劉智全

（唐山市豐潤鎮(zhèn)中學(xué)，河北 唐山 064000）

1 引言及預(yù)備知識

在文獻(xiàn)[1]給出的卷積式基礎(chǔ)上，提出了卷積式的拓方運(yùn)算，研究了其運(yùn)算性質(zhì)，進(jìn)而提出了高次組合數(shù)及相關(guān)公式.運(yùn)用該運(yùn)算及一些數(shù)學(xué)方法和技術(shù)[2-9]，解決了若干個多項式積的展開問題及2 類Stirling數(shù)的卷積式表示問題.文中相關(guān)符號含義見文獻(xiàn)[1-2].

m×(n+1)型卷積式指的是項的和，這些項取自其中的不同行，每一項的形式為a1j1a2j2…amjm，且j1+j2+…jm=n.

定義（卷積式的拓方）用符號表示卷積式的r（r為整數(shù)）次拓方，其滿足條件：

（1）當(dāng)r≤1 時，，并且約定當(dāng)r＜ 1-n時，A的r次拓方恒為零.

（2）當(dāng)r＞1 時，

由卷積式拓方的定義可知，某卷積式的一次拓方是原卷積式本身，卷積式拓方后仍是一個卷積式，卷積式的性質(zhì)在其拓方中均成立.

2 卷積式拓方的運(yùn)算性質(zhì)

定理1

證明由卷積式拓方的定義，有

由定理1 可得到定理2.

證明對行數(shù)m作數(shù)學(xué)歸納法.容易驗證，m=1,2時命題成立.假設(shè)m=k時命題成立，即

當(dāng)m=k+1時，由定理2 及歸納假設(shè)可知，，即m=k+1時命題成立.

定理4當(dāng)r＞ (m-1)n+1時，

使用歸納法可證明定理4.由定理3～4 易見卷積式拓方定義中的約定是合理的.

當(dāng)n=1 時，的一個特例.

由卷積式及其拓方的定義不難得到定理5.

定理5卷積式A的r次拓方是項的和，這些項是取自A的不同行的m個元素的乘積，每一項的形式為a1j1a2j2…amjm，j1+j2+…jm=n+r-1.

3 卷積式及其拓方的應(yīng)用

3.1 若干個多項式的乘積

文獻(xiàn)[1]中應(yīng)用卷積式成功解決了若干個冪級數(shù)的乘積展開問題，在此基礎(chǔ)上再應(yīng)用卷積式及其拓方的有關(guān)知識不難得到關(guān)于若干多項式積展開問題的相關(guān)定理.

應(yīng)用定理6 可將任意的幾個多項式的積直接展開成一個新的多項式.

例求的展開式.

解由定理6 可知，

3.2 2類Stirling 數(shù)的卷積式表示

令t表示任意實數(shù)，則階乘函數(shù)的定義為(t)0=1,(t)n=t(t-1)…(t-n+1)(n≥1).分別用s1(n,k),s2(n,k)表示第一類Stirling 數(shù)和第二類Stirling 數(shù)，它們滿足：(t)0=(t)0=s1(0,0)=s2(0,0)=1，

利用卷積式的有關(guān)理論及其相關(guān)結(jié)果可將2類Stirling 數(shù)分別用不同形式的卷積式表示出來.

引理1

證明當(dāng)n≥m-1時，有

應(yīng)用卷積式相關(guān)性質(zhì)、計算定理，按照上述方法一直做下去，就可以得到

同樣地，應(yīng)用卷積式的相關(guān)計算定理不難計算出當(dāng)n＜m-1時，卷積式的值為零. 證畢.

由定理5 可得到引理2.

證明由第一類Stirling 數(shù)的定義，依次運(yùn)用定理6、定理3 和引理2 可知，將此式與比較可知，.證畢.

定理8（卷積式的行數(shù)為k）.

證明因為，，由引理1可知，，又因為證畢.