張 揚，祁 瑞，姚傅禎

(北京理工大學宇航學院，北京 100081)

0 引 言

隨著航天活動的不斷進行，地球周圍已經(jīng)積累了大量空間碎片，這其中不乏以失效衛(wèi)星為代表的大型碎片。這類碎片碰撞風險高，碰撞危害大，并且在短時間內(nèi)難以自然銷毀，時刻威脅著在軌航天器的運行。為應對愈發(fā)頻繁的衛(wèi)星發(fā)射活動，必須盡快開展針對失效衛(wèi)星的主動清除工作。

在眾多主動清除技術中，用系繩拖曳的方法得益于系繩質量輕、柔性強、作用距離遠等優(yōu)勢，是目前最有希望的清除手段之一。因此，許多學者對繩系衛(wèi)星系統(tǒng)(Tethered satellite system, TSS)的動力學特性與控制進行了研究。但對TSS的研究通常考慮單一系繩通過魚叉、機械臂等剛性連接裝置直接固連在碎片上，這可能并不適用于實際的清除情景。一方面，失效衛(wèi)星往往會自旋，剛性連接裝置難以直接附著，甚至可能碰撞出新的碎片。另一方面，失效衛(wèi)星上一般還保留著完整的、展開的柔性附件，即使附著成功，單根系繩也難以應對拖曳過程中可能產(chǎn)生的附件振動斷裂。面對這些實際中可能遇到的問題，一個較好的辦法是將系繩末端的剛性連接裝置換為柔性繩網(wǎng)。用繩網(wǎng)將失效衛(wèi)星整個包裹起來，既能忽視自旋對捕獲帶來的影響，又能避免振動可能產(chǎn)生的二次碎片污染，同時還保留了系繩材料本身的優(yōu)勢，非常適用于失效衛(wèi)星的拖曳清除情景。因此我們將系繩末端連接柔性飛網(wǎng)的TSS單獨劃分出來，并將其稱為繩網(wǎng)組合衛(wèi)星系統(tǒng)(Tethered-net satellite system, TNSS),如圖1所示。

圖1 TSS與TNSS示意圖Fig.1 Schematic diagram of TSS and TNSS

為保證拖曳過程的安全可靠，系統(tǒng)的姿態(tài)穩(wěn)定控制與振動抑制至關重要。盡管目前已經(jīng)有許多研究從不同角度提出了基于TSS模型的拖曳控制方法，包括：調節(jié)拖船推力、調整拖船姿態(tài)、調節(jié)系繩張力、移動附著點位置、綜合多種手段協(xié)同控制等。但精細繩網(wǎng)的加入增加了控制難度，使得這些方法并不能直接適用于TNSS模型。繩網(wǎng)增加了系統(tǒng)的柔性和復雜程度，使其更容易產(chǎn)生振動也更難受控。并且，基于單繩拖曳模型的控制研究大多不考慮碎片上的柔性附件，這意味著忽略了柔性附件與柔性繩網(wǎng)之間相互作用對控制帶來的影響，可能導致理論控制效果與實際情況相差甚遠。所以，目前基于TNSS模型的大多數(shù)研究主要還是聚焦于捕獲階段飛網(wǎng)的發(fā)射部署和拖曳階段系統(tǒng)的動力學分析，少有拖曳階段的穩(wěn)定控制研究。盧山等基于TNSS模型設計了恒張力控制律，實現(xiàn)了對目標章動和系繩擺動的有效抑制，但所設計控制律需要配合張力切換機構，并且沒能對目標柔性附件的振動進行控制。因此，我們希望在保留繩網(wǎng)清除技術成本優(yōu)勢的前提下，設計一種更加簡便、高效的控制方法。

