郭建國(guó)，胡冠杰，郭宗易，王國(guó)慶

(1. 西北工業(yè)大學(xué)精確制導(dǎo)與控制研究所，西安 710072; 2. 中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院研發(fā)部，北京 100076)

0 引 言

雷達(dá)尋的導(dǎo)彈在測(cè)量彈目相對(duì)視線(Line-of-sight, LOS)角度時(shí)，被目標(biāo)反射的雷達(dá)波通過天線罩到達(dá)導(dǎo)引頭。當(dāng)天線罩形狀為理想半球時(shí)，雷達(dá)波不會(huì)被天線罩折射，但是這種形狀會(huì)受到較大的空氣阻力。實(shí)際設(shè)計(jì)中為了減小空氣動(dòng)力阻力，天線罩的形狀是非半球的，可這也導(dǎo)致雷達(dá)波發(fā)生折射。天線罩對(duì)雷達(dá)波的折射會(huì)在彈目相對(duì)視線角上引起一個(gè)誤差角，從而給出有偏差的目標(biāo)位置指令。天線罩誤差會(huì)對(duì)導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)產(chǎn)生影響，在制導(dǎo)回路中產(chǎn)生寄生回路，進(jìn)而影響雷達(dá)尋的導(dǎo)彈的脫靶距離，甚至破壞動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性。

關(guān)于雷達(dá)天線罩折射現(xiàn)象影響導(dǎo)彈的制導(dǎo)性能問題，回顧前人文獻(xiàn)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做出了大量工作。天線罩誤差斜率是天線罩誤差產(chǎn)生的核心因素，通過對(duì)天線罩誤差斜率的無偏估計(jì)和有效補(bǔ)償可大大減少脫靶距離。天線罩誤差斜率估計(jì)方法涉及擴(kuò)展卡爾曼濾波、粒子濾波等。Seo等提出了僅在彈目相對(duì)視線角測(cè)量的情況下的天線罩誤差估計(jì)系統(tǒng)，并引入了修正自適應(yīng)間歇機(jī)動(dòng)以提高估計(jì)性能。宗睿等針對(duì)天線罩誤差的在線補(bǔ)償方法展開了系統(tǒng)的研究，基于極點(diǎn)配置自校正理論分析了不同制導(dǎo)律下天線罩誤差對(duì)導(dǎo)彈性能的影響。同時(shí)，智能方法也被用在解決天線罩誤差中。Klein等在頻域中利用補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)環(huán)路整形的方法分析了非線性天線罩效應(yīng)，減少天線罩寄生環(huán)效應(yīng)。已有的研究方法都是圍繞對(duì)天線罩誤差的估計(jì)和補(bǔ)償展開，但是這些方法的估計(jì)誤差會(huì)隨著時(shí)間而累計(jì)，導(dǎo)致在制導(dǎo)末端天線罩誤差的估計(jì)值不能十分準(zhǔn)確地接近真實(shí)值，并且在目標(biāo)機(jī)動(dòng)時(shí)效果更差。因此需要提出一種在目標(biāo)機(jī)動(dòng)下能處理天線罩誤差的制導(dǎo)策略。

自適應(yīng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃是一種集強(qiáng)化學(xué)習(xí)、動(dòng)態(tài)規(guī)劃和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)于一體的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)學(xué)習(xí)控制方法。它不依賴于數(shù)學(xué)模型，當(dāng)系統(tǒng)受到噪聲或干擾時(shí)，可以自適應(yīng)的更新網(wǎng)絡(luò)權(quán)值來選擇最優(yōu)策略。針對(duì)非線性控制模型中目標(biāo)機(jī)動(dòng)這種非匹配干擾，基于ADP的控制策略已經(jīng)有大量研究。同時(shí)在制導(dǎo)策略研究中，ADP解決了魯棒最優(yōu)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中的性能指標(biāo)的問題，推動(dòng)了導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)的智能化和精確化。但這些研究都未涉及天線罩誤差。參考導(dǎo)彈攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)，利用ADP設(shè)計(jì)微分對(duì)策制導(dǎo)律的思想，本文提出一種導(dǎo)彈天線罩誤差下的基于ADP的制導(dǎo)策略，不同于傳統(tǒng)處理目標(biāo)機(jī)動(dòng)和天線罩誤差的估計(jì)方式，設(shè)計(jì)了一種新的代價(jià)函數(shù)，通過引入狀態(tài)量和不確定項(xiàng)將天線罩誤差和目標(biāo)機(jī)動(dòng)考慮進(jìn)去，同時(shí)可以保證控制能量最小。利用ADP逼近最小代價(jià)函數(shù)值的原理來消除天線罩誤差的影響，從而求解出魯棒最優(yōu)制導(dǎo)策略，保證導(dǎo)彈在目標(biāo)機(jī)動(dòng)和天線罩誤差下準(zhǔn)確的完成攔截任務(wù)。

