江蘇省常州市第二中學(213003) 王 強 黃 雯

解析幾何是用代數方法研究幾何問題的數學分支,既是近現代數學的重要內容,又是高中數學課程的主干內容. 平面解析幾何的研究方法是通過建立幾何圖形的代數方程(或不等式),實施代數運算,并由代數運算的結果得到幾何圖形的性質.

四點共圓是一類富有和諧美的幾何問題,如何將其轉化成為代數問題是一個難點, 在全國高考和各地?？贾兴狞c共圓問題經常出現. 文[1]通過對五道高考試題中的四點共圓進行賞析, 統(tǒng)一使用了圓的定義進行證明. 文[2]通過對文[1]中的四點共圓的結論進行推廣,統(tǒng)一使用了相交弦定理的逆定理進行證明. 本文利用解析法,借助兩個結論:共底邊的兩個三角形頂角相等,且在底邊的同側,則四點共圓;凸四邊形對角互補, 則四個頂點共圓, 對數學通報上一類四點共圓問題進行了解法探究并進行了類比推廣,借助GeoGebra 軟件先猜再證,得到了一些美妙的結論,將其整理下來與讀者共享. 探究中筆者深切感受到GeoGebra 軟件在圓錐曲線問題研究中的繪圖簡便性,更感受到圓錐曲線的內在統(tǒng)一性.

1. 探究由來,問題呈現

《數學通報》2021 年11月數學問題2629: 設雙曲線C的兩焦點為F1,F2,兩準線為l1,l2, 過雙曲線上一點P,作平行于F1F2的直線, 分別交準線l1,l2于M1、M2,直線M1F1與M2F2交于點Q,則:P,Q,F2,F1四點共圓,如圖1所示.

圖1

《數學通報》上的解答是用共底邊的兩個三角形頂角相等,且在底邊的同側,則四個頂點共圓的方法證明的,筆者讀后深有啟發(fā). 同時,也產生了一些疑惑,(1)過點P不作平行于F1F2的直線,其他過點P的直線有這樣的性質嗎? (2)將雙曲線改成橢圓,結論還成立嗎? 筆者借助GeoGebra 軟件,先通過作圖進行直觀觀察,然后再進行嚴格證明,探究出了一些美妙的結論,從而解決了疑惑.

2. 類比推廣,橫縱拓展

定理1 設雙曲線C的兩焦點為F1,F2,兩準線為l1,l2,過雙曲線上一點P處的切線為l,l分別交準線l1、l2于M1、M2, 直線M1F1與M2F2交于點Q, 則P,Q,F2,F1四點共圓, 如圖2 所示.

圖2

因 為tan ∠F1PF2= tan ∠F1QF2, 所 以∠F1PF2=∠F1QF2,故P,Q,F2,F1四點共圓.

定理2 設橢圓C的兩焦點為F1,F2,兩準線為l1,l2,過橢圓上一點P,作平行于F1F2的直線,分別交準線l1、l2于M1、M2, 直線M1F1與M2F2交于點Q, 則P,Q,F2,F1四點共圓,如圖3 所示.

圖3

定理3 設橢圓C的兩焦點為F1,F2,兩準線為l1,l2,過橢圓上一點P處的切線為l,l分別交準線l1、l2于M1、M2,直線M1F1與M2F2交于點Q,則P,Q,F2,F1四點共圓,如圖4 所示.

圖4

定理3 的證明和定理1 的證明相似,這里不再贅述.

3. 再用技術,引申結論

因為拋物線只有唯一的焦點和準線,上面的定理無法直接類比推廣, 那么拋物線中是否有類似的四點共圓的結論呢? 筆者再次利用GeoGebra 進行先繪圖感知,后推理論證,得到了定理4-6.

定理4 設拋物線C的焦點為F,準線為l,過拋物線上一點P,作平行于拋物線對稱軸的直線交準線l于M1,作點P處的切線交準線l于M2,則P,F,M2,M1四點共圓,如圖5 所示.

圖5

定理5 設橢圓C上一點P, 作平行于橢圓長軸的直線交準線l于N, 作點P處的切線交同一準線l于M, 則P,N,M和準線l相對應的焦點F四點共圓,如圖6 所示.

圖6

定理6 設雙曲線C上一點P,作平行于雙曲線實軸的直線交準線l于N,作點P處的切線交同一準線l于M,則P,N,M和準線l相對應的焦點F四點共圓,如圖7 所示.

圖7

定理5-6 的證明和定理4 的證明相似,這里不再贅述.

4. 探究反思,技術助力

著名數學教育家波利亞說過:“沒有一道題是可以解決得十全十美的,總剩下些工作要做,蘑菇總是成堆生長的,經過充分的探討與鉆研,總會有點滴的發(fā)現,總能改進這個解答,而且在任何情況下,我們都能提高自己對這個解答的理解水平. ”類比、聯系、推廣是數學研究中的常用方法,只要我們善于類比和勇于探究,會發(fā)現圓錐曲線中有很多相似的結論,而GeoGebra 的應用能協(xié)助我們發(fā)現結論. 在幾何圖形展示的過程中,我們不僅能感受到數學的對稱美,更能提高我們發(fā)現問題和提出問題的能力.

章建躍教授提出“四個理解”是落實核心素養(yǎng)的關鍵,“理解技術”就是要懂得如何有效利用技術幫助學生的學和教師的教. 本探究中充分發(fā)揮GeoGebra 在繪制圓錐曲線圖形中的簡便性,通過作圖觀察提出猜想,利用解析法證明猜想. 從探究中我們可以感受到GeoGebra 軟件不僅是一個幾何圖形動態(tài)展示的強大工具,更是一個數學探究學習的有效利器.