袁 晗，王小軍，牟 宇，張宏劍，張普卓

(1. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076；2. 中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京 100076)

0 引 言

航天運(yùn)載器的重復(fù)使用具有降低發(fā)射成本、解決落區(qū)安全的重要意義，2015年以來美國的私營航天公司SpaceX和Blue Origin已經(jīng)通過垂直起降的方式成功實(shí)現(xiàn)火箭一子級回收和重復(fù)使用，驗(yàn)證了垂直起降重復(fù)使用火箭(簡稱垂直起降火箭)在目前的技術(shù)水平下是一種技術(shù)上可行、經(jīng)濟(jì)上合理的運(yùn)載器重復(fù)使用方案。設(shè)計(jì)垂直起降火箭返回的制導(dǎo)控制方案時(shí)，通常將飛行過程劃分為多個(gè)階段分別進(jìn)行設(shè)計(jì)。以不返回發(fā)射場的任務(wù)為例，其返回飛行剖面如圖1所示，各階段分別為：調(diào)姿滑行段AB、動(dòng)力減速段BC、氣動(dòng)減速段CD和動(dòng)力著陸段DE等。其中，動(dòng)力著陸段具有初始狀態(tài)偏差大、著陸精度要求高，且燃料消耗受制導(dǎo)方法影響大等特點(diǎn)，近年來諸多學(xué)者對動(dòng)力著陸制導(dǎo)開展了大量的研究，通?；谠诰€軌跡規(guī)劃，通過間接法或直接法等軌跡規(guī)劃方法在線生成當(dāng)前狀態(tài)對應(yīng)的最優(yōu)軌跡，從而獲得制導(dǎo)指令輸出。為降低重復(fù)使用帶來的火箭運(yùn)載能力損失，制導(dǎo)方法中通常以燃料最優(yōu)作為優(yōu)化目標(biāo)。燃料消耗不僅受制導(dǎo)方法影響，還與動(dòng)力著陸段的初始狀態(tài)有較大關(guān)系，不合理的啟動(dòng)點(diǎn)將增加燃料消耗，甚至導(dǎo)致啟動(dòng)點(diǎn)的狀態(tài)在動(dòng)力著陸可行域之外。目前，部分研究通過單一狀態(tài)量觸發(fā)方法在線確定動(dòng)力著陸段的啟動(dòng)點(diǎn)，如時(shí)序觸發(fā)、高度觸發(fā)等。然而，初始狀態(tài)偏差較大時(shí)，上述方法難以保證啟動(dòng)點(diǎn)為燃料最優(yōu)，且存在啟動(dòng)點(diǎn)接近可行域邊界，甚至在可行域之外的風(fēng)險(xiǎn)。

圖1 典型垂直起降火箭飛行剖面Fig.1 Typical flight profile of vertical-takeoff-vertical-landing rockets

為解決單一狀態(tài)量觸發(fā)方法的不足，眾多學(xué)者對動(dòng)力著陸段自適應(yīng)啟動(dòng)方法進(jìn)行了研究。針對火星著陸問題，Lu等提出軟著陸軌跡預(yù)測自適應(yīng)啟動(dòng)方法，該方法通過在線預(yù)測軟著陸軌跡的航程判斷是否啟動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)并啟動(dòng)動(dòng)力著陸段(簡稱啟動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī))，軟著陸軌跡為僅施加終端高度和速度約束、松弛終端水平位置約束時(shí)的燃料最優(yōu)軌跡。但燃料最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)力著陸軌跡并非軟著陸軌跡，且二者航程存在顯著差異，故該方法難以得到燃料最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)。Jiang等提出強(qiáng)化學(xué)習(xí)決策方法，離線訓(xùn)練決策是否啟動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)策略函數(shù)，但神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)策略函數(shù)的可解釋性較差，導(dǎo)致目前工程上難以應(yīng)用。針對火箭垂直回收問題，Wang等和邵楠等提出多種數(shù)值優(yōu)化方法，通過對氣動(dòng)減速段和動(dòng)力著陸段聯(lián)合軌跡規(guī)劃尋找燃料最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)，但由于在線計(jì)算效率難以滿足工程要求和算法收斂性難以保證，限制了該類方法的工程應(yīng)用。Song等提出中間推力軌跡自適應(yīng)啟動(dòng)方法并通過GNC驗(yàn)證飛行器“Peacock”進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，該方法通過判斷火箭能否以恒定中間推力的軌跡實(shí)現(xiàn)著陸判斷是否啟動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)，可使啟動(dòng)點(diǎn)具有較高的魯棒性，但難以保證啟動(dòng)點(diǎn)的燃料最優(yōu)性。

