鄧天舒

(清華大學(xué)高等研究院,北京 100084)

非厄米趨膚效應(yīng)是近幾年非厄米物理研究領(lǐng)域中的熱點(diǎn)問題,它揭示了非厄米系統(tǒng)中體態(tài)波函數(shù)和能譜計(jì)算會敏感依賴于邊界條件的新奇現(xiàn)象.人們提出廣義布里淵區(qū)的概念用以刻畫非厄米系統(tǒng)中的體態(tài)波函數(shù)和能帶性質(zhì).基于廣義布里淵區(qū)計(jì)算的非布洛赫拓?fù)鋽?shù)可以重新構(gòu)建非厄米拓?fù)潴w邊對應(yīng)關(guān)系.然而,過去關(guān)于非厄米趨膚效應(yīng)的討論主要針對開放邊界條件,如果采用疇壁邊界條件,廣義布里淵區(qū)和非布洛赫拓?fù)鋽?shù)的計(jì)算都需要重新考慮.本文綜述了近幾年關(guān)于疇壁邊界條件下非厄米趨膚效應(yīng)的若干研究工作,首先從一般的一維非厄米單帶模型出發(fā),推導(dǎo)廣義布里淵區(qū)方程的一般形式;然后回顧了非厄米SSH (Su-Schieffer-Heeger)模型中廣義布里淵區(qū)和非布洛赫拓?fù)鋽?shù)的計(jì)算;最后在一維光量子行走的系統(tǒng)中,介紹了實(shí)驗(yàn)上非厄米趨膚效應(yīng)的實(shí)現(xiàn)和非厄米拓?fù)溥吘墤B(tài)的探測.

1 引言

在孤立的量子系統(tǒng)中利用厄米型的哈密頓量來研究物相的基本性質(zhì)是量子物理研究的基本范式.然而實(shí)際上,絕對孤立的系統(tǒng)是不存在的,因此人們發(fā)展了一系列理論用于描述與環(huán)境有相互作用的系統(tǒng)的演化,其中一個最為經(jīng)典的描述就是在馬爾科夫近似下得到的Lindblad 量子主方程[1,2].量子主方程的研究常常需要涉及到非厄米的哈密頓量: 一方面,在忽略量子躍遷效應(yīng)時(shí),Lindblad型主方程可以直接近似為非厄米哈密頓量下的薛定諤方程[3,4];另一方面,如果把密度矩陣映射為雙希爾伯特空間的波函數(shù),那么其在主方程下的演化可以嚴(yán)格映射為雙空間波函數(shù)在非厄米哈密頓量下的演化[5—7].相較于量子主方程,非厄米哈密頓量的描述在形式上顯得更為簡潔,將之與傳統(tǒng)厄米哈密頓量中的各種經(jīng)典理論結(jié)合,就有可能建立新的理論框架,做出新的理論預(yù)言.如非厄米拓?fù)淠軒Ю碚摰陌l(fā)展就是將非厄米哈密頓量與傳統(tǒng)拓?fù)淠軒ЫY(jié)合的典型范例[8—12].此外,近年來隨著實(shí)驗(yàn)技術(shù)的發(fā)展,人們有能力在越來越多的物理系統(tǒng)中模擬非厄米哈密頓量[13—19],這進(jìn)一步促使人們探索非厄米系統(tǒng)中的種種新奇現(xiàn)象.其中廣受關(guān)注的一個成果就是關(guān)于非厄米趨膚效應(yīng)的研究[20—25].

非厄米趨膚效應(yīng)指的是在非厄米系統(tǒng)中,體態(tài)波函數(shù)局域在邊界附近的現(xiàn)象.為了刻畫這種效應(yīng),需要將傳統(tǒng)的布洛赫能帶理論修正為非布洛赫能帶理論.以一維系統(tǒng)為例,在傳統(tǒng)的布洛赫能帶理論中,無論是開邊界條件還是周期邊界條件,體態(tài)波函數(shù)都滿足布洛赫波的形式ψ(x)=eikx.然而在非厄米系統(tǒng)中,周期邊界條件下的體態(tài)波函數(shù)依然是布洛赫波;但是對于存在邊界的系統(tǒng),波函數(shù)有可能會局域在邊界附近,其體態(tài)波函數(shù)會滿足ψ(x)=βx的形式,其中β=reik,r和k都是實(shí)數(shù).這里的β會在復(fù)平面內(nèi)形成一條封閉曲線,被稱為廣義布里淵區(qū).在不同的系統(tǒng)中,不同邊界條件下求解這條封閉曲線的方程被稱為廣義布里淵區(qū)方程.基于廣義布里淵區(qū)可以正確地計(jì)算不同邊界下的實(shí)空間連續(xù)譜,即非布洛赫能帶.非布洛赫能帶理論最初的一個成功應(yīng)用就是在非厄米拓?fù)鋯栴}中.在廣義布里淵區(qū)上做積分得到的非布洛赫拓?fù)鋽?shù),可以正確地預(yù)測系統(tǒng)中拓?fù)溥吘墤B(tài)的產(chǎn)生與消失,而布洛赫拓?fù)鋽?shù)做不到這一點(diǎn)[21].這一案例表明,廣義布里淵區(qū)和非布洛赫能帶理論對理解和描述非厄米系統(tǒng)有著重要的意義.