1 問題闡述

1.1 天線罩誤差下的交戰(zhàn)場(chǎng)景

圖1 導(dǎo)彈-目標(biāo)交戰(zhàn)場(chǎng)景Fig.1 Missile-target engagement scenario

導(dǎo)彈-目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

(2)

(3)

(4)

當(dāng)雷達(dá)波通過導(dǎo)彈雷達(dá)導(dǎo)引頭的天線罩時(shí)，存在折射效應(yīng)，導(dǎo)致真實(shí)視線和虛假視線之間形成了圖1中誤差角Δ，它被稱為天線罩瞄準(zhǔn)線折射誤差角。在天線罩誤差的影響下，目標(biāo)T從真實(shí)位置偏移到′處，并且導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)會(huì)將折射角的變化誤認(rèn)為是彈目相對(duì)視線角的改變。根據(jù)相關(guān)天線罩瞄準(zhǔn)線折射誤差角的研究，實(shí)際彈目相對(duì)視線角的表達(dá)形式為

′=-?

(5)

式中：是天線罩誤差斜率，它會(huì)在制導(dǎo)系統(tǒng)中引起寄生回路，從而嚴(yán)重影響穩(wěn)定性，該值的大小取決于天線罩的材料、尺寸、雷達(dá)波長(zhǎng)等眾多因素。?是導(dǎo)彈的姿態(tài)角，說明天線罩誤差還會(huì)進(jìn)一步影響導(dǎo)彈的自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)。

圖2 天線罩誤差下的導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)Fig.2 Missile guidance system under radome errors

1.2 天線罩誤差下的非線性制導(dǎo)模型

(6)

其中,彈目相對(duì)距離出現(xiàn)在的分母上，它隨著導(dǎo)彈飛行時(shí)間單調(diào)減小，使得視線角速率變化率趨于無窮大。同時(shí)，系統(tǒng)(6)本質(zhì)上是一個(gè)有限時(shí)間攔截問題，不滿足局部Lipschitz條件。因此，需要將系統(tǒng)(6)轉(zhuǎn)化為一個(gè)可以由所提出方法解決的新系統(tǒng)。

(7)

根據(jù)狀態(tài)變量給出新系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為

(8)

設(shè)計(jì)魯棒最優(yōu)制導(dǎo)策略之前需要以下假設(shè)。

為了解決系統(tǒng)(8)的魯棒最優(yōu)控制問題，需要推導(dǎo)出控制使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。面對(duì)天線罩誤差這種狀態(tài)不確定性Δ，并且涉及模型不確定性Δ()，通常很難直接設(shè)計(jì)。在本文中，通過在代價(jià)函數(shù)中引入不確定性項(xiàng)來處理模型不確定性。隨后構(gòu)造具有新的權(quán)值自適應(yīng)律的批評(píng)網(wǎng)絡(luò)，利用自適應(yīng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃技術(shù)推導(dǎo)出反饋形式的控制解來得到制導(dǎo)策略。特別的，考慮到新系統(tǒng)(8)中|(-)|=π2, |(-)|=π2是一個(gè)不穩(wěn)定的平衡。因此，提前規(guī)定了本文制導(dǎo)策略適用的范圍如下。

={:|(-)|≠π2,|(-)|≠

π2,<0}

(9)

2 基于ADP的機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截制導(dǎo)策略

2.1 魯棒最優(yōu)控制問題框架

根據(jù)系統(tǒng)(8)，將其名義系統(tǒng)考慮為

(10)

本節(jié)的目標(biāo)是根據(jù)名義系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個(gè)控制輸入()，使它不僅能穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)，還能最小化形式如下的代價(jià)函數(shù)

(())}d

(11)

式中：()>0是連續(xù)可微的狀態(tài)函數(shù)，是正定的對(duì)角矩陣。()是一個(gè)待定義的有界函數(shù)。

代價(jià)函數(shù)分為三個(gè)部分:第一部分(())的目的是使得狀態(tài)量趨于零，實(shí)現(xiàn)攔截目標(biāo)；第二部分()()的目的是最小化控制輸入，實(shí)現(xiàn)控制最優(yōu)；第三部分(())的目的是引入模型不確定性，考慮目標(biāo)機(jī)動(dòng)情況。

定義Hamilton函數(shù)為

(12)

(13)

從而推導(dǎo)出魯棒最優(yōu)制導(dǎo)策略的表達(dá)形式

(14)

式(14)代入式(13)可以推導(dǎo)出HJB方程的形式為

(15)

考慮到名義系統(tǒng)(10)和代價(jià)函數(shù)(11)，在所提出的魯棒最優(yōu)制導(dǎo)策略(14)下，閉環(huán)系統(tǒng)(8)可以保證漸近穩(wěn)定。

