基于元胞自動機的COVID-19傳播動力學研究

施思遠，蔡朝瑞，杜寶良，周林華，孟品超

（長春理工大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，長春 130022）

如今，COVID-19對公共社會衛(wèi)生安全造成了嚴重的危害，人們迫切需要對COVID-19展開更全面的研究［1］，從而制定最佳的防控疫情策略。在20年2月初，一艘由日本橫濱出發(fā)的“鉆石公主號”郵輪成為了COVID-19大規(guī)模爆發(fā)的重災區(qū)，在全員人數(shù)僅僅3 700多名的情況下，感染人數(shù)達到了621例，近16%的人感染。

在過去的一年里，研究學者們主要基于SEIR模型對傳染病傳播動力學進行研究。張宇［2］針對交通工具內(nèi)部空間狹小、乘客之間接觸率高等特點對SEIR型進行改進，建立交通工具內(nèi)部新冠肺炎疫情的傳播模型。Wu Joseph T［3］基于人口流動性對SEIR模型進行改進，對人口流動性大的城市進行新冠肺炎病例數(shù)量預測。邱小［4］基于SEIR模型對地鐵傳染病傳播進行仿真預測，得到了較為可靠的傳染率參數(shù)。李眩［5］基于元胞自動機建立傳染病傳播和控制仿真模型，驗證不同疾病致死率對疫情傳播的影響。暢春玲［6］通過建立具有垂直傳播和一般接觸的元胞自動機傳染病模型來研究不同傳播方式對疫情傳播的影響。Salathé M，Kazandjieva M［7］基于元胞自動機模型，從行人出行交通方面出發(fā)，探究其對疫情擴散程度的影響。

總體而言，目前對于傳染病傳播動力學研究主要停留在傳統(tǒng)微分方程SEIR模型或是基于元胞自動機的傳染病傳播模型上，前者是從宏觀的角度考慮傳染病傳播，對于人與人之間的接觸和人本身運動的隨機性無法考慮到位，后者是從微觀角度考慮傳染病傳播，未考慮人員行走路徑多樣化的問題，只是簡單地從疾病擴散角度出發(fā)進行研究。本文以“鉆石公主號”郵輪為例，針對其具有復雜密閉環(huán)境和人員行走路徑多樣化的特點，分別制定了傳染病傳播演化規(guī)則、行人避讓規(guī)則以及移動規(guī)則，基于上述規(guī)則進行模擬仿真實驗，并通過設置隔離措施、限制人員出行和提高人員防護措施三個角度進行實驗，得出有效合理的疫情防控策略。

1 基于元胞自動機的傳染病傳播模型

1.1 元胞自動機模型原理

元胞自動機（Cellular Automatio，CA）是一個空間、時間和狀態(tài)均離散且狀態(tài)隨時間不斷發(fā)生變化的動力學系統(tǒng)［8］，由元胞的空間構(gòu)型、元胞狀態(tài)、鄰居和元胞演化規(guī)則組成。每一個元胞自動機系統(tǒng)可以描述為一個四元組：

其中，Ld表示空間構(gòu)型為d維，空間大小為L×L的網(wǎng)格空間；S表示元胞空間狀態(tài)集合；N表示以某一元胞為中心的所有元胞組合；f表示元胞狀態(tài)演化規(guī)則函數(shù)的集合。

本文采用Moore型元胞鄰域，如圖1所示。

圖1 Moore型元胞鄰域

1.2 傳染病傳播演化規(guī)則

元胞演化規(guī)則函數(shù)f是一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)：

模型仿真過程，在t時刻第i個個體的狀態(tài)空間S有以下4種取值：

（1）在t=0時刻，將n（n<

圖2 感染示意圖

1.3 避讓行走規(guī)則

對于模型中的障礙物將按照以下步驟進行賦值，賦值結(jié)果如圖3所示。

圖3 布局圖掃描賦值結(jié)果圖（網(wǎng)格值×104）

（1）確定場所出入口P(i,j)，對出入口兩側(cè)元胞賦值為1，并按照離出口越遠，值逐漸增加的規(guī)則進行賦值。

（2）若障礙物以單個網(wǎng)格形式出現(xiàn)，則值為1。

（3）由出入口P(i,j)兩側(cè)所在的行（或列）開始，對相鄰的行（或列）進行掃描，對于墻壁的網(wǎng)格賦值為1，障礙物網(wǎng)格兩端賦值為1，且由外向內(nèi)逐漸增加。

本文基于經(jīng)典場域模型［10-12］，為使行人產(chǎn)生繞行的行為，現(xiàn)定義“視野距離”的概念：“視野距離”代表行人正前方的一段固定距離，將該固定距離記為dlim。

視野距離最遠點（虛擬點）稱為“決策點”，當決策點未“觸碰”到障礙物時，行人會朝著目的地方向直線行走；當決策點“觸碰”到障礙物時，如圖4（a），行人的轉(zhuǎn)向選擇取決于決策點左前方和右前方網(wǎng)格值的大小，左前方網(wǎng)格值為5，大于右前方的網(wǎng)格值3，則行人將偏向右方行走，反之行人將偏向左方行走；當視野距離內(nèi)的障礙物兩端均為可繞行區(qū)域時，如圖4（b）。當決策點(id,jd)左前方網(wǎng)格值和右前方網(wǎng)格值相等的時候，行人將會等概率選擇往左、右轉(zhuǎn)向。

