馬菁菁，繆 楠，許曉暉

(1. 山西省委機關(guān)幼兒園，山西太原，030001；2. 北京市大興區(qū)第二幼兒園，北京，102600；

3. 首都師范大學(xué)學(xué)前教育學(xué)院，北京，100038)

一、問題提出

基數(shù)與序數(shù)是學(xué)前兒童數(shù)概念的重要組成部分?；鶖?shù)是表示集合中元素個數(shù)的數(shù)，回答“多少”的問題。理解基數(shù)概念是兒童理解數(shù)量關(guān)系及數(shù)運算的首要基礎(chǔ)。序數(shù)是表示集合中元素排列次序的數(shù)，用來確定在一個序列中的位置，回答“第幾”的問題。[1]基數(shù)與序數(shù)是兒童建立數(shù)感的重要內(nèi)容，兒童通過認識基數(shù)與序數(shù)能夠更好地了解數(shù)字在生活中的不同用處，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。

相關(guān)研究顯示，兒童在3歲半到4歲之間形成基數(shù)概念，但該時期兒童基本不能理解序數(shù)的意義。[2]多名學(xué)者對兒童數(shù)感發(fā)展進行研究，結(jié)果均顯示，4—5歲兒童對基數(shù)和序數(shù)的認知均處于快速發(fā)展階段。[3-6]大多數(shù)4歲兒童能通過逐一點數(shù)說出物體總數(shù)。[3]而在序數(shù)任務(wù)中，有69%的4—5歲兒童能在排成一排的10個物體中指認出第5個和第9個物體，但仍有近三分之一的兒童尚未完全掌握10以內(nèi)物體的位置順序。[6]直到6歲左右，絕大部分兒童能夠比較好地掌握基數(shù)與序數(shù)的概念。[6-7]

上述研究表明，兒童的基數(shù)概念通常先于序數(shù)概念而產(chǎn)生，因為兒童對序數(shù)的理解包含基數(shù)和次序兩個方面。國外研究也驗證了這一結(jié)論。Wiese發(fā)現(xiàn)，兒童最初使用的計數(shù)工具是自己的手指，通過固定順序的手指計數(shù)，兒童開始理解數(shù)序，并了解到對于一個給定的基數(shù)，點數(shù)到最后的數(shù)字始終是相同的，這個數(shù)字表示集合中物體的總數(shù)。此外，兒童開始認識到數(shù)字在數(shù)序中的位置與集合中的物體位置之間的聯(lián)系，自此，兒童能夠?qū)W習(xí)使用序數(shù)表示物體等級。[8]

目前，研究者對兒童數(shù)概念方面的研究大多采用不同的測查內(nèi)容，分別考查各年齡段兒童基數(shù)與序數(shù)概念的掌握情況?；鶖?shù)考查內(nèi)容以說出總數(shù)、按數(shù)取物、比多少為主；序數(shù)考查內(nèi)容以講出序數(shù)、序數(shù)指認、序數(shù)放置為主。[3]對于研究結(jié)果，我國研究者多分析基數(shù)或序數(shù)能力發(fā)展的年齡差異，以及基數(shù)或序數(shù)維度下不同測查內(nèi)容的得分差異，從而描述兒童在不同年齡段數(shù)概念的發(fā)展水平，較少有將基數(shù)或序數(shù)放在同一任務(wù)范式中進行考查的研究。Colomé等人設(shè)計了能夠同時考查兒童基數(shù)與序數(shù)能力的任務(wù)范式，采用答案提取情境、數(shù)量大小情境、不同方向情境測查并比較了40名3—5歲比利時兒童基數(shù)與序數(shù)能力的發(fā)展，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，兒童對基數(shù)概念的掌握優(yōu)于序數(shù)概念，且隨年齡的增長對基數(shù)與序數(shù)概念的理解均顯著提高。[9]Colomé等人更加嚴謹?shù)匮芯坎⒈容^了兒童基數(shù)與序數(shù)能力的發(fā)展。因此，本研究擬借鑒Colomé等人的研究方法，采用同一任務(wù)范式及更加豐富的情境，具體包括不同答案提取情境、不同數(shù)量情境、不同方向情境，深入比較4—5歲兒童基數(shù)與序數(shù)概念的發(fā)展。研究結(jié)果不僅有助于豐富關(guān)于4—5歲兒童基數(shù)與序數(shù)概念發(fā)展的相關(guān)理論，同時可為我國4—5歲兒童基數(shù)與序數(shù)教育提供實證支持。以此為基礎(chǔ)，筆者嘗試提出了具有操作性的教育建議。

