谷思源，何澤榮

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

許多不同種類的生物種群內(nèi)部的個體之間存在等級或地位差異，這種差異對個體的生命參數(shù)產(chǎn)生重要影響，進(jìn)而影響群體演化[1]。實踐中得到的觀測數(shù)據(jù)大都是離散的，用離散模型來預(yù)測種群演化趨勢較為便捷。文獻(xiàn)[2]通過對單一種群規(guī)模標(biāo)量方程的細(xì)致分析發(fā)現(xiàn)，其內(nèi)部的搶奪競爭和對抗競爭關(guān)于平衡態(tài)水平和恢復(fù)彈性各有優(yōu)劣。文獻(xiàn)[3]中的建模只考慮高等級個體影響，對模型的動力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行了較為完整的分析，包括穩(wěn)定性、持續(xù)性和周期解。與之相對，文獻(xiàn)[4]僅考慮低等級個體影響，分析了模型解的非負(fù)有界性、正平衡態(tài)的存在唯一性，給出了零平衡態(tài)的穩(wěn)定條件。文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]則分別研究了文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]中種群系統(tǒng)的能控性與最優(yōu)收獲問題，提出了一些具體的最優(yōu)收獲策略。上述工作都是針對單一種群來建立模型，而現(xiàn)實情況往往是多個種群共存于某一環(huán)境中。因此，本文提出一類兩種群相互競爭資源的離散等級結(jié)構(gòu)模型，研究模型解的非負(fù)有界性、非負(fù)平衡態(tài)的存在性與穩(wěn)定性，并運用模型參數(shù)給出方便檢驗的判別條件。

1 種群系統(tǒng)模型

就新生個體而言，假設(shè)每一種群個體的繁殖率都隨系統(tǒng)內(nèi)同一等級和更高等級個體數(shù)量之和減小，其余等級的個體演化方程與文獻(xiàn)[3-6]相同，建立如下兩種群競爭系統(tǒng)的非線性等級模型：

(1)

式中，xi(k),yi(k)分別表示兩種群在第k時間段等級為i的個體數(shù)量(i=1,2,…,m,m≥2,k≥0)；

aij,bij分別表示兩種群中等級為j的個體經(jīng)過一個單位時間段后等級變?yōu)閕的概率(0

2 解的非負(fù)有界性

3 正平衡態(tài)的存在性

證明考慮如下定義的函數(shù)，其中x,y>0

若R0≤1，則f(x,y)

4 零平衡態(tài)的穩(wěn)定性

定理4當(dāng)R0,K0<1時，模型(1)的零平衡態(tài)漸近穩(wěn)定；當(dāng)R0>1或K0>1時，零平衡態(tài)不穩(wěn)定。

根據(jù)文獻(xiàn)[7]中的Perron-Frobenius定理知，矩陣A,B都存在一個占優(yōu)的特征值，分別設(shè)為λA,λB，均對應(yīng)于正特征向量，對矩陣A的所有其它特征值λ1滿足λA>|λ1|，對矩陣B的所有其它特征值λ2滿足λB>|λ2|。矩陣A的特征多項式為：

設(shè)λA對應(yīng)的特征向量為(α1,α2,…,αm)>0，則下列等式成立

由于所有的aij>0，由方程組(3)中第i(i=1,…,m)式可以得到λA>aii。由λA是矩陣A的特征值，知p(λA)=0，即

當(dāng)λA≤1時，λA-aii≤1-aii，則

從而，當(dāng)R0>1時，有λA>1；類似可得到:當(dāng)R0<1時，λA<1；K0與λB有類似關(guān)系。

J(0)的特征多項式為|λE-J(0)|=|λE-A||λE-B|,所以矩陣J(0)的特征值必為矩陣A,B的特征值。當(dāng)R0<1,K0<1時，有λA<1且λB<1，模型(1)的零平衡態(tài)漸近穩(wěn)定；當(dāng)R0>1或者K0>1時，矩陣A或矩陣B有模大于1的特征值，因而模型(1)的零平衡態(tài)不穩(wěn)定。證畢。

下面給出一個全局穩(wěn)定性結(jié)果。

定理5若a1iβ+aii+ai+1,i<1,a1mβ+amm<1,b1iγ+bii+bi+1,i<1,b1mγ+bmm<1,i=2,3,…,m-1，則模型(1)的零平衡態(tài)全局漸近穩(wěn)定。

(a1mβ+amm-1)|xm(n)|+(b11+b21-1)|y1(n)|+

5 結(jié)束語

本文針對兩種群競爭系統(tǒng)建立了離散等級結(jié)構(gòu)模型，它是一類高維非線性差分方程組。與單種群離散等級結(jié)構(gòu)模型比較，本文所建立的模型要復(fù)雜得多，研究結(jié)果表明：基本再生數(shù)仍然是制約種群演化發(fā)展的關(guān)鍵指標(biāo)；當(dāng)2個種群的基本再生數(shù)小于1時，過低的種群規(guī)模將導(dǎo)致兩種群滅絕。本文的研究結(jié)果對于預(yù)測2個共存又相互競爭的種群(如草原上的的鹿和羚)的演化具有潛在價值。本文只分析了正平衡態(tài)的存在性，下一步將針對正平衡態(tài)的穩(wěn)定性展開深入研究。