非厄米趨膚效應(yīng)被提出以來就吸引了凝聚態(tài)理論各界的廣泛關(guān)注,非布洛赫能帶理論取得了蓬勃發(fā)展,出現(xiàn)了很多重要成果[26—43],如開邊界條件下一維系統(tǒng)中廣義布里淵區(qū)方程的一般形式[26]量子主方程中的非厄米趨膚效應(yīng)[32,34,37,38]、非厄米趨膚效應(yīng)的拓?fù)淦鹪碵29,30]等.以上絕大多數(shù)的討論都是針對開邊界條件,而廣義布里淵區(qū)方程對邊界條件的依賴非常敏感,所以此時(shí)研究多種不同邊界條件下的廣義布里淵區(qū)是十分重要且必要的.本文重點(diǎn)關(guān)注疇壁邊界條件下的非厄米趨膚效應(yīng)[17,44].疇壁邊界條件指的是把兩塊不同參數(shù)的材料拼接在一起形成的一種空間結(jié)構(gòu),在拓?fù)淠軒Ю碚撗芯恐杏兄鴱V泛的應(yīng)用[45—47].一方面,在該系統(tǒng)中研究廣義布里淵區(qū)可以幫助構(gòu)建疇壁邊界條件下的非厄米體邊對應(yīng)關(guān)系;另一方面,在很多量子模擬的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中,疇壁邊界條件比開邊界條件更容易實(shí)現(xiàn)(如光量子行走系統(tǒng)),因此對疇壁邊界條件下非厄米系統(tǒng)的深入研究也為實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)非厄米趨膚效應(yīng)提供了更多的可能.

本文分為以下幾個部分對疇壁邊界條件下非厄米趨膚效應(yīng)的相關(guān)研究展開綜述: 第2 節(jié)介紹在一般的一維單帶緊束縛模型中,廣義布里淵區(qū)方程的推導(dǎo);第3 節(jié)以非厄米SSH (Su-Schieffer-Heeger)模型為例,介紹疇壁邊界條件下非布洛赫能帶理論的應(yīng)用,以及非厄米拓?fù)潴w邊對應(yīng)關(guān)系的構(gòu)建;第4 節(jié)探討非厄米趨膚效應(yīng)在一維量子行走體系中的實(shí)現(xiàn)方案,并再次應(yīng)用非布洛赫能帶理構(gòu)建非厄米拓?fù)潴w邊對應(yīng)關(guān)系,最后討論實(shí)驗(yàn)上對拓?fù)溥吘墤B(tài)的探測.

2 疇壁邊界條件下廣義布里淵區(qū)的計(jì)算

本節(jié)從一維單帶模型出發(fā),推導(dǎo)疇壁邊界條件下的廣義布里淵區(qū)方程.考慮由兩個區(qū)域組成的一維單帶模型,兩個區(qū)域在邊界拼接到一起,形成疇壁邊界條件.如圖1 所示,其哈密頓量可寫作代表左右兩個區(qū)域內(nèi)部相差n個格點(diǎn)的躍遷,m代表最大躍遷幅度.而tM,n代表所有跨越邊界的躍遷.圖2 給出了該模型中哈密頓量的所有本征波函數(shù)分布圖,可以看到,當(dāng),哈密頓量是非厄米的,波函數(shù)局域在了兩個疇壁附近,即非厄米趨膚效應(yīng).在遠(yuǎn)離邊界的左邊(右邊)區(qū)域內(nèi)部,系統(tǒng)具有平移對稱性,實(shí)空間波函數(shù)可分別表示為這里的βx可視作厄米哈密頓量中布洛赫波形式 eikx的推廣.對于給定的能量E,通過分析實(shí)空間的薛定諤方程可以得到特征方程hα(βα)=E,其中

圖1 疇壁邊界條件下的一維單帶模型示意圖,格點(diǎn)首尾相連形成環(huán)狀結(jié)構(gòu).躍遷距離最遠(yuǎn)為mFig.1.Illustration of single-band lattice model under domain-wall configuration.The hopping distance is m at most.

