王欣宇，孟品超

（長春理工大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，長春 130022）

COVID-19新冠肺炎在全球范圍內(nèi)的持續(xù)爆發(fā)嚴重影響著人們的健康。研究結(jié)果表明，乘客在乘坐公共交通工具時，密閉擁擠的環(huán)境為新冠病毒的傳播提供了有利條件，并且疫情也極易沿著交通線路進行大范圍的擴散［1］。與黑死病、天花、SARS疫情爆發(fā)時期相比，如今更加發(fā)達的公共交通系統(tǒng)已經(jīng)成為居民出行的首要選擇［2］，加大了疫情通過公共交通系統(tǒng)傳播的可能。

由于人類尚未完全掌握COVID-19新冠肺炎的流行病學特征，所以新冠肺炎的傳播研究主要依據(jù)SARS和流感等呼吸性傳染病的研究。張殿業(yè)［3］基于模糊決策建立交通運輸系統(tǒng)突發(fā)疫情的擴散模型，判斷不同交通運輸方式的疫情擴散概率。Gerardo C［4］基于SEIR模型計算SARS在不同防疫措施下的感染人數(shù)后發(fā)現(xiàn)：口罩、消毒、降低人口密度都是減緩疫情傳播的重要手段，隔離與病患接觸的人群是最有效的防控手段。Salathe M［5］基于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，模擬 H1N1 流感病毒在學校內(nèi)部因社交接觸的傳播過程，判斷個體感染的概率，并且計算人群中不同的疫苗接種率對感染人數(shù)的影響。

考慮到新冠肺炎存在潛伏期［1］，對新冠肺炎的傳播動力學研究多基于 SEIR 模型［2，6，7］。張宇［2］針對交通工具內(nèi)部空間狹小、乘客之間接觸率高等特點對SEIR模型進行改進，建立交通工具內(nèi)部新冠肺炎疫情的傳播模型。Joseph T.Wu［6］基于人口流動性對SEIR模型進行改進，對人口流動性大的城市進行新冠肺炎病例數(shù)量預測。Zhou Y［7］在研究城市人口移動對新冠肺炎的傳播造成的影響時，基于深圳市的手機信令數(shù)據(jù)和SEIR模型，模擬不同的人口移動程度下疫情的傳播情況。

總體而言，目前對呼吸性傳染病在交通領(lǐng)域的傳播研究缺乏足夠的理論支撐，并且在疫情發(fā)生時尚未充分利用居民的出行數(shù)據(jù)對病毒接觸者進行科學有效的監(jiān)管。地鐵是城市最主要的公共交通工具之一，地鐵交通卡數(shù)據(jù)記錄了乘客的出行信息，可以在疫情傳播時對乘客進行軌跡追蹤，同時記錄了乘坐地鐵人數(shù)的動態(tài)變化，為傳染病在公共交通工具中的傳播提供可信度較高的預測。本文建立地鐵疫情傳播模型，根據(jù)杭州市真實的軌道交通客流數(shù)據(jù)模擬疫情在地鐵中的傳播情況，分析通風、消毒、佩戴口罩和接種疫苗等防疫措施引起的參數(shù)變化對疫情傳播規(guī)模的影響，給出合理的軌道交通系統(tǒng)的疫情防控方案。

1 疫情在直達交通工具中的傳播

乘客在乘坐地鐵時，密閉的車廂環(huán)境和不斷上下車的人流都會影響疫情的傳播，為了建立軌道交通系統(tǒng)疫情傳播模型，首先需要探究無乘客中途上下車的直達交通工具中的疫情傳播情況，建立直達交通工具的疫情傳播模型，并找出影響交通工具中感染概率的因素，為地鐵疫情傳播模型的建立提供參考。

