研磨習(xí)題載體 變式引領(lǐng)復(fù)習(xí)

徐凱鈺 王楨宇

(1.北京航空航天大學(xué)工科實(shí)驗(yàn)班馮如書院217414班 100083;2.北京市第一七一中學(xué) 100011)

1 題目呈現(xiàn)與解析

例題(2022年朝陽區(qū)高三第一學(xué)期期末試卷20題第(3)問)設(shè)g(x)=aex-x2，當(dāng)a∈(1，e)時(shí)，求函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并說明理由.

本題可以求導(dǎo)判斷g(x)的單調(diào)性，進(jìn)而通過零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，參考答案通過等價(jià)變換，轉(zhuǎn)化為第(2)問的結(jié)論，不再贅述，但測試反饋發(fā)現(xiàn)，同學(xué)們大多沒有注意到兩問之間的聯(lián)系，而是直接求導(dǎo)，致使運(yùn)算難度增大，鑒于其更具有通法意義，本文采用該方法.

解析因?yàn)間′(x)=aex-2x，g″(x)=aex-2，

所以g(x) 在(-∞，+∞)單調(diào)遞增.

故存在唯一零點(diǎn)x1∈(-1，0)使得g(x1)=0.

題目不難，解法也眾多，不再贅述，試題解罷，筆者思考一個(gè)問題，為什么原題給出了a∈(1,e)這個(gè)條件，若擴(kuò)大這個(gè)范圍會(huì)對函數(shù)零點(diǎn)的求解帶來什么樣的影響呢？命題人在此為了回避哪些難點(diǎn)呢？為了尋找答案，故做如下探索.

2 試題變式

2.1 變式改編，找點(diǎn)升級

變式1設(shè)g(x)=aex-x2，當(dāng)a∈(1，+∞)時(shí)，求函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

2.1.1 特殊值代入找點(diǎn)

由于需要在(-∞，0)找某點(diǎn)x1滿足g(x1)<0，所以我嘗試了令x1= -a.

因?yàn)間(-a)=a(e-a-a)，又a>1，

所以e-a<1，所以e-a-a<0.

即g(-a)<0.

所以?x1=-a∈(-∞，0)滿足g(x1)<0.

2.1.2 指對互換找點(diǎn)

2.1.3 利用不等式進(jìn)行放縮

考慮到x→-∞時(shí)，ex→0，所以尋找h(x)使得x→-∞時(shí)，h(x)→0，且同時(shí)滿足h(x)>ex.

2.1.4 利用取值范圍進(jìn)行放縮

2.2 逐段篩選，隱形零點(diǎn)

變式2設(shè)g(x)=aex-x2，當(dāng)a∈R時(shí)，求函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

所以當(dāng)x∈(-∞，x1)， (x2，+∞)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(x1，x2)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減.

所以g(x)在(-∞，0)內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn).

下面討論g(x)在(0，+∞)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

g′(1)=ae-2<0，所以x1∈(0，1)，x2>1.

2.3 極值點(diǎn)偏移

變式3設(shè)g(x)=aex-x2，當(dāng)g(x)在(0，+∞)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求證：兩個(gè)零點(diǎn)和大于4.

所以當(dāng)x∈(0，2)，h′(x)< 0，h(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(2，+∞)，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增.

已知h(x1)=h(x2)，故x2>2>x1>0.

若證x1+x2>4，即證2>x1>4-x2>0.

注意到x1和4-x2都處于(0，2)減區(qū)間內(nèi)，

只需證h(x1)4成立，故下面僅研究x2∈(2，4).

構(gòu)造新函數(shù)t(x)=h(x) -h(4-x)，x∈(2，4)，即證t(x)<0在x∈(2，4)恒成立，顯然t(2)=0，若能證明x∈(2，4)時(shí)t′(x)<0，則此題得證.

教師點(diǎn)評“極值點(diǎn)偏移”問題近年來在高考題、模擬題中頻繁出現(xiàn)，2016年全國Ⅰ卷和2021年新課標(biāo)Ⅰ卷都是以其作為壓軸題考查．這類問題包含了轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想，常見解法是基于對稱變換的思想，構(gòu)造新函數(shù)討論單調(diào)性求解.特別的，上文有這樣一句話“t(2)=0，若能證明x∈(2，4)時(shí)t′(x)<0，則此題得證.”這個(gè)思維方式是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模驗(yàn)榇藭r(shí)t′(x)<0是t(x)<0的充分非必要條件，答題過程應(yīng)該逆序書寫，即求出t′(x)<0，說明函數(shù)單調(diào)遞減，進(jìn)而結(jié)合端點(diǎn)值說明t(x)<0.