針對氣動(dòng)減速段中在線判斷燃料最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)的問題，本文對火箭垂直返回中的燃料最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)進(jìn)行了研究，采用一種解析的推力剖面和攻角剖面形式描述從燃料最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)出發(fā)的燃料最優(yōu)動(dòng)力著陸軌跡(簡稱最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)力著陸軌跡)。結(jié)合上述剖面形式，提出了燃料最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)的判斷條件，進(jìn)而設(shè)計(jì)了一種動(dòng)力著陸段自適應(yīng)啟動(dòng)方法。仿真結(jié)果表明，該方法得到的啟動(dòng)點(diǎn)與數(shù)值優(yōu)化方法得到的燃料最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)十分接近。

1 火箭著陸問題描述

針對研究的氣動(dòng)減速段和動(dòng)力著陸段的制導(dǎo)問題，本章將給出火箭返回的動(dòng)力學(xué)模型，及氣動(dòng)減速制導(dǎo)和動(dòng)力減速制導(dǎo)的方案。

1.1 火箭返回的動(dòng)力學(xué)模型

在以目標(biāo)著陸點(diǎn)為原點(diǎn)的站心直角坐標(biāo)系(簡稱站心坐標(biāo)系)研究返回過程，該坐標(biāo)系的向?yàn)榭v向，向?yàn)楦叨?，向?yàn)闄M向。視地球?yàn)榍蛐?，忽略引力攝動(dòng)。采用三自由度質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型，火箭的控制量為推力、攻角和側(cè)滑角，假定推力方向始終沿箭體軸線。動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

式中：為火箭的飛行速度；為速度傾角；為航跡偏航角；為火箭質(zhì)量；為重力加速度；為火箭發(fā)動(dòng)機(jī)比沖；,和為地球曲率、牽連加速度和Coriolis加速度在三個(gè)運(yùn)動(dòng)方向分別的影響，具體見文獻(xiàn)[17]；=(+)為重力加速度，其中為目標(biāo)著陸點(diǎn)處的重力加速度，為目標(biāo)著陸點(diǎn)處的地心距離；,和分別為氣動(dòng)阻力、升力和橫向力，將其表示為

(2)

式中：為動(dòng)壓；為阻力系數(shù)；′為升力系數(shù)導(dǎo)數(shù)，設(shè)為常數(shù)，升力系數(shù)()形式較為復(fù)雜難以解析表示，小攻角下可近似為()≈′，由于火箭為軸對稱體，橫向力系數(shù)()≈′；為大氣密度，采用標(biāo)準(zhǔn)大氣參數(shù)；為參考面積。

1.2 約束和優(yōu)化目標(biāo)

以氣動(dòng)減速段開始作為分析的初始狀態(tài)，設(shè)該時(shí)刻為=0，動(dòng)力著陸段初始時(shí)刻為，終端時(shí)刻為。記=0時(shí)刻的狀態(tài)為[,,,,,,]。動(dòng)力著陸段的初始狀態(tài)為氣動(dòng)減速段的終端狀態(tài)。動(dòng)力著陸段的終端位置、速度、傾角固定，終端質(zhì)量和航跡偏航角無約束，動(dòng)力著陸段的終端約束為

(3)

式中:≥0。以燃料最優(yōu)為目標(biāo)，目標(biāo)方程為

min=-()

(4)

氣動(dòng)減速段無發(fā)動(dòng)機(jī)推力，即=0。動(dòng)力著陸段中發(fā)動(dòng)機(jī)的最大推力、最小推力和推力調(diào)節(jié)速度均面臨約束，將其簡化為常值約束，分別為

≤≤

(5)

(6)

其中,>。將氣動(dòng)載荷、舵面配平能力等假定為攻角和側(cè)滑角及其變化率的常值約束，為

(7)

(8)