圖4 行人在不同位置處決策點情況

在繞行過程中，當決策點前方存在墻壁或障礙物時，決策點將會隨著行人移動的方向跟著移動，且緊貼著墻壁或障礙物進行移動，來保證決策點與行人在同一直線上（如圖4中決策點2′—3′過程）。而當行人成功繞過墻壁或障礙物時，決策點和行人的距離恢復到視野距離dlim。

1.4 移動規(guī)則

行人根據(jù)其距各個目的地場所的歐氏距離和擁擠度兩個因素進行選擇。在前往目的地的過程中，行人將根據(jù)Moore型鄰域空間的局部靜態(tài)場值和局部動態(tài)場值進行移動［13-14］。

1.4.1 局部靜態(tài)場

對于局部靜態(tài)場而言，其計算公式依照以下兩種情況：

（1）當dlim=d時，行人的移動方向不受決策點的影響，保持著直線方向朝目標場所行走（圖5），該情況下局部靜態(tài)場計算式如下：

圖5 決策點對行人無影響

（2）當dlim>d時，行人的移動方向?qū)⑹艿經(jīng)Q策點的影響，此時行人將轉(zhuǎn)向移動（圖6），該情況下局部靜態(tài)場S(i,j)計算式如下：

圖6 決策點對行人產(chǎn)生影響

1.4.2 局部動態(tài)場計算公式

對于局部動態(tài)場而言，以行人在全局動態(tài)場中所處位置為中心的3×3矩陣值作為局部動態(tài)場值。根據(jù)經(jīng)典場域模型理論，當(i,j)的元胞有行人經(jīng)過時，則在下一時間步，該元胞動態(tài)場值D(i,j)=D(i,j)+1，其中，記擴散比例系數(shù)μ=0.1，衰減比例系數(shù)δ=0.2，當某一時刻元胞的動態(tài)場值D(i,j)≤ 0.1，則令D(i,j)= 0。

如圖7所示，局部動態(tài)場取值于以行人在全局動態(tài)場中所處位置為中心的3×3矩陣值，為了與實際情況相結(jié)合，本模型不考慮行人后退移動的情況，從而行人的左后（右后）和正后方網(wǎng)格取值為0，基于該情況，計算式如下：

圖7 局部動態(tài)場取值過程

其中，D(i,j)為矩陣在全局動態(tài)中所對應的位置；ND為局部動態(tài)場的歸一化因子，計算表達式如下：

綜合前面計算所得的局部靜態(tài)場和動態(tài)場值，可以得到行人的3×3移動狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率公式：

其中，kS為靜態(tài)場敏感度參數(shù)；kD為動態(tài)場敏感度參數(shù)；ξ(i,j)表示元胞是否被行人所占據(jù)，有行人占據(jù)則值為0，反之取1；N為歸一化因子，用來保證3×3狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣概率之和為1，其計算表達式如下：

1.5 實驗模型

基于上述人員行走規(guī)則和傳染病傳播模式相互交叉迭代形成最終的元胞自動機系統(tǒng)，從而實現(xiàn)復雜密閉環(huán)境下傳染病傳播過程?，F(xiàn)將建立的模型描述如下：

（1）設置模型網(wǎng)絡空間大小，出入口坐標集合和障礙物坐標集合。

（2）按照傳染病傳播演化規(guī)則模擬COVID-19傳染病傳播過程。

（3）按照式（10）計算得到行人移動狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，進行有目標的避讓障礙物行走。當出現(xiàn)競爭同一網(wǎng)格時，將按照等概率原則隨機選取一名個體進入目標網(wǎng)格。

（4）在以后的每一個離散時刻交叉迭代步驟（2）至步驟（3），模擬COVID-19在郵輪內(nèi)部個體活動過程中的傳播過程。

2 以“鉆石公主號”為例的實現(xiàn)

2.1 公主號郵輪

本文選取“鉆石公主號”郵輪第5層甲板進行模擬仿真，該層的基本數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 “鉆石公主號”第5層甲板基本數(shù)據(jù)表

通過Netlogo編程平臺［15-16］，制作了可視化模擬器作為本模型的載體，包括呈現(xiàn)實時狀態(tài)，實時調(diào)節(jié)可變參數(shù)，實時輸出模擬數(shù)據(jù)等功能，如圖8所示。

圖8 可視化仿真圖像

2.2 模型參數(shù)配置

表2 仿真參數(shù)取值表

2.3 隔離措施對疫情傳播的影響

為了比較采取隔離措施對疫情防控的積極影響，借助本模型制作了SEI傳染病模型下的仿真模擬。最大仿真天數(shù)設置為28天，其中，隔離措施下的隔離者被標記為灰色，并移動至郵輪環(huán)境外來保證仿真總?cè)藬?shù)不變且隔離者不對郵輪內(nèi)部其他人員產(chǎn)生影響。