通過調研發(fā)現(xiàn)，面對一個像TNSS這樣欠驅動、剛柔耦合且僅有單一執(zhí)行器的系統(tǒng)，O’Connor所提出的基于波動的控制方法(Wave-based control, WBC)效果顯著，并已成功實現(xiàn)了對TSS拖曳過程的變軌穩(wěn)定控制、碎片消旋控制和碎片殘余液體晃動抑制。這些研究不僅體現(xiàn)出波動控制具有控制形式簡單、計算量小、控制魯棒性強等優(yōu)點，最為重要的是，它們的成功說明波動控制具有不依賴系統(tǒng)動力學模型精細程度的特性。而動力學模型的精細程度正是TNSS模型與傳統(tǒng)TSS模型在控制方法研究中最主要的區(qū)別。因此，我們希望運用波動控制的思路，針對帶有柔性太陽帆板失效衛(wèi)星的繩網(wǎng)拖曳過程，設計一種波動控制方法來實現(xiàn)失效衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定及其帆板振動抑制。

現(xiàn)有的文獻中還沒有考慮過失效衛(wèi)星繩系拖曳中的帆板振動抑制問題，本文則首次開展了基于波動控制方法的目標姿態(tài)穩(wěn)定控制和帆板振動抑制研究。這是本文的核心創(chuàng)新點。

文章第1節(jié)提出了一種主繩上分布質量珠點的“單主繩-多分叉子繩”簡化TNSS動力學模型。第2節(jié)介紹了波動控制的思想并詳細說明了控制律設計過程。第3節(jié)通過數(shù)值仿真驗證了控制律的有效性。最后在第4節(jié)給出結論。

1 基于Kane方法的動力學模型

以帶有柔性帆板的失效衛(wèi)星為目標碎片，TNSS動力學模型由拖船、繩網(wǎng)和失效衛(wèi)星三部分組成。為提高解算效率，將拖船和失效衛(wèi)星的平臺簡化為立方剛體，衛(wèi)星平臺兩側連接厚度不計的柔性帆板。同時，采用“單主繩-多分叉子繩”的繩系結構來簡化繩網(wǎng)，其中的“單主繩”對應拖船系繩，“多分叉子繩”對應繩網(wǎng)中實際承力的部分，如圖2所示。為了盡可能真實地體現(xiàn)出碎片被繩網(wǎng)包裹的效果，仿真時子繩連接點的數(shù)量和位置可以任意設置。

圖2 繩系拖曳系統(tǒng)及其坐標系示意圖Fig.2 Schematic diagram of tether towing system and its coordinate system

使用Kane方法對簡化后的TNSS進行動力學建模，最終可以將系統(tǒng)動力學模型統(tǒng)一為一組Kane方程，即

(1)

文獻[32]中僅對繩網(wǎng)拖曳系統(tǒng)的動力學特性進行了分析，并未考慮控制問題。在下一節(jié)中將重點闡述控制方案的設計過程。

2 波動控制方案設計

2.1 波動控制思想簡介

位置或速度的改變，是對運動最直觀的認識。但如果跳出這一思維定勢，從波的角度去分析運動，便能得到一種新的控制思想，即“波動控制”的思想。所謂“波動”，是將可觀察的“運動”視為兩列“機械波”的疊加效果。這里所說的運動指代廣泛，包括位移、速度或加速度等若干與運動相關的物理量。

為了便于理解，Cleary等曾借用一個具有執(zhí)行器的柔性系統(tǒng)來進行說明，如圖3所示。當執(zhí)行器主動向右移動時，彈簧彈力隨長度的變化而改變，就像是一列“力波”沿著彈簧從執(zhí)行器向柔性系統(tǒng)前進。將這種力波稱為入射波，與位置和時間有關，記為(,)。入射波到達下一個質量塊時，如果該質量塊還連有其他彈簧，那么這些彈簧也將被拉伸而產(chǎn)生彈力，由此產(chǎn)生新的入射波繼續(xù)向前傳遞。但如果質量塊位于系統(tǒng)邊緣，質量塊不受約束的位移將逐漸使彈簧縮短，于是類似的彈力變化也可以視為一種力波往回傳遞。將從柔性系統(tǒng)邊緣向執(zhí)行器回傳的、與入射波效果相反的力波稱為返回波，記作(,)。入射波與返回波共同構成了所觀測到的彈簧彈力，這便是把運動理解為兩列波的疊加的原因。同樣，執(zhí)行器的實際位移也包含了執(zhí)行器的主動位移和返回波所引起的位移。返回波對執(zhí)行器位置的擾動又將引發(fā)新的入射波，最終不同的入射波和返回波將在系統(tǒng)中來回傳遞，造成了所觀測到的系統(tǒng)振動。