二、研究方法

(一)被試

本研究隨機選取北京市一所幼兒園，在該園整班選取中班兒童30名作為研究對象，他們的年齡在4—5歲之間，男生15名，女生15名。

(二)實驗方法與任務(wù)

本研究采用個別測查法考查兒童基數(shù)與序數(shù)能力的發(fā)展水平。測查內(nèi)容包括基數(shù)和序數(shù)兩類任務(wù)，每類任務(wù)下包括不同答案提取、不同方向、不同數(shù)量大小三個情境。每類任務(wù)包括2個練習(xí)和16個問題，每個問題答對記1分，答錯計0分。每類任務(wù)的計分范圍為0—16分，每類情境在每類任務(wù)中的計分范圍為0—16分，其中，每個情境的計分范圍為0—8分(如方向情境中的左情境或右情境)。一半兒童先進行基數(shù)任務(wù)，另一半兒童先進行序數(shù)任務(wù)。

不同答案提取情境包含“告訴我”“給我”兩個方面。基數(shù)或序數(shù)任務(wù)中各包含8個“告訴我”情境問題和8個“給我”情境問題。在基數(shù)任務(wù)“告訴我”情境中，主試向兒童呈現(xiàn)停在交通燈前一排汽車的圖片。主試詢問兒童：“請告訴我有多少輛汽車在等待前面的交通燈？”在基數(shù)任務(wù)“給我”情境中，主試在玩具托盤上呈現(xiàn)一條公路，公路上放置玩具汽車和紅綠燈，主試面前放一個小車庫。主試告知兒童：“這是我的車庫。請把X輛車放到我的車庫里，當你做完時就告訴我?！痹谛驍?shù)任務(wù)“告訴我”情境中，主試向兒童呈現(xiàn)7輛汽車的圖片，其中一輛黃色的車位于車列中不同位置。主試詢問兒童：“看黃色的車，請告訴我它在隊列中的什么位置？”。在序數(shù)任務(wù)“給我”情境中，主試讓兒童取出第X輛車放入車庫。主試指令如下：“這里是我的車庫。請把第X輛車放到我的車庫里，當你做完時告訴我?！?/p>

不同方向情境包含左、右兩個方向?；鶖?shù)或序數(shù)任務(wù)中各包含8個“交通燈在左”情境的問題和8個“交通燈在右”情境的問題。測查中，主試始終將兒童的注意力吸引到面向交通燈的方向。交通燈方向改變的設(shè)計考查了兒童是否能正確認知序數(shù)。只有認識到序數(shù)大小會根據(jù)方向變化而改變，兒童才能夠做出正確判斷。

不同數(shù)量情境包含小的數(shù)(3、4)和大的數(shù)(6、7)兩種?；鶖?shù)或序數(shù)任務(wù)中各包含8個“大的數(shù)”情境問題和8個“小的數(shù)”情境問題。在基數(shù)任務(wù)中，停在交通燈前的汽車為3輛、4輛時是小的數(shù)情境；停在交通燈前的車輛為6輛、7輛時是大的數(shù)情境。在序數(shù)任務(wù)中，黃色的車位于第3個、第4個時是小的數(shù)情境；位于第6個、第7個時是大的數(shù)情境。

三、研究結(jié)果

(一)4—5歲兒童基數(shù)與序數(shù)能力的整體發(fā)展水平

采用重復(fù)測量方差分析4—5歲兒童基數(shù)與序數(shù)的總分差異。結(jié)果顯示，4—5歲兒童基數(shù)與序數(shù)認知發(fā)展存在顯著差異，F(xiàn)(1，29)=37.67，p<0.001，基數(shù)得分顯著高于序數(shù)得分。具體結(jié)果如表1所示。