1.1 直達交通工具中的疫情傳播模型

由于新冠肺炎在人體內(nèi)存在潛伏期，因此新冠肺炎的疫情傳播模型常采用SEIR模型［10］，SEIR傳染病模型將總?cè)丝诜譃椋阂赘姓撸⊿）、潛伏期感染者（E）、患病者（I）和康復者（R），其中：S是指未被感染但是對病毒沒有免疫能力的人群；E是指已被病毒感染但尚未具有傳染能力的人群；I是指已經(jīng)患病并具備傳染能力的人群；R是指治愈后或未染病但具備免疫能力的人群。設(shè)N為人口總數(shù)，在不考慮人口出生、遷徙、死亡等外界環(huán)境干擾的狀況下，四類人群在時間t內(nèi)數(shù)量變化率可表示為：

式中，β表示病毒的感染率，指時間t內(nèi)易感者與患病個體接觸并感染的概率；e表示潛伏期感染者轉(zhuǎn)化為患病者的概率；r表示患病者康復的概率；S/N表示人群中易感個體的比例。由于在疫情傳播早期人群對新型冠狀病毒普遍易感［1］，因此N=S0+I0。

式（1）的SEIR模型可作為中途無乘客上下車的直達交通工具疫情傳播模型，由于交通工具環(huán)境封閉，在患病者與其他乘客密切接觸的過程中，感染率β與患病者的乘車時間、交通工具內(nèi)部病毒的密度等影響因素密切相關(guān)，因此，為了計算乘車時間內(nèi)密閉交通工具中新被感染的人數(shù)，還需找出影響交通工具內(nèi)部的感染概率β的因素。

1.2 密閉交通工具中感染概率的計算

當患病者與易感者同時乘坐密閉交通工具時，感染率β(t)滿足如下關(guān)系式［9］：

式中，b表示易感者與患病個體接觸后感染的概率，它與新冠肺炎傳播時的基本再生數(shù)R0（每位患病者平均傳染的人數(shù)）和感染間隔DI（易感者感染病毒后再傳染其他易感者的平均時間）有關(guān)［6］；α表示易感者與患病者的接觸概率，當交通工具內(nèi)部空間無間隔時，α=1；t表示乘坐時間，計量單位為小時；ρ表示密閉交通工具中的病毒密度。

病毒密度ρ滿足如下關(guān)系：

式中，n表示病毒數(shù)目，它可進一步用初始患病者的人數(shù)I0和乘車時間t表示；V為交通工具的體積；W為通風指標，病毒勻速向外排出后交通工具內(nèi)部剩余的比例；D為消毒指標，病毒被勻速殺死后交通工具內(nèi)部剩余的比例；c為病毒釋放強度，與患病者的發(fā)病狀況有關(guān)。c、W、D為定量化的評估指標，其中W和D的最大取值為1，此時交通工具內(nèi)部未采取任何的通風和消毒措施，數(shù)值越小說明通風和消毒的效果越好［9］。

將式（2）和式（3）聯(lián)立，可得感染率β(t)的完整表達式：

由式（4）可以看出，交通工具的感染率β(t)與車廂內(nèi)部的通風強度W、消毒強度D、初始時刻交通工具內(nèi)含有的患病者人數(shù)I0及其病毒釋放強度c、乘車時間t、交通工具的體積V、與病患的接觸概率α，病毒的基本再生數(shù)R0和感染間隔DI有關(guān)。如果在乘客乘車過程中采取一些防疫措施，例如要求乘客佩戴口罩或者保持交通工具中的通風、消毒，會引起式（4）中部分參數(shù)的改變，從而影響乘客在乘坐交通工具時被感染的概率。

1.3 直達交通工具中感染人數(shù)的計算

在交通工具的感染率β(t)已知的情況下，如果在患病者乘車過程中沒有乘客中途下車，可以利用式（1）計算在患病者乘車時間t內(nèi)交通工具中的被感染的人數(shù)。由于乘客乘坐交通工具的時間遠小于病毒的潛伏時間和感染間隔［13］，所以直達交通工具中新被感染的人數(shù)ΔE(t)就是易感者減少的人數(shù)，且新被感染的人群在乘車過程中不會轉(zhuǎn)為具有傳染能力的患病者。