終端時(shí)刻推力的大小無約束，由于終端時(shí)刻要求以豎直姿態(tài)觸地，故終端時(shí)刻的攻角、側(cè)滑角約束為

()=()=0

(9)

1.3 分段制導(dǎo)方案

火箭在氣動(dòng)減速段中通過該段的制導(dǎo)算法生成攻角、側(cè)滑角指令，同時(shí)通過自適應(yīng)啟動(dòng)算法自主地確定是否啟動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)。啟動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)后，進(jìn)入動(dòng)力著陸段，且不再執(zhí)行自適應(yīng)啟動(dòng)算法。下面給出分析動(dòng)力著陸啟動(dòng)問題時(shí)采用的分段制導(dǎo)方案，其中氣動(dòng)減速制導(dǎo)用于生成定量的返回軌跡，動(dòng)力著陸制導(dǎo)用于生成動(dòng)力著陸軌跡，進(jìn)而給出啟動(dòng)點(diǎn)的可行性和燃料消耗。

氣動(dòng)減速制導(dǎo)采用文獻(xiàn)[17]的預(yù)測制導(dǎo)并進(jìn)行改進(jìn)。文獻(xiàn)[17]給定虛擬目標(biāo)點(diǎn)在站心坐標(biāo)系中坐標(biāo)為[,,]，通過參數(shù)和確定預(yù)測軌跡的攻角剖面和側(cè)滑角剖面，利用對動(dòng)力學(xué)方程式(1)積分預(yù)測=時(shí)的水平位置坐標(biāo)|=,|=，進(jìn)而以|==,|==為條件求解和。文獻(xiàn)[17]中設(shè)定攻角、側(cè)滑角為時(shí)間的線性函數(shù)，由于飛行時(shí)間受初始狀態(tài)和攻角、側(cè)滑角剖面影響較大，該方法限制了水平機(jī)動(dòng)能力。因此不同于文獻(xiàn)[17]，本文設(shè)定攻角和側(cè)滑角指令為高度的函數(shù)。預(yù)測落點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，式(1)中推力取0，攻角和側(cè)滑角與和的關(guān)系分別為

=min{max{(-)|-|,0},}

(10)

=min{max{(-)|-|,0},}

(11)

式中:,為預(yù)先給定的參數(shù)，即<時(shí)指令為0，<時(shí)指令為0，取=1 km,=5 km。

本文提出的自適應(yīng)啟動(dòng)方法不依賴于具體的動(dòng)力著陸制導(dǎo)算法，采用數(shù)值軌跡優(yōu)化方法直接得到從啟動(dòng)點(diǎn)出發(fā)的燃料最優(yōu)動(dòng)力著陸軌跡來評價(jià)啟動(dòng)點(diǎn)的可行性和燃料消耗，避免了不同制導(dǎo)算法對啟動(dòng)點(diǎn)的可行性和燃料消耗評價(jià)結(jié)果的影響。軌跡優(yōu)化采用GPOPS算法，動(dòng)力學(xué)模型為式(1)，終端約束為式(3)，優(yōu)化目標(biāo)為式(4)。

2 燃料最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)的性質(zhì)分析

在縱向平面(--平面)分析典型返回軌跡中使動(dòng)力著陸段燃料消耗最小的啟動(dòng)點(diǎn)(即燃料最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)，簡稱最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn))，及對應(yīng)的動(dòng)力著陸軌跡的性質(zhì)。為便于得到控制量剖面的規(guī)律，文中忽略推力變化率約束(6)、攻角變化率約束(8)，終端狀態(tài)約束(3)中忽略傾角約束，僅考慮如下終端約束：()=0,()=0,()=,()=0。但在仿真校驗(yàn)中考慮了上述忽略的約束，驗(yàn)證了依據(jù)本章結(jié)論提出的算法仍有效。