圖2 波函數(shù)在實(shí)空間的分布圖.其中 m =2,tM,1=tM,2=tM,-1=tM,-2=1,t L,-2=4,t L,-1=-1,t L,1=3,tL,2=2,t R,-2=2,t R,-1=1,t R,1=3,t R,2=-2,N=30Fig.2.Wave-function distribution in real space.Here,m=2,t M,1=tM,2=tM,-1=tM,-2=1,t L,-2=4,tL,-1=-1,t L,1=3,t L,2=2,t R,-2=2,t R,-1=1,tR,1=3,t R,2=-2,N =30 .

其中,Cn(Dn)是通解中的待定系數(shù).需要注意的是此時(shí)得到的通解形式只考慮了哈密頓量左右區(qū)域內(nèi)部的躍遷tL,n和tR,n,而沒有考慮跨越邊界的躍遷tM,n.這是因?yàn)閠M,n作用在了邊界附近的 4m個格點(diǎn),只有當(dāng)討論邊界條件時(shí)才會引入tM,n的影響.

接下來把通解波函數(shù)代入到疇壁邊界條件下的哈密頓量中,得到 4m個邊界方程:

這里n=1,2,3,···,N,因此(12)式在熱力學(xué)極限下可求得無窮多個解[21].綜上,|η2m|=|η2m+1|即為廣義布里淵區(qū)方程,據(jù)此可以求出疇壁邊界條件下的廣義布里淵區(qū)和非布洛赫能帶的能量.值得注意的一點(diǎn)是,廣義布里淵區(qū)的計(jì)算與tM,n參數(shù)的具體取值無關(guān).這體現(xiàn)出廣義布里淵區(qū)方程具有抗干擾性,只要兩塊材料在邊界上相連,相連處躍遷參數(shù)的擾動并不會影響兩塊體材內(nèi)部廣義布里淵區(qū)的計(jì)算結(jié)果.

3 非厄米SSH 模型

本節(jié)將回顧疇壁邊界條件下的非厄米SSH 模型[44].以此模型為例,具體闡釋廣義布里淵區(qū)的計(jì)算,并將之應(yīng)用到非厄米能帶理論中,計(jì)算非布洛赫能量和非布洛赫拓?fù)鋽?shù),驗(yàn)證疇壁邊界條件下非厄米系統(tǒng)中的體邊對應(yīng)關(guān)系.

3.1 模 型

如圖3 所示,考慮疇壁邊界條件下的非厄米SSH 模型.開邊界條件下的非厄米SSH 模型過去有過許多討論[48,49],而在文獻(xiàn)[21]中首次利用廣義布里淵區(qū)概念解釋了該模型中反常的體邊對應(yīng)現(xiàn)象.而疇壁邊界條件下非厄米SSH 模型的哈密頓量可寫作

圖3 疇壁邊 界條件 下的非厄米SSH 模 型.在左邊(右邊)區(qū)域元胞內(nèi)部a 子格到b 子格的躍遷是-γ/2,而元胞內(nèi)部b 子格到a 子格的是 t L1(R)+γ/2 .此外,疇壁兩邊不同區(qū)域具有相同的 t2 和 γ [44]Fig.3.A non-Hermitian SSH model with two bulks.For left(right) bulk,the intra-cell hopping from a-site to b-site is-γ/2while the intra-cell hopping from b-site to asite is +γ/2 .Also,different bulks holds same t2 and γ[44].

該模型具有手征對稱性σzh(k)σz=-h(k) 和非厄米趨膚效應(yīng),是一個探討非厄米趨膚效應(yīng)和非厄米拓?fù)淠軒Ю碚摰慕?jīng)典模型.開邊界條件下的非厄米SSH 模型已經(jīng)有過詳細(xì)的討論[21],在本節(jié)后面的部分,將集中討論疇壁邊界條件下非厄米SSH 模型中廣義布里淵區(qū)的計(jì)算方法,并基于此構(gòu)建非厄米拓?fù)潴w邊對應(yīng)關(guān)系.

3.2 廣義布里淵區(qū)

本節(jié)采用第2 節(jié)中的方法,具體探討廣義布里淵區(qū)的計(jì)算.首先可以將實(shí)空間哈密頓量中特定能量的本征態(tài)寫作

(18)式可化作一個關(guān)于β的一元二次方程,方程有兩個根,所以(16)式中的nmax取 2 .

將(15)式,(19)式和(20)式代入邊界條件:

由第2 節(jié)中相似的邏輯便可判斷,體態(tài)的波函數(shù)解的數(shù)目一定正比于N,為了滿足這一點(diǎn),集合{ηi|i=1,2,3,4}中的元素一定滿足

這就是疇壁邊界條件下非厄米SSH 模型的廣義布里淵區(qū)方程.(29)式與文獻(xiàn)[44]中所給的廣義布里淵區(qū)方程完全一致,是一個更為簡潔的形式.