表1 4—5歲兒童基數(shù)與序數(shù)總分的比較

(二)不同答案提取情境下4—5歲兒童基數(shù)與序數(shù)能力的比較

采用兩因素重復(fù)測量方差分析不同答案提取情境下4—5歲兒童基數(shù)與序數(shù)得分的差異，結(jié)果顯示，答案提取的主效應(yīng)顯著，F(xiàn)(1，29)=19.98，p<0.001，即“告訴我”任務(wù)得分顯著高于“給我”任務(wù)得分。

答案提取情境與任務(wù)類型存在顯著的交互作用，F(xiàn)(1，29)=7.34，p<0.05。進一步事后檢驗表明，在基數(shù)任務(wù)上不同答案提取情境的得分沒有顯著差異，F(xiàn)(1，29)=4.15，p>0.05。在序數(shù)任務(wù)上不同答案提取情境的得分存在顯著差異，F(xiàn)(1，29)=15.85，p<0.001?！靶驍?shù)告訴我”得分顯著高于“序數(shù)給我”得分，F(xiàn)(1，29)=15.85，p<0.001。在“告訴我”情境下，兒童的基數(shù)與序數(shù)任務(wù)得分存在顯著差異，“基數(shù)告訴我”得分顯著高于“序數(shù)告訴我”得分，F(xiàn)(1，29)=11.31，p<0.01。在“給我”情境下，兒童的基數(shù)與序數(shù)得分存在顯著差異，“基數(shù)給我”得分顯著高于“序數(shù)給我”得分，F(xiàn)(1，29)=35.91，p<0.001。具體如表2所示。

(三)不同數(shù)量大小情境下4—5歲兒童基數(shù)與序數(shù)能力的比較

采用兩因素重復(fù)測量方差分析不同數(shù)量大小情境下4—5歲兒童基數(shù)與序數(shù)任務(wù)的得分，結(jié)果顯示，數(shù)量大小的主效應(yīng)顯著，F(xiàn)(1，29)=18.54，p<0.001。小的數(shù)情境的任務(wù)得分顯著高于大的數(shù)情境的任務(wù)得分。

數(shù)量大小與任務(wù)類型存在顯著的交互作用，F(xiàn)(1，29)=10.61，p<0.01。進一步事后檢驗表明，在基數(shù)任務(wù)上，大的數(shù)情境和小的數(shù)情境任務(wù)得分存在顯著差異，F(xiàn)(1，29)=4.62，p<0.05，“基數(shù)小的數(shù)”任務(wù)得分顯著高于“基數(shù)大的數(shù)”任務(wù)得分。在序數(shù)任務(wù)上，大的數(shù)情境和小的數(shù)情境任務(wù)得分存在顯著差異，F(xiàn)(1，29)=20.46，p<0.001?！靶驍?shù)小的數(shù)”任務(wù)得分顯著高于“序數(shù)大的數(shù)”任務(wù)得分。在小的數(shù)情境下，基數(shù)與序數(shù)任務(wù)得分存在顯著差異，“基數(shù)小的數(shù)”任務(wù)得分顯著高于“序數(shù)小的數(shù)”任務(wù)得分，F(xiàn)(1，29)=20.58，p<0.001。在大的數(shù)情境下，兒童的基數(shù)、序數(shù)得分存在顯著差異，“基數(shù)大的數(shù)”任務(wù)得分顯著高于“序數(shù)大的數(shù)”任務(wù)得分，F(xiàn)(1，29)=39.63，p<0.001。具體結(jié)果見表2。

(四)不同方向情境下4—5歲兒童基數(shù)與序數(shù)能力的比較

采用兩因素重復(fù)測量方差分析不同方向情境下兒童基數(shù)與序數(shù)任務(wù)的得分，結(jié)果顯示，方向的主效應(yīng)不顯著，F(xiàn)(1，29)=0.01，p>0.05，不同方向任務(wù)得分沒有顯著差異。方向與任務(wù)類型不存在顯著的交互作用，F(xiàn)(1，29)=1.07，p>0.05，無論是在何種方向情境下，基數(shù)任務(wù)得分均顯著高于序數(shù)任務(wù)得分。具體結(jié)果見表2。