采用如表1所示的火箭參數(shù)和初始狀態(tài)，通過如下方式生成多條氣動(dòng)減速段軌跡：初始狀態(tài)相同，通過為氣動(dòng)減速段的預(yù)測制導(dǎo)選取不同虛擬目標(biāo)點(diǎn)生成不同軌跡，令虛擬目標(biāo)點(diǎn)的高度均為=0。由于氣動(dòng)減速制導(dǎo)采用無動(dòng)力軌跡預(yù)測落點(diǎn)，無動(dòng)力軌跡航程大于動(dòng)力著陸航程，故虛擬目標(biāo)點(diǎn)應(yīng)在目標(biāo)著陸點(diǎn)前方。數(shù)值仿真表明<786m時(shí)氣動(dòng)減速段不存在動(dòng)力著陸可行解，故取分別為100 m，150 m，…，500 m，共9條軌跡。采用GPOPS計(jì)算從氣動(dòng)減速軌跡的不同時(shí)刻啟動(dòng)對應(yīng)的燃料消耗，采用啟動(dòng)點(diǎn)的高度代表該啟動(dòng)點(diǎn)，得燃料消耗與啟動(dòng)高度曲線如圖2所示，圖中每條曲線下方為該曲線對應(yīng)取值，由左至右依次對應(yīng)為100 m，150 m，…，500 m的軌跡。

表1 火箭參數(shù)和初始狀態(tài)Table 1 Rocket parameters and initial states

圖2 不同虛擬目標(biāo)點(diǎn)下燃料消耗與啟動(dòng)點(diǎn)關(guān)系圖Fig.2 Relation between fuel consumption and starting points under different virtual target points

由圖2可見，最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)存在位于和不位于最小可行高度兩種情況：若位于最小可行高度，返回軌跡中隨啟動(dòng)高度降低燃料消耗單調(diào)降低，如圖2中為100 m至200 m的3條軌跡；若不位于最小可行高度，返回軌跡中隨高度降低燃料消耗先降低后上升，如圖2中為250 m至500 m的6條軌跡。以分別為200 m，300 m和400 m的三條軌跡(圖2中三條加粗黑線)為例分析最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)力著陸軌跡。上述三個(gè)典型返回軌跡的最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)的狀態(tài)及軌跡的最大、最小可行啟動(dòng)高度總結(jié)如表2。三個(gè)最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)力著陸軌跡的推力和攻角剖面如圖3所示，圖中時(shí)間零點(diǎn)為動(dòng)力著陸段開始時(shí)刻。

圖3 燃料最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)力著陸軌跡的控制量Fig.3 Control profiles of dynamic landing trajectory of fuel-optimal handover states

表2 燃料最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)的狀態(tài)Table 2 The fuel-optimal powered descent initiation states

可見為200 m時(shí)，最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)力著陸軌跡的推力恒為，攻角剖面的形式較為復(fù)雜，為100 m和150 m的軌跡中上述性質(zhì)均成立。為300 m和400 m時(shí)，推力剖面為-形式的Bang-Bang控制，即推力由切換至且僅有一次切換，令為推力切換時(shí)刻，推力剖面表示為

(12)

為300 m和400 m的軌跡中，攻角剖面近似為Bang-Bang控制，除觸地前較短時(shí)間外，攻角取值均為或-，觸地前為滿足終端攻角約束，攻角降至0。其他4條最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)不在最小可行高度處的軌跡中該性質(zhì)均成立，由于此時(shí)最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)無法通過尋找最小可行啟動(dòng)高度確定，故下面重點(diǎn)分析為300 m和400 m的軌跡中的性質(zhì)。

進(jìn)一步，采用最優(yōu)控制方法研究攻角正負(fù)取值與狀態(tài)量的關(guān)系。僅考慮縱向平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，且忽略地球曲率、牽連加速度和Coriolis加速度影響項(xiàng),和。考慮攻角較小，引入近似sin≈。將氣動(dòng)力式(2)代入動(dòng)力學(xué)方程(1)，得動(dòng)力學(xué)方程為

(13)

式(13)對應(yīng)的哈密爾頓函數(shù)為

(14)

推力約束和攻角約束分別如式(5)和式(7)第一式。對上述最優(yōu)控制問題，有定理1如下

設(shè)動(dòng)力著陸問題的最優(yōu)控制為(,)，則必滿足(′-)≤0。

由極小值原理可知(,)使取極小值，將式(14)所示的記為(,)。采用反證法，設(shè)(′-)>0，則(,)-(,-)=2(′-)>0，即(,)>(,-)。由于滿足攻角約束式(7)，則-必滿足攻角約束，則(,-)為滿足控制約束的解，則(,)未使取極小值，與“(,)為最優(yōu)控制”矛盾。

