廣義勾股定理和廣義三角函數(shù)

周仲旺

（濰坊學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，山東 濰坊 261061）

1 廣義勾股定理

定理1 對(duì)正實(shí)數(shù)a,b,c，若滿足a≤b2時(shí)，a,b,c構(gòu)成銳角三角形。

證明 對(duì)方程ax+bx= cx兩邊取對(duì)數(shù)，。令函數(shù)則，一方面， 另一方面，,所以存在唯一性成立[1]。令函數(shù)當(dāng)n<1時(shí)，所以a,b,c不構(gòu)成三角形，當(dāng)n>1時(shí)，所以a,b,c構(gòu)成三角形。令函數(shù),當(dāng)n<2 時(shí)，所以a,b,c構(gòu)成鈍角三角形，當(dāng)n>2時(shí)，,所以a,b,c構(gòu)成銳角三角形。

用此定理很容易判斷一個(gè)三角形是鈍角三角形、直角三角形還是銳角三角形，且使所謂的勾股數(shù)成為歷史不再存在。

該定理可以看成廣義勾股定理，這樣，不光直角三角形才有勾股定理，除底邊小于等于腰的等腰三角形外，每個(gè)三角形都有一個(gè)勾股定理， 也就是說(shuō)，除底邊小于等于腰的等腰三角形外， 每個(gè)三角形都對(duì)應(yīng)著唯一一個(gè)大于等于 1的實(shí)數(shù)n,我們把這個(gè)實(shí)數(shù)n稱為三角形的秩。對(duì)于任意給定的大于1的實(shí)數(shù)n，秩為n的三角形有一族，像秩為2的(直角)三角形可以看成一族那樣，底邊小于腰的等腰三角形的秩是正無(wú)窮大，這樣的三角形顯然是銳角三角形（可以認(rèn)為它的秩大于2），它也構(gòu)成一族三角形，底邊等于腰的等腰三角形即等邊三角形是唯一沒(méi)有秩的三角形，顯然，等邊三角形也可以看成一族，這族含的三角形最少。任意三角形的秩都可以用matlab算出來(lái)。由這個(gè)定理可知，以為邊的三角形一定是銳角三角形，據(jù)此，對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)n≥1,能很容易地構(gòu)造出一個(gè)秩為n的三角形，反之，任意給定一個(gè)秩為n的三角形，都可以用這個(gè)方法構(gòu)造出來(lái)。

2 新正弦新余弦

定義1 對(duì)于秩為r的任意三角形ABC，設(shè)它的最大角為∠C, , ,ABcBCaCAb= = = , 定義較小角銳角∠A的新正弦,新余弦。注意，只有較小角銳角才有新正弦新余弦，顯然sinr(r,A) + c osr(r,A)= 1 （1）。

定理2 對(duì)任意秩r>1和任意銳角α,它們的新正弦 s in(r,α) ,新余弦 c os(r,α)存在且唯一。

3 解三角形的簡(jiǎn)捷方法

根據(jù)定理1定理2，三角形的秩和它的較小角唯一決定較小角的新余弦，反過(guò)來(lái)，三角形的較小角和較小角的新余弦唯一決定它的秩。這樣我們可以造個(gè)新數(shù)學(xué)用表，這個(gè)表表示的是秩、角、新余（正）弦及其關(guān)系（已知這三者中的兩者能用計(jì)算機(jī)通過(guò)已造好的表而不是通過(guò)方程立即選出第三者，當(dāng)然，這個(gè)表根據(jù)方程造），已知秩可以查出較小角的新余弦，已知較小角的新余弦可以查出秩，已知秩和新余弦又可以查出較小角（通常的查銳角的余弦的數(shù)學(xué)用表，只不過(guò)是這里的秩等于2的特殊情況）。進(jìn)一步，只要給定了三角形的秩r和它的一個(gè)較小角α，三角形的另一較小角β和最大角就定了，反之，只要給定了三角形的一個(gè)較小角和最大角，它的另一較小角和秩就定了（正弦定理），這樣，再造個(gè)新數(shù)學(xué)用表，已知三角形的一個(gè)較小角和最大角就能算出它的另一較小角接著查出它的秩，已知三角形的秩和一較小角，就能查出它的另一較小角接著算出它的最大角。這兩個(gè)新數(shù)學(xué)用表可以在計(jì)算器上通過(guò)把余弦函數(shù)反余弦函數(shù)擴(kuò)展成為五個(gè)新函數(shù)下面是這兩個(gè)新數(shù)學(xué)用表的重要應(yīng)用之一。