將式（1）和式（4）聯(lián)立：

整理后移項有：

等式兩邊積分得：

整理得到：

因此，交通工具中新被感染的人數(shù)ΔE(t)可表示為：

式（9）可以計算直達交通工具中新被患病者感染的人數(shù)，適用于飛機、火車等長時間行駛的交通工具，然而在軌道交通系統(tǒng)中，地鐵行駛時間短并且頻繁?？空军c，在患病者乘車過程中存在大量的人口流動，因此，地鐵疫情傳播模型還需要考慮人口流動對地鐵中疫情傳播的影響。

2 疫情在地鐵中的傳播

盡管乘客進入軌道交通系統(tǒng)后，除乘坐地鐵外，還可能會停留在地鐵站內(nèi)部進行候車、換乘等活動，但是由于乘客在站內(nèi)停留時間相對較短，且乘客因不斷移動而幾乎不會造成與其他乘客的密切接觸，因此在研究軌道交通系統(tǒng)疫情傳播時，本文只考慮地鐵車廂內(nèi)部的疫情傳播情況。疫情在地鐵中進行傳播時，由于地鐵在行駛過程中人口流動性較大，車廂中動態(tài)變化的人口數(shù)影響著地鐵中易感者和新被感染的潛伏期感染者的數(shù)量變化，所以為了計算地鐵疫情傳播規(guī)模，需要結(jié)合人口流動對SEIR模型進行改進，建立地鐵疫情傳播模型，繼而計算地鐵中被患病者感染的人數(shù)。

2.1 地鐵疫情傳播模型

人口流動影響著地鐵中疫情傳播情況［6］，假設(shè)中途進入地鐵的人群均為未被病毒感染的易感者，LI(t)表示時間t內(nèi)進入某輛地鐵的人數(shù)，LO(t)表示同時間段內(nèi)從該輛地鐵離開的人數(shù)，N表示時間t內(nèi)乘坐過地鐵的人口總數(shù)，則易感者人數(shù)S(t)的變化率除了時間t內(nèi)地鐵中新被感染的人數(shù)外，還要增加該段時間上車的人數(shù)LI(t)，減去下車的人群中未被病毒感染的人數(shù)(LO(t)/N)S(t)，則S(t)的變化率可表示為：

同理，潛伏期感染者人數(shù)E(t)和患病者人數(shù)I(t)的變化率也需要減去下車人群中新被病毒感染的人數(shù)(LO(t)/N)E(t)和患病者人數(shù)(LO(t)/N)I(t)。由于地鐵是密閉的交通工具，感染概率β(t)由式（4）計算得到。因此，地鐵疫情傳播模型可表示為：

由于乘客乘坐地鐵的時間遠小于病毒在人體的潛伏時間［13］，所以若初始時刻進入地鐵的只有易感者和具有感染能力的患病者時，地鐵中新被感染的人數(shù)就是時間t內(nèi)潛伏期感染者增加的人數(shù)ΔE(t)，假設(shè)新感染的人群在乘車期間不具備二次感染能力，則時間t內(nèi)地鐵中新被感染的人數(shù)變化滿足如下關(guān)系：

地鐵疫情傳播模型綜合考慮地鐵的空間密閉性和人口流動性對疫情傳播的影響，以微分方程的形式反映易感者、潛伏期感染者和患病者三類人群數(shù)量的變化，為了更加直觀地判斷軌道交通系統(tǒng)中疫情的傳播規(guī)模，還需計算地鐵中新被患病者感染的人數(shù)。

