiàn)為學(xué)生的知識(shí)理解層面，更體現(xiàn)在思維層面，主要表現(xiàn)如下：

首先，作圖方面。在二次函數(shù)圖像與性質(zhì)的學(xué)習(xí)過程中，作圖也是學(xué)生應(yīng)當(dāng)掌握的一項(xiàng)基本技能。然而，在二次函數(shù)的作圖方面，很多學(xué)生存在不會(huì)作圖的問題，尤其是對(duì)“平移”的作用理解不深，如特殊二次函數(shù)到一般二次函數(shù)的平移規(guī)律，很多學(xué)生是不掌握的。正是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握不深，導(dǎo)致在后期的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生很難準(zhǔn)確地作出一般二次函數(shù)的圖像。為什么會(huì)出現(xiàn)上述的困難點(diǎn)呢？筆者通過分析發(fā)現(xiàn)：在學(xué)習(xí)二次函數(shù)圖像與性質(zhì)的過程中，依然有部分學(xué)生存在死記硬背的現(xiàn)象，如對(duì)“上加下減、左加右減”規(guī)律的背誦，學(xué)生僅僅是教條化的記憶而非靈活地理解，導(dǎo)致在實(shí)際問題的解決過程中，學(xué)生不懂得靈活應(yīng)用、舉一反三，機(jī)械化的學(xué)習(xí)往往導(dǎo)致機(jī)械化的結(jié)果，最終導(dǎo)致學(xué)生在作圖的過程中，不會(huì)選擇合適的點(diǎn)，難以畫出完整的圖像。

其次，對(duì)二次函數(shù)解析式二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)的數(shù)量關(guān)系的判斷。初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)的圖像有很多“特征點(diǎn)”，包括：頂點(diǎn)、對(duì)稱軸，圖像與y 軸的交點(diǎn)等。這部分知識(shí)點(diǎn)也是學(xué)生學(xué)習(xí)二次函數(shù)的一大困難點(diǎn)。通過深入分析，筆者發(fā)現(xiàn)：學(xué)生在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的過程中，之所以不能對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)建立直觀的認(rèn)知，源于在數(shù)學(xué)課堂上，學(xué)生很難有真正畫圖實(shí)踐的機(jī)會(huì)，多數(shù)時(shí)候，學(xué)生都是在聽教師講，“數(shù)形結(jié)合”的意識(shí)和能力低下。而死記硬背的學(xué)習(xí)方式，導(dǎo)致學(xué)生在應(yīng)用的過程中常常存在機(jī)械、僵硬的特點(diǎn)，最終出現(xiàn)判斷和解題錯(cuò)誤。

2.3 確定二次函數(shù)解析式

二次函數(shù)作為歷來中考數(shù)學(xué)中的必考點(diǎn)，且常常是以最后大題的形式出現(xiàn)。而在大題的解答過程中，前面的小問題多數(shù)是讓學(xué)生求解二次函數(shù)的解析式。因此，對(duì)二次函數(shù)解析式的深入理解和把握，對(duì)學(xué)生應(yīng)對(duì)綜合分析題具有重要的意義。在開展調(diào)查研究的過程中，調(diào)查組設(shè)計(jì)了一道題，測評(píng)學(xué)生對(duì)二次函數(shù)解析式的掌握情況，題目如下：

就初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)的教學(xué)而言，問題7 僅僅是一道相對(duì)比較簡單的綜合分析題。涉及的知識(shí)點(diǎn)包括：二次函數(shù)的頂點(diǎn)式代入求值；圖像對(duì)稱以及三角形面積的求解知識(shí)點(diǎn)。但在求解這道題的過程中，依然有部分學(xué)生出錯(cuò)。深入分析錯(cuò)誤的原因，主要源于學(xué)生在解答問題時(shí)粗心大意，如部分學(xué)生在設(shè)句中，忘記寫“a ≠0”這個(gè)條件，同時(shí)，部分學(xué)生在解題過程中，忘記了頂點(diǎn)式這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。整體而言，針對(duì)這道題，學(xué)生整體的正確率還是挺高，達(dá)到了班級(jí)整體人數(shù)的89%。在第二個(gè)小問題的求解中，學(xué)生解題的困難點(diǎn)在于不會(huì)求點(diǎn)B 的坐標(biāo)。

2.4 二次函數(shù)的應(yīng)用

在教育改革不斷深入發(fā)展的背景下，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用實(shí)踐能力，乃是教師教學(xué)的重點(diǎn)。誠然，基于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的需要，初中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中，也應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生應(yīng)用實(shí)踐能力的培養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)“學(xué)以致用”的目標(biāo)。于初中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，二次函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)不僅僅是重要的考點(diǎn)內(nèi)容，更有助于幫助學(xué)生解決實(shí)際的生活問題，提高實(shí)踐能力。因此，關(guān)于初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)的考題中，也有很多涉及應(yīng)用的考題，最為常見的是關(guān)于利潤、銷售量變化規(guī)律的實(shí)際應(yīng)用。為了充分了解初中學(xué)生二次函數(shù)的應(yīng)用能力，本次測評(píng)中，測評(píng)小組精心設(shè)計(jì)了題目如下：

這是一道關(guān)于二次函數(shù)應(yīng)用的常見題型，很多教師在教學(xué)實(shí)踐中，也會(huì)開展類似典型例題的講解。但一直以來，類似的習(xí)題錯(cuò)誤率一直居高不下。本次測評(píng)中，關(guān)于這道題的解答，正確率僅為55.3%，也就是說：近一半的學(xué)生在解答這道問題的過程中出現(xiàn)了錯(cuò)誤。針對(duì)這道錯(cuò)誤率居高不下的題目，筆者開展了和錯(cuò)題學(xué)生的溝通交流，結(jié)果表明：一些學(xué)生在解答這道題的過程中，連題目的意思都不甚理解，不解題意，又如何解題呢？此外，部分學(xué)生在解答該題的過程中，對(duì)題目中的等量關(guān)系把握不夠準(zhǔn)確，如商品的利潤=售價(jià)—進(jìn)價(jià)；本題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)還在于“每提高2 元售價(jià)，銷量減少5 套”，很多學(xué)生在分析等量關(guān)系的過程中，因思維混亂而難以找尋到切入點(diǎn)，最終導(dǎo)致問題解答錯(cuò)誤甚至空白交卷。

3 總結(jié)

二次函數(shù)系初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，不僅僅是中考數(shù)學(xué)中的高頻考點(diǎn)，更是學(xué)生生活應(yīng)用、實(shí)踐的重要知識(shí)點(diǎn)。在農(nóng)村初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，由于受到各種主客觀因素的影響，導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的過程中存在很多困難點(diǎn)，主要表現(xiàn)為：二次函數(shù)的基礎(chǔ)概念、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的求解、二次函數(shù)的應(yīng)用等。針對(duì)相關(guān)的困難點(diǎn)，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)立足學(xué)生的實(shí)際情況，有目的、有針對(duì)性地開展教學(xué)研究，優(yōu)化二次函數(shù)教學(xué)，針對(duì)學(xué)生知識(shí)的薄弱點(diǎn)開展強(qiáng)化講解，各個(gè)擊破消除困難點(diǎn)，提高二次函數(shù)的教學(xué)質(zhì)量。