考慮()=()為L(zhǎng)yapunov函數(shù)，對(duì)()沿閉環(huán)系統(tǒng)軌跡對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可以得到

(16)

結(jié)合式(15)，進(jìn)一步可以得到

(17)

(18)

進(jìn)一步得到

()=(())(())+

(19)

2.2 基于ADP的機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截制導(dǎo)策略設(shè)計(jì)

根據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局逼近性質(zhì)，最優(yōu)代價(jià)函數(shù)()可以精確地表示為。

(20)

(21)

將式(21)代入到控制輸入(14)中，可以得到

(22)

并且式(15)也可以重寫為

())+(())(())+=0

(23)

(24)

(25)

根據(jù)式(25)可以得到近似魯棒最優(yōu)制導(dǎo)策略為

(26)

將式(26)代入式(15)可得近似Hamilton函數(shù)

(27)

(28)

(29)

(30)

式(30)在后續(xù)部分用于討論權(quán)值估計(jì)誤差的穩(wěn)定性。

為了消除神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差的影響，得到一個(gè)具有漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn)的閉環(huán)系統(tǒng)，在制導(dǎo)策略中增加了一個(gè)魯棒控制項(xiàng)，可以構(gòu)造為

(31)

式中：>0是個(gè)常數(shù);是二維的單位矩陣;是一個(gè)滿足≥的待設(shè)計(jì)參數(shù)，Ξ的取值將在下節(jié)進(jìn)行討論。

(32)

3 穩(wěn)定性分析

(33)

(34)

(35)

選擇合適的和參數(shù)使得>0,()表示的最小特征值，可以得到

(36)

由于式(29)的定義，接下來分兩種情況展開。

(37)

(38)

(39)

因此，如果下列兩個(gè)不等式任一條件成立。

(40)

選擇與定理2中相同的Lyapunov函數(shù)()，類似于定理2的證明，可以得到

(41)

(42)

天線罩誤差下基于ADP的制導(dǎo)策略的主要思想是：首先，推導(dǎo)出天線罩誤差下的非線性制導(dǎo)模型(8)，將有限時(shí)間攔截問題轉(zhuǎn)化為無限時(shí)間魯棒最優(yōu)控制問題；其次，不同于傳統(tǒng)處理天線罩誤差的估計(jì)與補(bǔ)償方式，設(shè)計(jì)了新型的代價(jià)函數(shù)(11)，解決了天線罩誤差和目標(biāo)不確定性，并保證能量最優(yōu)；然后通過構(gòu)造評(píng)價(jià)網(wǎng)絡(luò)，利用自適應(yīng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃來求解近似魯棒最優(yōu)制導(dǎo)策略(26)，并得到最終制導(dǎo)策略形式(32)；最后，采用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明了權(quán)值誤差一致最終有界和閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定。

4 仿真校驗(yàn)

在本節(jié)中，考慮了導(dǎo)彈和目標(biāo)的自動(dòng)駕駛儀的一階動(dòng)力學(xué)來驗(yàn)證所提出的方法的性能。設(shè)導(dǎo)彈與目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程分別為

(43)

式中：(,)和(,)分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)在慣性參考坐標(biāo)系下的位置坐標(biāo)，和分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的法向加速度，==01為導(dǎo)彈和目標(biāo)的自動(dòng)駕駛儀的時(shí)間常數(shù)。本文假設(shè)導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度是常值，即=600 m/s和=400 m/s，它們初始的彈道傾角分別是=35°、=70°，初始的位置坐標(biāo)分別是(,)=(0,0)、(,)=(2500,0)。

本章節(jié)對(duì)比方法采用比例制導(dǎo)律，并對(duì)天線罩誤差采用視線角速率與天線罩誤差聯(lián)合估計(jì)的擴(kuò)展卡爾曼濾波器(Extended kalman filter, EKF)進(jìn)行估計(jì)，最后補(bǔ)償?shù)揭暰€角中。比例制導(dǎo)律的導(dǎo)航比為3，視線角速率與天線罩誤差聯(lián)合估計(jì)的EKF濾波器中的參數(shù)：狀態(tài)估計(jì)方差陣的初值為()=diag(01,0001)，估量測(cè)噪聲方差取為()=0015，動(dòng)態(tài)噪聲方差陣為()=diag(0,07)。加入的天線罩誤差形式為Δ=005sin()。

