探討有約束條件下水平盤上物體做圓周運(yùn)動的臨界條件

鄧柳詠 李廣凌

(廣東省廣州市南武中學(xué) 510220)

題目如圖1所示，在勻速轉(zhuǎn)動的水平盤上，沿半徑方向放著用細(xì)線相連的質(zhì)量分別為mA和mB的物體A和B；它們分居圓心兩側(cè)，與圓心距離分別為RA和RB，且RA

圖1

該題目主要是考查有約束條件下勻速轉(zhuǎn)動水平盤的臨界狀態(tài)的分析，解題的關(guān)鍵是判斷發(fā)生滑動時(shí)作離心運(yùn)動時(shí)的狀態(tài)，究竟是物體A離心運(yùn)動，從而拉動物體B，還是物體B離心運(yùn)動，從而拉動物體A.

思路分析假設(shè)兩物體剛好發(fā)生滑動時(shí)，A作離心運(yùn)動，B作近心運(yùn)動，列出各自的牛頓第二定律方程，聯(lián)立解出對應(yīng)的角速度，并討論對應(yīng)的運(yùn)動狀態(tài)是否存在.

分析過程假設(shè)兩物體剛好發(fā)生滑動時(shí)，由于繩子的作用，A作離心運(yùn)動，B作近心運(yùn)動，A和B受到圓盤的摩擦力為滑動摩擦力,分別表示為fA=μAmAg和fB=μBmBg.對A和B受力分析，如圖2所示，應(yīng)用牛頓第二定律：

圖2

T+μAmAg=mAω2RA

①

T-μBmBg=mBω2RB

②

聯(lián)立①式和②式可得到系統(tǒng)的臨界角速度關(guān)系式為：

μAmAg+μBmBg=(mARA-mBRB)ω2

討論：

(1)mARA-mBRB>0，則假設(shè)是成立的，得到臨界角速度大小表達(dá)式為：

③

(2)mARA-mBRB<0，則假設(shè)是不成立的，則運(yùn)動狀態(tài)只能為A作近心運(yùn)動，B作離心運(yùn)動，根據(jù)其對應(yīng)的受力分析，列出牛頓第二定律方程，如下：

T-μAmAg=mAω2RA

④

T+μBmBg=mBω2RB

⑤

聯(lián)立④式和⑤式，可得到：

⑥

討論對比③式和⑥式，可以得出下列可以直接應(yīng)用的結(jié)論：

(1)系統(tǒng)剛好發(fā)生滑動時(shí)，物體的運(yùn)動狀態(tài)由mARA-mBRB的數(shù)值決定.若mARA>mBRB，則物體A離心運(yùn)動，從而拉動物體B；若mARA

應(yīng)用如圖3所示，勻速轉(zhuǎn)動的水平圓盤上放有質(zhì)量分別為2 kg和3 kg的小物體A、B，A、B間用細(xì)線沿半徑方向相連.它們到轉(zhuǎn)軸的距離分別為rA=0.2m、rB=0.3 m.A、B與盤面間的最大靜摩擦力均為重力的0.4倍.g取10 m/s2，現(xiàn)極其緩慢地增大圓盤的角速度，當(dāng)兩物體剛好發(fā)生滑動時(shí)，圓盤的角速度約為____.

圖3

深入探討回歸問題可以知道，上文得到的臨界角速度的表達(dá)式屬于我們常說的“二級結(jié)論”.在應(yīng)用時(shí)，“二級結(jié)論”有特定的情景要求，使得其適用性受限.為了解決適用性受限的問題，現(xiàn)在利用上文的提到的分析方法來分析水平盤上作圓周運(yùn)動的其他種情況來來深入探討一般的分析方法.

如圖4所示，粗糙水平圓盤上，可視為質(zhì)點(diǎn)的木塊A、B疊放在一起，放在水平轉(zhuǎn)臺上隨轉(zhuǎn)臺一起繞固定轉(zhuǎn)軸勻速轉(zhuǎn)動，A的質(zhì)量為mA，B的質(zhì)量為mB.已知A、B到轉(zhuǎn)動軸的距離為r，A與B間的動摩擦因數(shù)為μAB，B與轉(zhuǎn)臺間的動摩擦因數(shù)為μ，(最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g).現(xiàn)緩慢地增大圓盤的角速度，請分析需要什么條件才能使A與B保持相對靜止.

圖4

結(jié)合情景觀察，可能出現(xiàn)兩種不同的運(yùn)動情景：

(1)物體A和B同時(shí)向外作離心運(yùn)動.

(2)物體A作離心運(yùn)動，物體B還可以跟隨圓盤作圓周運(yùn)動.

分析方法隔離分析物體A和B的受力情況，假設(shè)可能存在情景(2)，列出各自的牛頓第二定律方程組，并結(jié)合情景所隱含的數(shù)量條件，解出特定的數(shù)量關(guān)系，并討論對應(yīng)運(yùn)動狀態(tài)是否存在.解答過程如下：

分別對物體A和B的受力分析，應(yīng)用牛頓第二定律：

fAB=mAω2r

⑦

f-fAB=mBω2r

⑧