圖3 波動控制原理示意圖Fig.3 Schematic diagram of WBC

這樣的分析方法同樣適用于TNSS模型，因為如果將圖3的運動拓展到三維，便幾乎可以得到TNSS簡化動力學模型，如圖4所示。其中拖船對應執(zhí)行器，系繩對應與執(zhí)行器相連的彈簧，剩余部分對應柔性系統(tǒng)。二者的主要區(qū)別在于系繩會產(chǎn)生松弛現(xiàn)象，如果能設計控制方案保持系繩張緊，那么同樣能夠用上述波動思想對TNSS進行分析。

圖4 TNSS的波動控制及其臨時坐標系方向示意圖Fig.4 Schematic diagram of TNSS wave-based control and its temporary coordinate system direction

從直觀運動過程來看，希望拖船在拖曳過程中能夠不斷調整自身與失效衛(wèi)星之間的相對位置，從而改變其受力情況，以此削弱其旋轉角速度實現(xiàn)拖曳穩(wěn)定控制與振動抑制。但實現(xiàn)這一控制目標并不容易?？刂频闹饕y點在于拖船與柔性系統(tǒng)之間僅由一根尺度較長的系繩連接，拖船難以獲得準確的輸入信號，再加上柔性系統(tǒng)內(nèi)運動耦合情況復雜，一般的控制方法反而容易加劇系統(tǒng)的振動。而在波動控制的思想下，可以將這一復雜的振動抑制過程轉換為對系統(tǒng)中波的控制過程，執(zhí)行器容易通過系繩來接收返回波的信息，因此波動控制成為可能。

在這樣的想法下，希望所設計的控制系統(tǒng)能夠接收并處理返回波信息，再結合期望運動與執(zhí)行器實際運動，形成作用于執(zhí)行器的控制力。接下來將詳細推導控制律的設計過程及其參數(shù)配置。

需要說明的是，本文不考慮系繩的扭轉力矩，即不考慮對碎片滾轉運動的控制。因為在拖船的系繩連接處安裝萬向輪裝置即可避免繩系結構的扭曲纏繞。

2.2 橫向控制律設計

為了遵循波動方程的符號習慣，圖4中建立了一個用于推導波動控制律的臨時坐標系()，原點位于拖船質心，方向與拖船前進方向相反，方向沿地心指向方向，方向滿足右手定則。將拖船在方向和方向的運動統(tǒng)稱為橫向運動，在方向的運動稱為縱向運動，那么相應的控制就稱為橫向控制和縱向控制。

橫向控制通過調整拖船的橫向運動來改變各分叉子繩的張力，從而形成控制力矩以穩(wěn)定碎片姿態(tài)。橫向控制律的推導過程遵循以下假設：(1)推導過程中忽略系繩張力中的阻尼力；(2)從執(zhí)行器發(fā)出入射波到接受返回波的這段時間內(nèi)，系繩張力大小恒定；(3)拖曳控制過程中，拖船自身姿態(tài)保持穩(wěn)定，系繩的擺動幅度較小。

以方向為例，假設初始時刻失效衛(wèi)星具有偏航方向的旋轉，那么拖曳過程中系繩將產(chǎn)生方向的擺動。選取繩上靠近拖船連接點的某一位置(,)進行分析，系繩張力大小為。根據(jù)波動控制的思想，張力在方向的分量可視為兩列力波的疊加，即

(2)

同時，系繩的橫向擺動滿足橫波的一維波動方程，有

(3)