例1 設(shè)三角形ABC的秩是3，AC=3,BC=4,試求它的最長(zhǎng)邊AB。

解AB3=AC3+BC3= 33+ 43= 9 1,所以最長(zhǎng)邊AB≈ 4.498。假如要求這個(gè)三角形的三個(gè)角，只要有個(gè)新數(shù)學(xué)用表，求出新余弦后查查表就行了。

例2 設(shè)三角形ABC的秩是4,,最長(zhǎng)邊AB=6,試求這個(gè)三角形的另外兩邊AC,BC和另外兩角∠B,∠C。

例3 設(shè)三角形ABC的秩是4,，試求這個(gè)三角形的另外兩個(gè)角∠B,∠C。

例4 在三角形ABC中，試求三角形ABC的秩， 的長(zhǎng)，∠C的平分線CD的長(zhǎng)及AD,BD的長(zhǎng)。

解 設(shè)三角形ABC的秩為r，則用matlab求得r≈1.6,

注：假如有個(gè)新數(shù)學(xué)用表，這個(gè)題完全可以查表解決，即已知兩個(gè)較小角可以查出這個(gè)三角形的秩，然后再查出較小角的新余弦或新正弦，最后極易求出三角形的邊長(zhǎng)和角的平分線長(zhǎng)！這個(gè)解法也說(shuō)明了已知三角形兩角一邊時(shí)，如何使用查表的方法解三角形。

當(dāng)已知三角形兩邊一角時(shí)，只要這個(gè)角不是三角形的最大角，就可以根據(jù)新三角函數(shù)使用查表的方法解三角形（其實(shí)，即使這個(gè)角是三角形的最大角，也可以使用查表的方法，不過(guò)，本文不研究這個(gè)問(wèn)題）。當(dāng)已知三角形三邊時(shí)，可以先用matlab求出它的秩，然后根據(jù)新余弦查查表就能查出它的兩個(gè)較小角，這比用余弦定理正弦定理好。

總之，引進(jìn)三角形的秩，在已知三角形的兩角一邊、兩邊一角或者三邊的情況下，解三角形基本上查查表就行，在其它情況下，更是如此，由此可見(jiàn)三角形的秩的重要作用。

4 三角形的秩的幾何意義

秩為r的三角形最大角∠C的兩鄰邊為a,b(a≥b) ，∠C的余弦所以r越大cosC越大∠C越小。當(dāng)秩等于1時(shí)，三角形的兩邊a,b的夾角最大，是180度，隨著秩的增大，三角形的兩邊a,b夾的三角形的最大角逐漸變小，當(dāng)秩趨向于正無(wú)窮大時(shí)，三角形趨向于一個(gè)以a為腰以b為底的等腰三角形，這時(shí)三角形的兩邊a,b夾的三角形的最大角達(dá)到最小，若底邊再等于腰，三角形的最大角達(dá)到最小值60度。也就是說(shuō)：以三角形最大角對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)為圓心以最小邊為半徑畫(huà)個(gè)圓，當(dāng)最小邊的另一端點(diǎn)在這個(gè)圓上移動(dòng)且三角形的其它兩頂點(diǎn)固定時(shí)，這樣得到的鈍角三角形占這個(gè)圓的四分之一，而銳角三角形至多占這個(gè)圓的十二分之一，從這個(gè)意義上說(shuō)，鈍角三角形比銳角三角形多，盡管鈍角三角形比銳角三角形多，可鈍角三角形的秩在區(qū)間(1,2)上，而銳角三角形的秩在區(qū)間(2,+∞)上。

根據(jù)上面分析，我們可以用三角形的秩判斷三角形的形狀，即三角形的秩越小越接近于平角三角形，秩越大越接近于等腰三角形。例如：秩為1.01的三角形非常細(xì)長(zhǎng)，基本上是平角三角形，直角三角形的秩為2，秩比較大，它就比較像等腰三角形，秩為9的三角形基本上是等腰三角形。

5 廣義三角函數(shù)理論

定義2 在平面在直角坐標(biāo)系中，從坐標(biāo)原點(diǎn)O出發(fā)的一條射線與x軸的正向的夾角為x，在射線上取一點(diǎn)B，B的坐標(biāo)為(p,q)，在 軸上取一點(diǎn)A，其坐標(biāo)為(z,0)，設(shè)三角形OAB的秩為r,令當(dāng)q≥0時(shí)，令當(dāng)q<0時(shí)，令這樣，對(duì)任意角x都定義了它的新余弦新正弦，由此引入了關(guān)于自變量x(r視為常數(shù))的新余弦函數(shù)和新正弦函數(shù)稱為廣義三角函數(shù)，當(dāng)r=2時(shí)，就是通常的余弦函數(shù)正弦函數(shù)，不難看出新余弦函數(shù)新正弦函數(shù)也都是以2π為周期的周期函數(shù),其中OB必須是三角形OAB的最長(zhǎng)邊,