數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明為300 m和400 m的軌跡中最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)力著陸軌跡中恒有≥0，則由定理1得(′-)≤0。最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)不在最小可行高度時(shí)，對應(yīng)的動(dòng)力著陸軌跡的攻角剖面近似為Bang-Bang控制，僅在觸地前較短時(shí)間內(nèi)攻角降至0。由于攻角由降至0的過程距離觸地的時(shí)間較短，此時(shí)攻角變化對軌跡影響較小，將動(dòng)力著陸軌跡中取值均近似為或-，則攻角剖面表示為

(15)

攻角與升力、推力的關(guān)系如圖4所示，圖中垂直于速度方向，虛線表示升力，及推力在速度方向的分量，實(shí)線表示垂直于方向的力的合力。

圖4 攻角與狀態(tài)量關(guān)系Fig.4 Relation between angle of attack and states

本章通過數(shù)值優(yōu)化方法分析了返回軌跡中最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)的性質(zhì)。分析表明最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)力著陸軌跡具有兩種情況，第一種情況為最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)的高度為該條軌跡的最小可行高度，此時(shí)推力恒為，攻角剖面較為復(fù)雜；第二種情況為最優(yōu)啟動(dòng)高度不在最小可行高度，此時(shí)推力剖面如式(12)，攻角剖面近似如式(15)。此時(shí)推力剖面中推力切換時(shí)刻為待定參數(shù)，攻角剖面與狀態(tài)量的關(guān)系完全確定。

3 燃料最優(yōu)自適應(yīng)啟動(dòng)方法

3.1 基本原理

本文提出的自適應(yīng)啟動(dòng)方法通過上述最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)力著陸軌跡的推力和攻角剖面的性質(zhì)，在線判斷當(dāng)前狀態(tài)是否在最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)，進(jìn)而決定是否啟動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)。判斷方法為：假設(shè)當(dāng)前狀態(tài)在最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)，則存在推力切換時(shí)刻，使得以當(dāng)前狀態(tài)為初始狀態(tài)、推力滿足式(12)，攻角滿足式(15)、側(cè)滑角為0的動(dòng)力著陸軌跡，同時(shí)滿足第2章分析中考慮的3個(gè)終端約束()=0、()=0、()=?？紤]該軌跡的終端時(shí)刻自由，即具有兩個(gè)未知數(shù)和，故松弛1個(gè)終端約束，通過2個(gè)終端約束確定、，此時(shí)動(dòng)力著陸軌跡唯一確定，若該軌跡滿足松弛的約束，代表當(dāng)前狀態(tài)在最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)。本文松弛約束()=0，通過()=0、()=兩個(gè)約束確定、進(jìn)而確定上述動(dòng)力著陸軌跡，若該軌跡滿足()近似為0，則啟動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)。本文將推力和攻角滿足式(12)和式(15)，滿足約束()=0、()=的軌跡稱為“觸發(fā)軌跡”。

火箭返回中，在氣動(dòng)減速段的每個(gè)制導(dǎo)周期通過觸發(fā)軌跡的()是否接近于0判斷當(dāng)前狀態(tài)是否在最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)。由于氣動(dòng)減速段火箭自高到低飛行，若最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)不在最小可行高度處，且最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)的高度小于初始判斷時(shí)的高度，則該方法可尋找到最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)。本研究發(fā)現(xiàn)，若返回軌跡中水平速度較大，則()隨啟動(dòng)高度降低而前移。若上一周期()<0且本周期()>0，代表最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)在該周期內(nèi)，故將()>0作為啟動(dòng)條件，第一次判斷得()>0時(shí)啟動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)。

本文方法采用的觸發(fā)軌跡的推力和攻角剖面與縱向平面內(nèi)最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)力著陸軌跡相同，故在最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)處觸發(fā)軌跡的航程與待飛航程相同，避免了文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[6]中由于觸發(fā)軌跡與最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)力著陸軌跡航程存在差異，導(dǎo)致的難以找到最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)問題。此外，本方法不依賴于各飛行階段具體的制導(dǎo)方法，僅需要?jiǎng)恿χ懚尾捎萌剂献顑?yōu)制導(dǎo)。3.2節(jié)將給出上述自適應(yīng)啟動(dòng)算法的細(xì)節(jié)。