于是聯(lián)立式(2)和式(3)得到繩上該位置的方向速度為

(4)

式(4)表明波與運動速度存在關聯(lián)，因此聯(lián)立式(2)和式(4)，可以建立返回波關于速度和張力的表達式為

(5)

正如上一小節(jié)所說，在波動控制思想下，控制目標已經(jīng)轉換為了對波的控制，而式(5)將抽象的力波用可觀測的物理量表達了出來，這對控制律的設計而言意義非凡。在式(5)的基礎上，如果能夠找到期望的波的穩(wěn)態(tài)值，就能從理論上實現(xiàn)控制。

(6)

(7)

從物理意義的角度看，所設計的控制力像是一種阻尼力。設想在拖船附近方向上存在一個具有特定速度的虛擬質量體，如圖5所示。質量體與拖船通過阻尼器相連，兩者速度差所產(chǎn)生的阻尼力與所設計的控制力相同。這便是對這一時刻控制力的物理解釋。

圖5 所設計控制力的物理含義示意圖Fig.5 Schematic diagram of physical meaning of designed control force

容易發(fā)現(xiàn)，由于虛擬質量體的速度表達式中包含了系繩張力分量，因此在拖曳過程中，質量體的速度是不斷變化的。虛擬質量體的存在就像是一個提示器，例如，當拖船需要往方向正向移動來拉動碎片以抵消其自旋時，質量塊能夠通過速度變化來“提示”控制系統(tǒng)應當產(chǎn)生一個指向軸正方向的控制力。因此，只要失效衛(wèi)星存在轉動或振動，被拉動的繩網(wǎng)就會將返回波傳回拖船，進而控制系統(tǒng)產(chǎn)生相應控制力，以此穩(wěn)定失效衛(wèi)星的姿態(tài)。

(8)

2.3 縱向控制律設計

拖船在方向移動產(chǎn)生的控制稱為縱向控制。縱向控制主要解決兩個問題，一是避免系繩松弛，保證控制系統(tǒng)能及時接收到返回波信息，避免拖船與失效衛(wèi)星的碰撞。另一方面，要抑制帆板因拖曳而產(chǎn)生的振動，避免二次碎片污染。同樣選擇系繩上靠近拖船的位置，假設在某一較短時間內(nèi)移動的距離為，由于系繩擺動角度很小，所以系繩張力的縱向分量就是張力的大小。于是，縱向張力同樣可以表示為波的疊加，即

(9)

式中：是系繩的楊氏模量，是系繩截面積。

與橫向控制不同的是，穩(wěn)定后系繩保持拉緊的狀態(tài)，張力維持在非零穩(wěn)定值，即

(10)

類似地，縱向運動對應的波動方程變?yōu)橐痪S縱波方程，即

(11)

(12)

式中：是縱向波阻抗，滿足關系式=。

容易發(fā)現(xiàn)，縱向速度與橫向速度具有一致的表達形式，于是可以類比橫向控制力的推導，聯(lián)立式(9)和式(12)，得到一般時刻返回波表達式為

(13)

同理可得穩(wěn)定后的返回波表達式為

(14)

進而得到縱向控制力為

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與橫向控制類似，只要失效衛(wèi)星的帆板產(chǎn)生了振動，或是系繩逐漸趨于松弛，總有偏離穩(wěn)態(tài)值的返回波沿系繩傳到拖船連接點?？刂葡到y(tǒng)將根據(jù)式(15)產(chǎn)生相應控制力來調整拖船與失效衛(wèi)星的相對位置。最終在控制力的不斷作用下，連接點處接收到的返回波會被控制到穩(wěn)定值。而在返回波趨于穩(wěn)定的過程中，控制系統(tǒng)實現(xiàn)了對柔性帆板的振動抑制。