2.2 軌道交通系統(tǒng)中感染人數(shù)的計算

計算地鐵中新被感染的人數(shù)可以直觀地反映出軌道交通系統(tǒng)中的疫情傳播規(guī)模，便于對比不同防疫措施對疫情傳播的影響。由于地鐵行駛的站點數(shù)量可以反映乘車時間，為便于計算，設(shè)ti為地鐵到達第i個站點的時間，βi、Ii、Si表示ti時刻地鐵中的感染率、患病者人數(shù)、易感者人數(shù)，求解式（12）的一階非齊次線性微分方程，可得到ti時刻地鐵到達第i個地鐵站時車廂內(nèi)被患病者感染的人數(shù)Ei，滿足如下關(guān)系式：

式中，Ni、∑Lo(ti)分別表示患病者乘車的ti時間段內(nèi)乘坐過該輛地鐵的總?cè)藬?shù)和該時間段下車的總?cè)藬?shù)。由于地鐵的行駛時間遠小于被病毒感染的乘客轉(zhuǎn)成具有感染能力的患病者的時間［13］，地鐵內(nèi)患病者人數(shù)始終為I0，此外，在乘坐地鐵中被感染的乘客還有中途下車的新被感染的乘客，因此，乘客在時間ti內(nèi)乘坐地鐵時新感染的人數(shù)ΔE(ti)可表示為：

式（14）可以計算地鐵中新被患病者感染的人數(shù)，它與ti時刻地鐵內(nèi)部的感染率βi、患病者人數(shù)I0、易感者人數(shù)Si（可用ti時刻地鐵內(nèi)部的人數(shù)減去患病者人數(shù)近似計算）、時間ti內(nèi)乘坐過該輛地鐵的總?cè)藬?shù)Ni及每個地鐵站下車的人數(shù)LO(ti)密切相關(guān)。

3 數(shù)值實驗

在進行地鐵疫情傳播模型的數(shù)值實驗時，為了使實驗結(jié)果更具有參考價值，本文使用杭州市真實的地鐵交通卡數(shù)據(jù)進行乘客的軌跡提取和上下車人數(shù)的測算。對比地鐵與其他交通工具的疫情傳播規(guī)模可以判斷人口流動性對疫情傳播的影響。此外，還需要找出不同防疫措施對疫情傳播的影響，從而找到合理的軌道交通系統(tǒng)疫情防控方案。

3.1 數(shù)據(jù)預處理及主要參數(shù)說明

本文使用2019年1月杭州市地鐵交通卡數(shù)據(jù)進行地鐵上下車人數(shù)的測算，地鐵線路簡圖如圖1所示。地鐵交通卡數(shù)據(jù)詳細地記錄了每位乘客使用的交通卡ID號碼，進出地鐵站的編號、所在線路及進出站時間等信息，對原始數(shù)據(jù)進行清洗和整理后，計算乘客每次乘車的時長和乘坐路線。

圖1 2019年1月杭州市地鐵線路簡圖

對乘客乘坐地的時間進行分段統(tǒng)計，杭州市地鐵2019年1月日均客流量如圖2所示，客流高峰時間主要集中在 8：00—9：30和 17：30—19：00兩個時間段。

圖2 杭州市2019年1月日均客流量統(tǒng)計圖

在進行數(shù)值實驗時，首先隨機抽取一名乘客假設(shè)為新冠肺炎的患病者，根據(jù)患病者的某次乘車信息模擬疫情在地鐵中的傳播情況。其次，統(tǒng)計地鐵車廂內(nèi)動態(tài)變化的人數(shù)計算地鐵疫情傳播規(guī)模，由于同一輛地鐵的乘客在同一站點下車時會產(chǎn)生聚集現(xiàn)象，因此可以根據(jù)每個地鐵站的進出站記錄和地鐵的行駛時間提取出乘坐過同一班地鐵的乘客乘車信息，在進行流行病學調(diào)查時，一旦發(fā)現(xiàn)新冠肺炎確診者，對與患病者乘坐過同一輛地鐵的乘客進行有效的隔離和身體狀況監(jiān)測，可以減緩疫情的進一步傳播。經(jīng)統(tǒng)計，患病者在某次出行中沿途各站信息和上下車人數(shù)記錄如表1所示，t0時刻地鐵內(nèi)部的初始乘客數(shù)量N0為105，患病者乘車時間t內(nèi)人口流動量N(t)為659。