定理 3[2]若函數(shù)F(x,y)滿足下列條件：

(ⅰ)F(x0,y0) = 0 （通常稱為初始條件） ，

(ⅱ)F在以P0(x0,y0)為內(nèi)點(diǎn)的某一鄰域D?R2上連續(xù)，

(ⅲ)F在D內(nèi)存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)Fx(x,y),Fy(x,y)，

(ⅳ)Fy(x0,y0) ≠ 0。

則（?。┐嬖邳c(diǎn) 的某鄰域U(P0)?D，在U(P0)上方程F(x,y)= 0 唯一地決定了一個(gè)定義在某區(qū)間(x0?δ,x0+δ)上的函數(shù)y=f(x)，使得當(dāng)x∈ (x0?δ,x0+δ)時(shí)， (x,f(x)∈U(P0)，且

（ⅱ）f(x)在 (x0?δ,x0+δ)上連續(xù)，有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，且

定理4 當(dāng)r>2時(shí)，新余弦函數(shù)y(x) = c os(r,x)在(0,)上連續(xù)，具有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)且

注：此定理不難推廣到區(qū)間(?∞,+∞)上。

根據(jù)(1)(2)(3)式，不難得到

定理 5 當(dāng)x是銳角時(shí)

所以，當(dāng)r>2時(shí)，cos(r,x) ,sin(r,x)的單調(diào)性很清楚了。

注：當(dāng)x是銳角時(shí)，顯然 (c os(r,x) + s in(r,x) )2> 1 ,(cos(r,x) ? s in(r,x))2<1。

注：當(dāng)1

值得一提的是：根據(jù)(2)式，在原來(lái)基本初等函數(shù)的意義下，新余弦函數(shù)新正弦函數(shù)基本沒(méi)有顯示式，但反新余弦函數(shù)反新正弦函數(shù)都有顯示式。

經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算得：sin(3,0.3) = 0.297,sin(3,0.75) = 0.69,sin(3,1.25) = 0.96

sin(3,1.5) = 0.999,cos(3,0.3) = 0.99,cos(3,0.75) = 0.87,cos(3,1.25) = 0.48,cos(3,1.5) = 0.111再根據(jù)單調(diào)性，不難作出sin(3,x)，co s (3,x)的圖像，它與sinx,cosx的圖像差不多。

經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算得：sin(1.5,0.27) = 0.27,sin(1.5,0.914) = 0.82,sin(1.5,1.28) = 0.97

sin(1.5,1.43) = 0.99596,cos(1.5,0.27) = 0.901,cos(1.5,0.914) = 0.409,cos(1.5,1.28) = 0.121

cos(1.5,1.43) = 0.0332,π2 = 1.57，再根據(jù)單調(diào)性和凸性，不難作出sin(1.5,x) ， co s (1.5,x)的圖像，它與sinx,cosx的圖像差不多，只不過(guò)cosx的圖像上凸而cos(1.5,x)的圖像下凸。

綜合以上研究，基本上搞清楚廣義三角函數(shù)了。

所有的新正弦函數(shù)新余弦函數(shù)都應(yīng)看成基本初等函數(shù)，sinx,cosx其實(shí)就是sin(2,x) ,cos(2,x) ,sinx, cosx寫(xiě)為sin(2,x) ,cos(2,x)更科學(xué)。cos(r,x)和cosx間有關(guān)系(2)，所以新基本初等函數(shù)實(shí)際上只有兩個(gè)，即對(duì)一個(gè)固定的r, sin(r,x)和cos(r,x)。根據(jù)(2)，cos(r,x)一般不能由cosx表示，但cosx都可由cos(r,x)表示，所以，凡是能用正弦余弦表示的函數(shù)必能用新正弦新余弦表示，但是能用新余弦新正弦表示的函數(shù)一般不能用余弦正弦表示，這說(shuō)明廣義三角函數(shù)是比三角函數(shù)更基本更有意義的函數(shù)！廣義三角函數(shù)在物理學(xué)以及其他學(xué)科中都有重要應(yīng)用，例如在水波、聲波、簡(jiǎn)諧振動(dòng)和交流電中，這些問(wèn)題用廣義三角函數(shù)研究比純粹用三角函數(shù)研究更精確更好。另外，廣義三角函數(shù)能使導(dǎo)彈命中率更高嗎？廣義三角函數(shù)能使衛(wèi)星定位更精確嗎？這些問(wèn)題有待專家進(jìn)一步研究，凡是能用三角函數(shù)研究的實(shí)際問(wèn)題都能用廣義三角函數(shù)研究，這只要把三角函數(shù)中隱含的秩2改成廣義三角函數(shù)中的秩r即可。