至此，詳細說明了控制律的設計過程，并由式(7)、式(8)和式(15)給出了拖船三通道的控制力表達式。需要說明的是，控制系數(shù)可根據(jù)實際系統(tǒng)的情況選取，波阻抗的定義也只是一種參考值，可以稍微調整。根據(jù)不同的捕獲目標以及拖曳情況，選擇合適參數(shù)組合能夠使得系統(tǒng)更快達到穩(wěn)定狀態(tài)。

3 仿真校驗

基于所提出的TNSS簡化動力學模型，通過數(shù)值仿真來驗證控制理論的實際效果。在仿真中，質量為2500 kg的拖船在橢圓軌道上運行，軌道半長軸42164 km，偏心率0.008，軌道傾角7°，升交點赤經(jīng)50°，近地點幅角230°，真近點角170°。質量為1800 kg的失效航天器與拖船相距80 m，中心剛體棱長4 m，單塊帆板長6.7 m，寬2.4 m。每塊帆板的頂角處連接2根子繩，中心剛體上連接4根子繩，具體位置如圖2所示。其他系統(tǒng)仿真參數(shù)：推力、拖船與中心剛體的轉動慣量矩陣和、帆板振動前三階模態(tài)頻率、帆板振動模態(tài)阻尼比和系繩阻尼系數(shù)詳見表1。不考慮滾轉方向的自旋，設定初始時刻失效衛(wèi)星在偏航和俯仰方向均有10 (°)/s的旋轉速度。施加波動控制時，單通道控制力大小限定在50 N以內(nèi)。

表1 系統(tǒng)仿真參數(shù)Table 1 System simulation parameters

圖6給出了失效衛(wèi)星的角速度變化情況。從無控拖曳時失效衛(wèi)星的角速度變化可以看出，所建立的多子繩簡化結構體現(xiàn)出了真實繩網(wǎng)的旋轉阻尼特性。在繩網(wǎng)的包裹下，即使不施加額外的主動控制，兩個方向的角速度也將隨著拖曳的進行而逐漸減緩。但是，這種旋轉阻尼特性是極其有限且緩慢的。以該仿真為例，當拖曳進行至2000 s時，失效衛(wèi)星的角速度峰值也僅僅略小于其初始時刻的角速度。而在實際清除任務中，目標碎片長時間姿態(tài)不穩(wěn)定容易引發(fā)繩網(wǎng)纏繞、系繩松弛、柔性附件斷裂等狀況，危及拖曳系統(tǒng)安全。因此需要通過主動控制來加速目標姿態(tài)穩(wěn)定過程，確保清除任務的順利開展。

圖6 失效衛(wèi)星角速度變化情況Fig.6 Evolution of angular velocity of defunct satellite

在波動控制力的作用下，拖船不斷調整位置以改變子繩張力分配，形成對失效衛(wèi)星的控制力矩來削弱其角速度，所以兩個方向的自旋角速度能夠快速收斂并趨近于零。從圖6中還能發(fā)現(xiàn)，偏航方向的角速度能被更快地控制住，這是由于柔性帆板形狀細長，拖船在其長邊方向的移動能夠對失效衛(wèi)星產(chǎn)生更大的控制力矩，因此控制效果更好。這一結論也從側面驗證了所設計的波動控制方法穩(wěn)定碎片姿態(tài)的原理，表明了控制的可行性。

不僅是姿態(tài)擾動，帆板振動也會產(chǎn)生偏離穩(wěn)態(tài)值的返回波。換句話說，返回波中包含姿態(tài)擾動信息和振動擾動信息。而所設計的控制力是根據(jù)接收到的返回波而變化的，因此理論上波動控制能夠在穩(wěn)定失效衛(wèi)星姿態(tài)的同時實現(xiàn)對帆板振動的抑制。我們沿左側帆板的長邊方向，選取了3個不同位置處的帆板微元，給出它們在本體系下前進方向的位移，以此來刻畫帆板振動情況，如圖7所示。