表2 4—5歲兒童在不同情境下基數(shù)與序數(shù)任務(wù)的得分 M(SD)

四、討論

(一) 4—5歲兒童的基數(shù)能力發(fā)展顯著好于序數(shù)能力

本研究采用相同任務(wù)范式不同任務(wù)情境比較了4—5歲兒童基數(shù)與序數(shù)能力的發(fā)展。結(jié)果顯示，4—5歲兒童基數(shù)能力發(fā)展顯著優(yōu)于、早于序數(shù)能力發(fā)展，此結(jié)果不受答案提取情境、數(shù)量大小情境和方向情境的影響。本研究結(jié)果與已有研究結(jié)果一致，說明基數(shù)概念是學(xué)習(xí)序數(shù)的基礎(chǔ)，兒童未建立某數(shù)字的基數(shù)概念時，無法建立該數(shù)字的序數(shù)概念，兒童未建立穩(wěn)定的基數(shù)概念時，則易將基數(shù)與序數(shù)概念混淆。本研究通過豐富的任務(wù)情境證實兒童的基數(shù)概念先于序數(shù)概念發(fā)展。

(二)不同答案提取對4—5歲兒童的序數(shù)能力具有影響

本研究通過比較發(fā)現(xiàn)，不同答案提取情境對基數(shù)和序數(shù)任務(wù)得分存在不同影響，在基數(shù)任務(wù)中，兒童“告訴我”“給我”情境中的得分沒有顯著差異，但在序數(shù)任務(wù)中，相比“給我”問題，兒童能夠更好地解決“告訴我”的問題，這說明兒童說出指定物體位置的能力優(yōu)于按照規(guī)定位置取物的能力。原因可能在于后者更考查兒童對序數(shù)概念的實際應(yīng)用能力，因此需要兒童對序數(shù)概念的把握更加準確。

(三)不同數(shù)量大小對4—5歲兒童的基數(shù)與序數(shù)能力均有影響

本研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)量大小對兒童基數(shù)與序數(shù)能力發(fā)展均有顯著影響，但顯著程度存在差異，這與此前的研究結(jié)果基本一致。兒童在小的數(shù)情境中基數(shù)與序數(shù)的表現(xiàn)均顯著優(yōu)于大的數(shù)情境中基數(shù)與序數(shù)的表現(xiàn)。這說明兒童處理大的數(shù)問題的能力相對較弱，特別是在處理5以上的序數(shù)問題時，會遇到更大的困難。這與兒童計數(shù)能力的發(fā)展密切相關(guān)，已有研究證實，兒童擁有“感數(shù)”能力，即能夠通過視覺迅速而準確地識別小的數(shù)量集合(5以下)的數(shù)目。[10]因此，兒童總是先掌握較小的數(shù)字后掌握較大的數(shù)字[3]，表現(xiàn)為兒童處理大的數(shù)問題比處理小的數(shù)問題更困難。此外，“序數(shù)小的數(shù)”與“序數(shù)大的數(shù)”得分差異比基數(shù)任務(wù)中的差異更明顯，這反映了兒童序數(shù)能力發(fā)展要以基數(shù)能力為基礎(chǔ)這一發(fā)展規(guī)律。因此，兒童在基數(shù)任務(wù)中比在序數(shù)任務(wù)中能更好地處理不同數(shù)量大小的問題。