4.1 ADPG的實(shí)時(shí)性校驗(yàn)

為了保證在彈載計(jì)算資源條件下，基于ADP的制導(dǎo)策略的計(jì)算效率能滿足實(shí)時(shí)性要求，對(duì)ADPG進(jìn)行實(shí)時(shí)性校驗(yàn)。校驗(yàn)方式為在導(dǎo)彈的制導(dǎo)系統(tǒng)中，跟蹤系統(tǒng)狀態(tài)量常值階躍響應(yīng)=[0,0]，對(duì)ADPG的收斂時(shí)間進(jìn)行校驗(yàn)。本文提出ADPG的收斂時(shí)間在0.1 s以內(nèi)，也就意味著在線得到最優(yōu)權(quán)值的時(shí)間在0.1 s以內(nèi)，從而可以滿足實(shí)時(shí)性要求，進(jìn)行在線計(jì)算最優(yōu)權(quán)值。

4.2 天線罩誤差下攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)對(duì)比仿真

導(dǎo)彈在天線罩誤差下，分別采用比例制導(dǎo)律方法(Proportional navigation guidance, PNG)、比例制導(dǎo)律結(jié)合EKF濾波器方法(PNG+EKF)和本文提出的ADPG來攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)，目標(biāo)機(jī)動(dòng)形式為=5sin()(=98 m/s)。導(dǎo)彈攔截目標(biāo)的脫靶量如表1所示，攔截軌跡如圖3所示?？梢钥闯?，只有ADPG方法可以實(shí)現(xiàn)攔截，其它兩種方法都無法成功攔截目標(biāo)。這是因?yàn)樘炀€罩誤差下PNG+EKF方法針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)無法做到準(zhǔn)確估計(jì)和補(bǔ)償，濾波器產(chǎn)生了較大的誤差。

表1 攔截脫靶量Table 1 Interception miss distance

圖3 攔截軌跡圖Fig.3 Interception trajectories

圖4 評(píng)價(jià)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值變化曲線Fig.4 Curves of critic network weights

在攔截過程中，三種方法的兩種導(dǎo)彈攔截指標(biāo)變化如圖5所示。圖5(a)中反映了導(dǎo)彈視線角速率的變化，可以看出，由于目標(biāo)機(jī)動(dòng)，天線罩誤差下PNG+EKF方法無法收斂，而ADPG方法可以保證導(dǎo)彈視線角速率收斂。圖5(b)中反映了導(dǎo)彈法向加速度的變化，可以看出，天線罩誤差下PNG+EKF方法的法向加速度比ADPG方法要大。ADPG方法不僅能消除天線罩誤差還實(shí)現(xiàn)了最優(yōu)控制，而且保證了控制能量最小。

圖5 攔截指標(biāo)變化曲線Fig.5 Curves of interception indicators

4.3 ADPG的魯棒性校驗(yàn)

為校驗(yàn)本文所提出的ADPG制導(dǎo)策略的制導(dǎo)精度及魯棒性，進(jìn)行蒙特卡洛打靶仿真校驗(yàn)。在上一節(jié)天線罩誤差下攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)的場(chǎng)景下，仿真制導(dǎo)模型和策略參數(shù)不改變，采用蒙特卡洛法進(jìn)行500次打靶仿真。蒙特卡洛打靶仿真考慮的隨機(jī)影響條件如下：

(1)仿真中目標(biāo)的仿真參數(shù)不變，導(dǎo)彈的初始彈道傾角設(shè)定范圍為=0°～60°。

(2)仿真中加入的天線罩誤差設(shè)定范圍為Δ=(005±005)sin()。

經(jīng)過蒙特卡洛打靶仿真，導(dǎo)彈攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截脫靶量散布如圖6所示。設(shè)定攔截脫靶量小于1 m為攔截成功，圖中可以看出，攔截失敗的次數(shù)為7，攔截成功率為98.6%。再對(duì)500次攔截脫靶量的結(jié)果求取平均脫靶量為0.23 m，說明提出的ADPG方法攔截成功率和攔截精度均較高。因此，ADPG方法在天線罩誤差下是一種可行的高攔截性能的制導(dǎo)策略。

圖6 攔截脫靶量散布Fig.6 Interception miss distance scattering

5 結(jié) 論

本文針對(duì)導(dǎo)彈導(dǎo)引頭存在的天線罩誤差，提出了一種基于自適應(yīng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的制導(dǎo)策略。不同于傳統(tǒng)處理天線罩誤差的估計(jì)與補(bǔ)償方式，ADPG既可以消除天線罩誤差和目標(biāo)機(jī)動(dòng)影響，又可以保證控制能量最優(yōu)。通過天線罩誤差下導(dǎo)彈攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)的數(shù)學(xué)仿真，可以發(fā)現(xiàn)PNG+EKF方法會(huì)產(chǎn)生估計(jì)誤差導(dǎo)致攔截失敗，而ADPG方法具有較好的攔截效果且控制能量更小，驗(yàn)證了其有效性和最優(yōu)性。進(jìn)一步通過蒙特卡洛打靶仿真驗(yàn)證了ADPG方法具有較強(qiáng)的魯棒性。