徐文彬，王天嬌

（1.信陽學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，河南 信陽 464000；2.信陽航空職業(yè)學院 航空管理學院，河南 信陽 464000）

中國天眼——500 m 口徑球面射電望遠鏡（Five-hundred-meter Aperture Spherical radio Telescope，簡稱FAST），是我國具有自主知識產(chǎn)權(quán)的目前世界上單口徑最大、靈敏度最高的射電望遠鏡.它的落成啟用對我國在科學前沿實現(xiàn)重大原創(chuàng)突破，加快創(chuàng)新驅(qū)動發(fā)展具有重要意義[1].

FAST 由主動反射面、信號接收系統(tǒng)（饋源艙）以及相關(guān)的控制、測量和支承系統(tǒng)組成.其中主動反射面系統(tǒng)是由主索網(wǎng)、反射面板、下拉索、促動器及支承結(jié)構(gòu)等主要部件構(gòu)成的一個可調(diào)節(jié)球面[2].主索網(wǎng)由柔性主索按照三角網(wǎng)格方式構(gòu)成，用于支承反射面板（含背架結(jié)構(gòu)），每個三角網(wǎng)格上安裝一塊反射面板，整個索網(wǎng)固定在周邊支承結(jié)構(gòu)上.主動反射面共有主索節(jié)點2 226 個，每個主索節(jié)點連接一根下拉索，下拉索下端與固定在地表的促動器連接，實現(xiàn)對主索網(wǎng)的形態(tài)控制[3].索網(wǎng)整體結(jié)構(gòu)、反射面板、主索網(wǎng)結(jié)構(gòu)及其連接見圖1.

圖1 索網(wǎng)整體結(jié)構(gòu)、反射面板、主索網(wǎng)結(jié)構(gòu)及其連接

主動反射面可分為基準態(tài)和工作態(tài)2 個狀態(tài).當處于基準態(tài)時，反射面是半徑約300 m，口徑為500 m的球面（基準球面）；當處于工作態(tài)時，反射面的形狀被調(diào)節(jié)為一個300 m 口徑的近似旋轉(zhuǎn)拋物面（工作拋物面）[4].FAST 在觀測時的剖面見圖2，C點是基準球面的球心，饋源艙接收平面的中心只能在與基準球面同心的一個球面（焦面）上移動，兩同心球面的半徑差為F=0.466R（其中：R為基準球面半徑，稱為焦徑比）.饋源艙接收信號的有效區(qū)域為直徑1 m 的中心圓盤[5].當 FAST 觀測某個方向的天體目標S時，饋源艙接收平面的中心被移動到直線SC與焦面的交點P處，調(diào)節(jié)基準球面上的部分反射面板，形成以直線SC為對稱軸、以P為焦點的近似旋轉(zhuǎn)拋物面，從而將來自目標天體的平行電磁波反射匯聚到饋源艙的有效區(qū)域內(nèi)[6].

圖2 FAST 剖面

1 反射面形狀調(diào)節(jié)模型

模型的建立思路是根據(jù)FAST 的主動反射面在基準狀態(tài)下是球面，建立球面方程，在工作狀態(tài)下，依據(jù)觀測天體的位置在FAST 的正上方及饋源艙的焦徑比等條件，建立理想拋物面；隨著觀測天體的位置發(fā)生變化，理想拋物面也會隨著發(fā)生位置的改變[7]，通過極坐標變換求得新的理想拋物面頂點坐標，根據(jù)理想拋物面的形狀、大小、焦徑比不發(fā)生變化，以及球面、拋物面具有對稱性等條件，將新理想拋物面投影區(qū)域內(nèi)各主索節(jié)點的位置平移至以原點為圓心的區(qū)域內(nèi)，通過球面方程確定各主索節(jié)點的空間坐標，以促動器伸縮沿基準球面徑向趨向球心方向為正向，該徑向就是通過原點和主索節(jié)點的直線方程，將直線方程與理想拋物面方程聯(lián)立，即可求得拋物面上的交點，交點與主索節(jié)點的距離就是要求的各主索節(jié)點的伸縮量[8].

1.1 理想拋物面的建立

在基準狀態(tài)下，反射面是半徑為300 m，口徑為500 m 的球面，在工作狀態(tài)下，反射面的形狀是一個拋物面，從遠處發(fā)射出的沿直線傳播的信號經(jīng)過反射面反射匯聚到饋源艙中，也就是說饋源艙正好在拋物面的焦點處[9].假定待觀測天體位于基準球面的正上方（見圖3），由拋物面的焦點位置P（0，-0.466R）可確定拋物面方程[10]，繞z軸旋轉(zhuǎn)可得到理想拋物面方程

圖3 拋物面的剖面

其中：p=2F=2×0.466×R；c=2pR；R=300.拋物面方程是由二維直角坐標系中的拋物線方程x2=2pz+c繞z軸旋轉(zhuǎn)后得到的三維空間的拋物面方程，c是指z軸方向上下平移的距離.