圖7 左側帆板振動情況Fig.7 Evolution of vibration of the left solar panel

顯然，如果不進行主動控制，柔性帆板將在拖曳過程中持續(xù)振動，圖7(a)的仿真結果驗證了這一點。彈性位移量最大的微元位于帆板上遠離中心剛體的一端，位移峰值大約在0.5～1.0 m，振動周期從1.6～16 s不等，振動情況非常復雜。對于一塊長度6.7 m的柔性帆板而言，這樣的形變雖不至于將其直接折斷，但如果長時間保持這樣幅度和頻率的振動，很容易使帆板材料疲勞而產(chǎn)生斷裂。從這個角度看，施加主動控制來抑制拖曳過程中柔性帆板的振動是必不可少的。圖7(b)給出了加入波動控制后各微元的彈性位移情況：各點僅在開始的短時間內(nèi)有一定位移，而到大約600 s時各點的位置便已趨于穩(wěn)定。這意味著在波動控制的作用下，帆板能夠快速穩(wěn)定至某一形變位置，隨后在拖曳過程中便不再振動，說明控制是非常有效的。

對比之前復雜的振動情況，這樣的變化成效顯著，不僅在于振動抑制效果良好，更是因為這一切都是和姿態(tài)穩(wěn)定控制同時完成的。實際上，這是橫向、縱向波動控制律共同作用的結果。由于子繩附著在柔性帆板上，姿態(tài)的不穩(wěn)定必然會引起帆板的振動，于是本文提出橫向控制律穩(wěn)定碎片姿態(tài)，為振動抑制創(chuàng)造了前提。進一步地，如果僅穩(wěn)定碎片姿態(tài)，拖曳系統(tǒng)也能以類似“悠悠球”的狀態(tài)相互拉扯著前進，這同樣會引起帆板振動，于是設計縱向控制律以穩(wěn)定拖船和碎片的相對運動，使振動抑制得以完善。巧妙的是，這兩部分控制律設計都統(tǒng)一于基于波動的控制思想，并且控制系統(tǒng)僅需要觀測拖船直接接收到的返回波信息來生成控制力，這便是所設計控制方法的優(yōu)勢所在。

最后，給出了系繩張力的變化情況，如圖8所示?？梢钥闯觯尤氩▌涌刂坪笙道K并未產(chǎn)生松弛的現(xiàn)象，一方面避免了拖曳過程中失效衛(wèi)星與拖船的碰撞，另一方面也確保了拖船能夠完整地接收到系統(tǒng)傳來的返回波信息，讓控制系統(tǒng)正常工作。

圖8 系繩張力變化情況Fig.8 Evolution of the tether tension

至此，通過數(shù)值仿真驗證了所設計的波動控制方法能夠同時實現(xiàn)對失效衛(wèi)星的拖曳姿態(tài)穩(wěn)定以及對其柔性帆板的振動抑制，并且控制效果非常好。

在能夠取得良好控制效果的前提下，相較于其他拖曳穩(wěn)定控制的研究，本文所設計的波動控制方法優(yōu)勢顯著，體現(xiàn)在：(1)拖船僅通過微調與目標的相對位置，即可同時進行橫向和縱向的控制，用一次控制實現(xiàn)兩個目標；(2)不需要額外的系繩收放裝置或張力控制裝置，利于工程實現(xiàn)；(3)首次考慮失效衛(wèi)星繩網(wǎng)拖曳中的帆板振動抑制問題。

4 結 論

本文以帶有完整展開柔性帆板且具有一定自旋速度的失效衛(wèi)星為目標，針對失效衛(wèi)星的繩網(wǎng)系統(tǒng)拖曳清除場景，基于波動控制的思想提出了一種控制方法，并詳細闡述了控制方法的推導設計過程。面對復雜的、剛柔耦合的繩網(wǎng)組合衛(wèi)星系統(tǒng)動力學模型，盡管所設計的控制方法形式簡單，但數(shù)值仿真證明其控制效果良好，同時實現(xiàn)了拖曳過程中目標碎片的姿態(tài)穩(wěn)定以及對柔性帆板的振動抑制。