3.2 算法細(xì)節(jié)

首先給出觸發(fā)軌跡的計(jì)算方法。由于觸發(fā)軌跡的初始狀態(tài)、攻角與狀態(tài)的關(guān)系均已給定，觸發(fā)軌跡由推力切換時(shí)刻唯一確定，推力切換時(shí)刻可通過觸發(fā)軌跡的終端約束()=0、()=求解。令代表滿足上述約束的推力切換時(shí)刻，s,代表任意的推力切換時(shí)刻。則對任意給定s,，將推力剖面式(12)、攻角剖面式(15)代入動(dòng)力學(xué)方程式(1)進(jìn)行數(shù)值積分，得速度降為時(shí)的高度|=。然后，通過Newton-Raphson法迭代求解使得|==0，從而確定觸發(fā)軌跡，并令()代表觸發(fā)軌跡的終端位置。求解s,對應(yīng)的|=時(shí)，由于終端時(shí)刻自由，終端條件為=，因此推力切換至后以速度為自變量進(jìn)行積分。從而將通過()=0、()=求解兩個(gè)未知變量,的問題，轉(zhuǎn)化為通過|==0求解單個(gè)未知變量的問題，提高了求解效率。

圖5 整合制導(dǎo)方案及自適應(yīng)PDI方法流程圖Fig.5 Flowchart of the integrated guidance framework and the proposed adaptive PDI method

4 仿真校驗(yàn)

4.1 空間質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)仿真

考慮三組氣動(dòng)減速段初始狀態(tài)和三個(gè)預(yù)測制導(dǎo)虛擬目標(biāo)點(diǎn)，共九條返回軌跡。初始狀態(tài)以表1為標(biāo)稱值，并考慮初始位置、速度偏差，采用的三組初始狀態(tài)如表3所示。三個(gè)虛擬目標(biāo)點(diǎn)與第2章中分析的三組典型軌跡相同，3自由度模型中三個(gè)虛擬目標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為[200, 0, 0]m，[300, 0, 0]m，[400, 0, 0]m，即取上述三個(gè)取值，均為0。

表3 氣動(dòng)減速段初始狀態(tài)Table 3 Initial states of aerodynamic deceleration

9條返回軌跡的燃料消耗與啟動(dòng)點(diǎn)高度關(guān)系如圖6所示，圖中“啟動(dòng)點(diǎn)”通過提出的自適應(yīng)啟動(dòng)方法得到。上述軌跡的啟動(dòng)點(diǎn)狀態(tài)、最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)的燃料消耗和高度，及軌跡的最大、最小可行高度總結(jié)如表4，其中啟動(dòng)時(shí)刻以開始?xì)鈩?dòng)減速的時(shí)刻為時(shí)間零點(diǎn)?？梢姙?00 m時(shí)軌跡的最優(yōu)啟動(dòng)高度為最小可行高度；為300 m和400 m時(shí)最優(yōu)啟動(dòng)高度均不在最小可行高度。從自適應(yīng)啟動(dòng)方法確定的啟動(dòng)點(diǎn)開始動(dòng)力著陸，上述9條返回軌跡的軌跡剖面如圖7所示。6條含偏差動(dòng)力著陸軌跡的推力和攻角剖面如圖8所示，3條無偏差軌跡的推力和攻角剖面均與與圖3相近，故圖8中為列出。

圖6 不同初始狀態(tài)下燃料消耗與啟動(dòng)高度關(guān)系圖Fig.6 Profiles of fuel consumption with respect to PDI states under different initial states

圖7 典型返回軌跡的飛行剖面Fig.7 Profiles of the typical return trajectory

圖8 典型返回軌跡啟動(dòng)點(diǎn)的燃料最優(yōu)動(dòng)力著陸軌跡的推力和攻角剖面Fig.8 Thethrust and angle of attack profiles of fuel-optimal powered descent trajectories of the triggered states

表4 典型軌跡的啟動(dòng)點(diǎn)狀態(tài)Table 4 Powered descent initiation states of the typical cases