表1 患病者在乘車過程中的途徑站點與上下車人數(shù)變化

此外，還需要設(shè)置合理的參數(shù)模擬新冠肺炎在地鐵中的傳播。杭州市地鐵型號為6節(jié)B組車廂，車廂內(nèi)部互通，每節(jié)車廂的長、寬、高分別為：20 m、2.8 m、2.2 m?，F(xiàn)有研究成果表明，新冠肺炎的基本再生數(shù)R0的估計范圍為2.6～3.0［7］，傳染間隔DI的估計值是 7.5 天［13］，因此，本次數(shù)值實驗中設(shè)R0=2.7，DI=7.5d。參考“非典”時期的病毒釋放強度［9］，假設(shè)患病者的病毒釋放強度c=10。

軌道交通系統(tǒng)疫情防控措施主要有：減少地鐵乘坐人數(shù)、通風、消毒、乘客佩戴口罩和疫苗接種，不同的防疫措施會引起相關(guān)參數(shù)的改變，其中：減少地鐵乘坐人數(shù)會引起參數(shù)Ni和LO(i)的改變；通風、消毒和乘客佩戴口罩會引起感染率βi中通風指標W、消毒指標D和病毒釋放強度c的改變，但地鐵只能到達終點站后才能進行消毒工作；疫苗接種會引起易感者人數(shù)Si的改變。研究表明，乘客在佩戴口罩后病毒的傳播強度減弱64%［19］。計算地鐵在不同防疫措施下的感染人數(shù)可以判斷軌道交通系統(tǒng)中防疫措施的有效性，并給出合理的軌道交通系統(tǒng)疫情防控方案。

3.2 人口流動性對疫情傳播的影響

為了探究人口流動性對疫情傳播的影響，首先對地鐵與直達交通工具的疫情傳播規(guī)模進行對比。假設(shè)在患病者乘車過程中，某直達交通工具的乘客人數(shù)與地鐵初始乘客數(shù)量N0和直達交通工具內(nèi)部的體積與地鐵相同，則在相同的乘車時間內(nèi)，未采取任何防疫措施的地鐵與直達交通工具的感染人數(shù)對比圖如圖3所示，受到地鐵人口流動性的影響，疫情在直達交通工具中的傳播規(guī)模小于地鐵的傳播規(guī)模。

圖3 直達交通工具與地鐵的疫情規(guī)模對比圖

為進一步探究地鐵疫情與人口流動性的關(guān)系，選取患病者在不同時間段起訖站相同的四次地鐵出行來進行地鐵感染人數(shù)的測算，出行信息如表2所示，地鐵在相同的行駛時間內(nèi)患病者四次出行中的人流量分別為：550、430、659、817，測算結(jié)果表明地鐵在不同時間段的人流量有顯著差異。

表2 患病者出行信息

假設(shè)患病者乘坐地鐵期間地鐵未采取任何防疫措施，對患病者四次出行的感染人數(shù)隨患病者乘車時間的變化如圖4所示，結(jié)合患病者四次地鐵出行的人流量數(shù)據(jù)可以看出，人口流動性越大，地鐵內(nèi)部的疫情傳播規(guī)模越大，所以在疫情發(fā)生時，乘客需要盡量避開客流高峰時間段乘坐地鐵，降低被感染的可能性。