(四)不同方向?qū)和幕鶖?shù)與序數(shù)能力的影響不大

本研究發(fā)現(xiàn)，方向?qū)?—5歲兒童基數(shù)與序數(shù)能力的得分沒有顯著影響。無論是在基數(shù)還是序數(shù)任務(wù)中，交通燈在左、在右情境的得分都沒有明顯差別。由于順序無關(guān)原則的存在，基數(shù)任務(wù)的得分不存在方向差異，符合研究假設(shè)，同時也由于4—5歲兒童已熟練掌握10以內(nèi)的基數(shù)，因此，方向?qū)τ變旱幕鶖?shù)反應(yīng)不存在影響。但與方向性存在密切關(guān)系的序數(shù)反應(yīng)也沒有出現(xiàn)顯著的方向差異，則與研究假設(shè)相悖。原因可能在于4—5歲兒童序數(shù)整體發(fā)展水平較低，即不論在哪個方向上序數(shù)任務(wù)的得分均較低，不論是從左數(shù)還是從右數(shù)，兒童都容易在講出序數(shù)和序數(shù)取物中出錯，因此，該年齡段幼兒尚未出現(xiàn)左方向更具有優(yōu)勢的序數(shù)反應(yīng)。

五、教育建議

首先，以認識基數(shù)為基礎(chǔ)安排序數(shù)的學(xué)習(xí)。研究證實，兒童對序數(shù)的掌握要以認識基數(shù)為基礎(chǔ)，4—5歲兒童對基數(shù)的掌握情況好于序數(shù)。因此，幼兒園活動應(yīng)確保兒童已熟練掌握一定范圍內(nèi)的基數(shù)后，再進行序數(shù)相關(guān)活動。在安排序數(shù)活動時，應(yīng)該讓兒童明白基數(shù)和序數(shù)的區(qū)別，清楚“幾個”和“第幾”所表達的含義是不同的。教師可以通過創(chuàng)設(shè)游戲情境，如運動會參加總?cè)藬?shù)與比賽名次的不同，讓兒童感受基數(shù)和序數(shù)在使用中的區(qū)別，明確基數(shù)代表著元素個數(shù)概念，序數(shù)代表著次序概念。

其次，加強序數(shù)實際運用能力的培養(yǎng)。對基數(shù)能力而言，兒童按數(shù)取物的能力發(fā)展晚于給物說數(shù)的能力。兒童在序數(shù)概念上也表現(xiàn)為相似的規(guī)律，即兒童先發(fā)展說出指定物體位置的能力，后發(fā)展按照規(guī)定位置取物的能力，后者是兒童對序數(shù)概念的實際應(yīng)用。有研究者認為，我國4—5歲兒童序數(shù)能力顯著低于基數(shù)能力，這可能與兒童在生活中接觸序數(shù)的機會較少有關(guān)。[6]因此，教師可以在教學(xué)活動或一日生活中，創(chuàng)設(shè)實際問題情境——如從第幾個格子里拿出材料、把某件物品放在第幾個小朋友身后等，讓兒童練習(xí)按照指定位置取物的能力。此外，教師可以與家長溝通，在兒童學(xué)習(xí)了序數(shù)概念之后，讓家長在日常生活中有意引導(dǎo)兒童使用序數(shù)，如知道自己的家是第幾層、家里的車停在從哪里開始的第幾個車位、排隊時自己排在第幾個等。通過家園合作幫助兒童更充分地了解序數(shù)概念的作用，可以讓兒童更好地掌握與使用序數(shù)。

最后，注意方向的把握。雖然本研究沒有發(fā)現(xiàn)方向?qū)?—5歲兒童基數(shù)與序數(shù)能力有顯著影響，原因在此前討論中已有說明。但是，在進行基數(shù)與序數(shù)的教學(xué)活動時，教師仍應(yīng)注意引導(dǎo)兒童從不同方向進行基數(shù)與序數(shù)的學(xué)習(xí)。因為4—5歲幼兒初步接觸序數(shù)，很多幼兒會將基數(shù)與序數(shù)混淆。[1]基于順序無關(guān)原則，教師應(yīng)引導(dǎo)兒童從多個方向進行點數(shù)，而非總是從左數(shù)到右，以幫助兒童理解點數(shù)結(jié)果與點數(shù)方向、順序無關(guān)。而由于序數(shù)概念與方向的密切關(guān)系，教師更要創(chuàng)設(shè)不同方向的情境，讓兒童感知方向不同，某個物體的序數(shù)(位置)不同，加深兒童對序數(shù)意義的理解。