4.2 計(jì)算效率和收斂性

圖9 自適應(yīng)啟動(dòng)方法的計(jì)算耗時(shí)和迭代次數(shù)Fig.9 Computational time cost and iterations’ number of theproposed adaptive powered descent initiation method

可見單次求解的最大計(jì)算耗時(shí)為50.3 ms，最大迭代次數(shù)為3次，最大迭代次數(shù)出現(xiàn)在首次計(jì)算觸發(fā)軌跡時(shí)。原因?yàn)榇藭r(shí)的迭代初值為，隨后計(jì)算中由于將上一時(shí)刻的作為迭代初值，僅需1至2次迭代即可收斂。

為直觀的展示本文方法的收斂性，做迭代求解時(shí)的速度-高度剖面如圖10所示，的迭代初值為-=0。初始狀態(tài)為=300 m時(shí)負(fù)偏差軌跡的最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)的狀態(tài)。圖中表示第步迭代，s,表示該步中切換時(shí)刻的取值。圖中第3次迭代即收斂至|==-36×10m，此時(shí)滿足迭代收斂條件。

圖10 觸發(fā)軌跡的迭代求解Fig.10 Iterative solutions of trigger trajectories

4.3 蒙特卡洛仿真

為檢驗(yàn)本文方法關(guān)于火箭模型參數(shù)的適應(yīng)性，關(guān)于火箭模型參數(shù)、初始狀態(tài)進(jìn)行蒙特卡洛仿真，對比不同參數(shù)中自適應(yīng)啟動(dòng)方法得到的啟動(dòng)點(diǎn)與燃料最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)間的燃料消耗的差異。考慮表5所示的9個(gè)模型參數(shù)和6個(gè)初始狀態(tài)參數(shù)均在表5所示的取值范圍內(nèi)服從均勻分布，其中初始縱向位置為相對氣動(dòng)減速段零攻角、零側(cè)滑角航程的偏差，原因?yàn)闅鈩?dòng)減速段航程受火箭參數(shù)和初始狀態(tài)影響較大?；鸺膫?cè)滑角約束、側(cè)滑角變化率約束的取值與攻角相同。氣動(dòng)減速段制導(dǎo)的虛擬目標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)為[300, 0, 0]m，自適應(yīng)啟動(dòng)方法的參數(shù)與4.1節(jié)相同。

表5 火箭參數(shù)和初始狀態(tài)的取值范圍Table 5 Value range of the rocket parameters and initial states

進(jìn)行1000次蒙特卡洛仿真，自適應(yīng)啟動(dòng)方法所得啟動(dòng)點(diǎn)與GPOPS算法得到的燃料最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)間燃料消耗相對差異的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖11所示?？梢姳M管火箭參數(shù)和初始狀態(tài)存在較大差異，但本文提出的自適應(yīng)啟動(dòng)方法均可得到與燃料最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)接近的啟動(dòng)點(diǎn)。說明盡管本文方法基于特定參數(shù)下數(shù)值的結(jié)論，但在不同火箭參數(shù)中具有較好的適應(yīng)性。

圖11 比最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)燃料消耗相對增加量的統(tǒng)計(jì)結(jié)果Fig.11 Statistical results of the relative fuel usage increase for the triggered PDI states compared with the optimal PDI states

5 結(jié) 論

本文針對重復(fù)使用火箭垂直返回著陸問題，對動(dòng)力著陸段的自適應(yīng)啟動(dòng)方法展開研究，主要的工作總結(jié)如下：

1) 通過數(shù)值優(yōu)化方法對返回軌跡系統(tǒng)分析，得到一種解析形式的推力剖面和攻角剖面，描述燃料最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)對應(yīng)的動(dòng)力著陸軌跡。

2) 設(shè)計(jì)了一種燃料最優(yōu)的動(dòng)力著陸段自適應(yīng)啟動(dòng)方法。方法基于上述剖面形式判斷當(dāng)前是否滿足燃料最優(yōu)啟動(dòng)條件，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)啟動(dòng)。

3) 對提出的自適應(yīng)啟動(dòng)方法在多種工況下進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)，得到的啟動(dòng)點(diǎn)與燃料最優(yōu)啟動(dòng)點(diǎn)十分接近，且迭代求解過程穩(wěn)定，計(jì)算效率高。