基準狀態(tài)下的球面方程為

在xoz平面內(nèi)，拋物線與圓在點x=±150處有2個交點，也就是說，在x?[-150,150]內(nèi)是所求的拋物線，這個區(qū)域以外，拋物線會在圓的下方，不是將要求的區(qū)域.繞z軸旋轉(zhuǎn)后形成的拋物面，在以（0，0）點為圓心，半徑為300 m 的圓內(nèi)形成所要求的拋物面（見圖4）.

圖4 各主索節(jié)點通過調(diào)節(jié)形成的理想拋物面

1.2 反射面板調(diào)節(jié)模型的建立

當待觀測天體S從正上方移動到其他位置時，具體方位用方位角α和仰角β來表示，天體在正上方時確定的理想拋物面，稱為初始位置的理想拋物面.

確定新的理想拋物面頂點坐標，將主索節(jié)點坐標（0,0,-300.4）作為初始工作拋物面的頂點坐標，新的頂點坐標通過球面的參數(shù)方程得到，即

式中：α1，β1分別為拋物面頂點坐標的初始位置與x軸，z軸的夾角；r為頂點坐標到原點的距離.

通過計算，理想拋物面的頂點坐標為（-49.320 0,-36.889 4,-294.018 5），由于饋源艙接收平面的中心只能在基準球面同心的一個球面（焦面）上移動，兩同心球面的半徑差為F=0.466R（其中R為基準球面半徑，稱為焦徑比），拋物面的頂點位置發(fā)生變化，但拋物面的形狀、大小、焦距等不會發(fā)生變化，只是拋物面的對稱軸以原點為固定點，分別與x軸，z軸形成α,β夾角.紅色點為在基準球面上要調(diào)節(jié)為工作拋物面的主索節(jié)點（見圖5a）.所以，求新的工作拋物面各主索節(jié)點的伸縮量，可以通過將這些節(jié)點的x,y坐標值分別平移49.32，36.889 4 m，至以原點為圓心，口徑相同的一個圓內(nèi)（見圖5b）.

圖5 基準球面上的主索節(jié)點形成工作拋物面的位置坐標

以紅色點中任一點K（x0,y0）為例，平移之后的新點坐標M（x1,y1）為

由式（2）求得M（x1,y1）在基準球面上對應(yīng)的z1值，，以點M（x1,y1,z1）與原點（0,0,0）為徑向，可確定一條直線

該直線方程與拋物面方程（式（1））有2個交點，其中一個z值大于零，舍去，小于零的那個點為要求的z點，也就是主索節(jié)點的坐標N（x2,y2,z2），點M，N間的距離為，即為從基準球面調(diào)整為工作拋物面時該主索節(jié)點的伸縮量，同樣也是點K（x0,y0,z0）處主索節(jié)點的伸縮量（見圖6）.

圖6 新拋物面的剖面示意圖

2 數(shù)值結(jié)果

中國天眼的主動反射面共有主索節(jié)點 2 226 個，反射面板4 300 塊，所有主索節(jié)點的坐標和編號，促動器下端點（地錨點）坐標、基準態(tài)時上端點（頂端）的坐標，以及促動器對應(yīng)的主索節(jié)點編號等數(shù)據(jù)，來源于2021 年高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽A 題的附件中.

工作態(tài)時，反射面的形狀被調(diào)節(jié)為一個 300 m 口徑的近似旋轉(zhuǎn)拋物面（工作拋物面），在這個區(qū)域內(nèi)共有710 個主索節(jié)點，通過Matlab 程序計算，可求解出該區(qū)域內(nèi)所有主索節(jié)點的伸縮量.由于數(shù)據(jù)較大，這里只顯示以新工作拋物面頂點坐標為圓心，口徑為300 m 的區(qū)域內(nèi)一小部分主索節(jié)點的編號及伸縮量（見表1，已按從小到大排序）.

表1 口徑為50 m 的區(qū)域內(nèi)主索節(jié)點的編號及伸縮量 m

最小伸縮量的節(jié)點編號為D27，最小伸縮量為0.001 073 785 m，是最接近新工作拋物面頂點坐標的主索節(jié)點，有約1 mm 的調(diào)整；最大伸縮量的節(jié)點編號為D186，伸縮量為0.694 403 584 m.中國天眼各主索節(jié)點下方促動器的徑向伸縮范圍為-0.6～+0.6 m，伸縮范圍為1.2 m.數(shù)據(jù)結(jié)果顯示，該區(qū)域內(nèi)的主索節(jié)點伸縮量均在可伸縮范圍內(nèi).

新位置下的工作拋物面剖面圖見圖7（a 為整個區(qū)間的剖面圖，x?[-197.2831,97.812 9]，b～d 為小區(qū)間的放大圖）.

圖7 不同區(qū)間新拋物面的剖面示意圖

3 結(jié)語

將中國天眼主動反射面的形狀調(diào)節(jié)問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學模型，就是球面上有一個拋物面，以球面的圓心為定點，拋物面的頂點在球面上運動，難點在于主動反射面是由小的反射面板組成，相當于球面上離散的點，反射面板在運動的過程中形狀、大小不發(fā)生變化，相當于離散的點之間的距離不會變.在這些條件的限制下，該模型借助Matlab 程序，能很好地計算出天體在任意方位下，理想拋物面的頂點坐標、反射面300 m口徑內(nèi)的主索節(jié)點編號、各促動器的伸縮量等數(shù)值.