圖9分別表示采取隔離措施時仿真時間為第 3、7、11、15、19和 25天的 COVID-19傳播情況。圖10分別表示未采取隔離措施時仿真時間為第3、7、11、15、19和25天的COVID-19傳播情況。此外，本模型利用文獻［2］給出的地鐵站內(nèi)COVID-19傳染率參數(shù)進行仿真，參數(shù)取值如表3所示。

圖9 COVID-19隔離條件下的演化過程

表3 傳染率參數(shù)取值表

圖10 COVID-19自然傳播下的演化過程

圖9—圖10中的紅色點代表感染者，黃色點代表潛伏者，綠色點代表健康者。通過圖9和圖10不同時刻的演化過程，發(fā)現(xiàn)自然傳播條件下，郵輪內(nèi)部的感染人群數(shù)量不斷增加，而隔離措施下的感染者和潛伏者達到一定數(shù)量便維持恒定。

圖11（a）中表示的是未隔離情況下，三種人群不同時刻狀態(tài)曲線圖，從11（a）中可以看出，潛伏者在中期達到了頂峰，健康者有一個下降最快的區(qū)間，過了這段區(qū)間后下降速率減緩，感染者相反，但通過趨勢可以看出，健康者人數(shù)最終會趨于0，感染者人數(shù)將趨于總?cè)藬?shù)450。

圖11 兩種措施下人群感染狀態(tài)趨勢圖

圖11（b）表示的是隔離情況下，四種人群不同時刻狀態(tài)曲線圖，從圖11（b）中可以看出，健康者人數(shù)不像圖11（a），有一個下降最快的區(qū)間，而且潛伏者和感染者人數(shù)一直維持著一個較低的水平。但從曲線整體趨勢來看，健康者依舊會被全部感染，但所需要的時間將遠遠大于圖 11（a）所示情況。

兩幅圖對比之后可以看出，采取隔離措施能有效的減緩COVID-19傳播速度，并抑制其進一步擴散，而未采取隔離措施時，COVID-19傳播情況等同于自然狀態(tài)下的SEI傳播特征，隨著后續(xù)仿真天數(shù)進一步延長，健康者均會被感染。

2.4 行人出行對疫情傳播的影響

考慮當模擬過程中出現(xiàn)第一例感染者時，便限制行人出行，由原來的所有行人均可出行調(diào)整為75%、50%和25%的行人可以外出。

對比上述采取隔離措施情形，得到不同限制條件下的行人出行數(shù)量對疫情傳播的影響，如圖12所示。其中，曲線表示的是健康者隨時間的數(shù)量變化。從圖12看出，限制行人出行的防控效果十分有效，且隨著限制力度的提高，即出行人數(shù)的下降，感染人數(shù)將得到有效的控制，圖中當限制75%的行人出行時，對疫情的控制效果和隔離措施條件下的控制效果相當，且在后期顯示出來的防控效果優(yōu)于采取隔離措施條件。

圖12 限制行人出行對疫情傳播的影響

2.5 個人防護措施對疫情傳播的影響

考慮人群對疫情的重視，采取一定的防護措施（例如戴口罩等）降低潛伏者和感染者傳染健康人群的傳染幾率，此時對于這部分人群，傳染率參數(shù)取值調(diào)整如表4所示。

表4 采取防護措施后傳染率取值表

對比上述采取隔離措施情形，得到采取防護措施對疫情傳播的影響如圖13所示。從圖13看出，采取個人防護措施在一定程度上能減緩COVID-19傳播程度，但效果不如采取隔離措施好。

圖13 防護措施對疫情傳播的影響

2.6 仿真結(jié)果分析

通過上述數(shù)值實驗結(jié)果可以看出，人口流動性會增大疫情的傳播規(guī)模，因此當出現(xiàn)新冠肺炎疫情時，行人需要盡量降低外出的頻率，此外，為了降低疫情在密閉復雜環(huán)境中的傳播概率，需要采取個人防護措施，并且盡量遠離人群。最后，在進行流行病調(diào)查時，一旦發(fā)現(xiàn)確診的感染者，需要及時地采取隔離措施防止疫情繼續(xù)的擴散。

3 結(jié)論

本文將復雜密閉環(huán)境下的COVID-19傳播模型通過人員行走與傳染病傳播交叉迭代的方式進行實現(xiàn)，較為真實地還原了郵輪內(nèi)部人員日常出入場所的行為特征，符合現(xiàn)實情況。

從仿真結(jié)果可以看出，將元胞自動機理論借助Netlogo仿真工具去實現(xiàn)的方法適用于各類仿真模擬實驗，既避免了傳統(tǒng)的微分方程帶來的復雜計算量，又客觀有效地反映了疾病傳播的動態(tài)過程，得到了是否采取隔離措施、是否采取防護措施以及限制不同出行人數(shù)對COVID-19傳播的影響，通過模型的仿真結(jié)果得到，當疫情發(fā)生時，采取個人防護措施并減少外出是防范疫情的最佳策略。