圖4 疫情在不同時間段地鐵中的傳播規(guī)模

3.3 不同防疫措施對疫情傳播的影響

在疫情發(fā)生時，除了盡量減少地鐵出行的人次外，軌道交通系統(tǒng)的疫情防控措施主要有：通風、消毒、乘客佩戴口罩和疫苗接種。假設(shè)乘客進入地鐵后全部佩戴口罩且地鐵通風時病毒被勻速釋放到車廂外，患病者乘車期間地鐵在不同的通風強度下參數(shù)和乘客被感染的概率等數(shù)值模擬結(jié)果如表3所示，患病者乘坐地鐵期間和下車后車廂內(nèi)部乘客被感染的概率如圖5所示，由表3的計算結(jié)果和圖5可以看出，地鐵車廂內(nèi)部的通風強度越大，車廂內(nèi)乘客被感染的概率越低，并且當?shù)罔F的通風強度大于等于3倍密封狀態(tài)下的空氣流通速度時，地鐵行駛到終點前乘客被感染的概率已經(jīng)降為0，無需在終點處采取消毒措施。

表3 不同通風強度下乘客被患病者傳染概率的數(shù)值模擬結(jié)果

圖5 不同通風強度下乘客被感染概率對比圖

疫苗接種率對軌道交通系統(tǒng)疫情傳播規(guī)模的影響如圖6所示，當人群的疫苗接種率達到70%時，疫情在地鐵中的傳播規(guī)模與乘客佩戴口罩的傳播規(guī)模相當，此時，結(jié)合地鐵的通風消毒措施，軌道交通系統(tǒng)的疫情可以得到良好的控制，乘客在進入地鐵后可以不用強制佩戴口罩。

圖6 疫情在不同疫苗接種率下傳播規(guī)模的對比圖

3.4 地鐵疫情防控方案

通過數(shù)值實驗結(jié)果可以看出，當出現(xiàn)新冠肺炎疫情時，乘客需要盡量降低地鐵出行的頻率并避開客流高峰搭乘地鐵，在乘客進入地鐵后除了佩戴口罩外，地鐵車廂還需要保持空氣流通，降低乘客被病毒感染的概率，通風強度至少大于地鐵在密封狀態(tài)下3倍流通速度，并注意地鐵車廂內(nèi)部不定期的消毒。在接種疫苗時，當人群中疫苗接種的覆蓋率達到70%以上時，乘客進入地鐵無需被強制要求佩戴口罩。

4 結(jié)論

本文基于交通卡數(shù)據(jù)建立地鐵疫情傳播模型，在疫情爆發(fā)時可以根據(jù)乘客出行信息判斷患病者乘坐地鐵時的傳染規(guī)模，也可以對乘客進行軌跡追蹤，對有被傳染可能的乘客進行有效隔離防止疫情的進一步擴散。在探究不同的防疫措施對疫情傳播帶來的影響時發(fā)現(xiàn)，佩戴口罩并保持地鐵中的通風消毒是軌道交通系統(tǒng)中最有效的防疫措施，當人群中的疫苗接種率達到70%以上，軌道交通系統(tǒng)中的疫情傳播將會得到有效的控制。

本文僅考慮患病者一次乘車過程中對疫情傳播的影響，但是在實際中，患病者以及在地鐵中被感染的乘客可能在未有明顯新冠肺炎癥狀時多次乘坐地鐵，造成疫情在軌道交通系統(tǒng)的多次傳播，因此，未來的研究方向?qū)⒆⒅鼗疾≌叩亩啻纬俗罔F對疫情傳播帶來的影響。

受到數(shù)據(jù)的限制，本文僅對新冠肺炎疫情在地鐵中的傳播進行了討論，并利用2019年1月的杭州市地鐵刷卡數(shù)據(jù)進行模擬，但是交通卡數(shù)據(jù)使用疫情發(fā)生之初的交通卡數(shù)據(jù)具有更好的研究意義，建立的疫情傳播模型可以適用于公共汽車、高鐵等交通工具，提出的疫情防控措施也適用于其他公共交通系統(tǒng)的呼吸性傳染病疫情防控。