接下來詳細(xì)闡述如何由廣義布里淵區(qū)方程計(jì)算得到廣義布里淵區(qū)和非布洛赫能帶.形式上,(29)式是關(guān)于4 個變量βL,1,βL,2,βR,1,βR,2的方程.但是從(18)式可以看到,所有的ηi都由能量E決定,所以方程(29)中只有一個獨(dú)立的復(fù)變量(在非厄米系統(tǒng)中E和β一般都是復(fù)數(shù)).因此在方程(29) 的約束下,便可確定任意一個βα,n在復(fù)平面內(nèi)形成的封閉曲線.具體來講,可以從βL,1=reip出發(fā),先將完整的復(fù)變量βL,1=reip形式代入(18)式中,計(jì)算能量E,再通過能量計(jì)算βL,2,βR,1,βR,2.然后把求得的所有{1/βL,1,1/βL,2,βR,1,βR,2}進(jìn)行排序,代入方程(29)中.于是方程(29)將變成一個關(guān)于r和p方程,遍歷p∈[0,2π),便可得到r關(guān)于p的函數(shù),由此便可繪制左邊區(qū)域的廣義布里淵區(qū)的其中一支解.依照此法可求得所有的βα,n.

圖4(c)和圖4(d)分別給出了左邊區(qū)域和右邊區(qū)域的廣義布里淵區(qū).在開邊界條件下的非厄米SSH 模型中,廣義布里淵區(qū)的方程寫作|β1|=|β2|,因此β的兩支解會在復(fù)平面內(nèi)重合.僅將邊界條件改為疇壁邊界條件后,就會得到完全不同的廣義布里淵區(qū),這也印證了非厄米趨膚效應(yīng)對邊界條件變化的敏感性.

圖4 (a),(b)體態(tài)波函數(shù)的理論(黑線)和數(shù)值(綠點(diǎn))結(jié)果,(a)圖的鏈長為 N =20,(b) 圖的鏈長為 N =40 .(c) 復(fù)平面內(nèi)βL,1(紅色點(diǎn)劃線)和 β L,2 (藍(lán)色虛線)表示的左鏈的非布洛赫布里淵區(qū).(d) 復(fù)平面內(nèi) β R,1 (紅色點(diǎn)劃線)和 β R,2 (藍(lán)色虛線)表示的右鏈的非布洛赫布里淵區(qū).在圖(c)和圖(d)中,取熱力學(xué)極限 N →∞ 并且用黑色實(shí)線畫出了布洛赫布里淵區(qū)作為對比.在所有的子圖中,選取的參數(shù)為=-t2,=1.5t2,γ =1.33t2 [44]Fig.4.(a),(b) Theoretical (black lines) and numerical (green dots) results of bulk-state energy spectrum.The length of chain is N=20 for panel (a) and N =40 for panel (b).(c) Non-Bloch Brillouin zones of the left bulk,represented by β L,1 (red dash-dotted line) and β L,2 (blue dashed line) on the complex plane.(d) Non-Bloch Brillouin zones of the right bulk,represented byβR,1(red dash-dotted line) and β R,2 (blue dashed line) on the complex plane.In panels (c) and (d),we take the thermodynamic limit N →∞,and we also plot the Bloch Brillouin zones with black solid lines for comparison.For all subplots,we take =-t2,=1.5t2,γ =1.33t2 [44].

我們又將廣義布里淵區(qū)與布里淵區(qū) eik在復(fù)平面上形成的單位圓做對比.需要注意的是,在兩種情況下,廣義布里淵區(qū)會退化為單位圓.一種情況是當(dāng)哈密頓量為厄米的γ=0,另一種情況是系統(tǒng)具有周期邊界條件=.這表明非厄米趨膚效應(yīng)是系統(tǒng)非厄米性與邊界條件共同作用的結(jié)果.

此外,本文還基于廣義布里淵區(qū)和特征方程,繪制了非布洛赫能帶(見圖4(a)和圖4(b)),并將之與實(shí)空間嚴(yán)格對角化哈密頓量的能譜作對比.可以看到在N=20 和N=40 的情況下,數(shù)值計(jì)算的能譜和廣義布里淵區(qū)的理論得到的非布洛赫能帶符合得很好,并且隨著N的增大,兩者的差距變得更小.這充分說明本文計(jì)算得到的廣義布里淵區(qū)在疇壁邊界條件下可以精確刻畫熱力學(xué)極限下實(shí)空間的本征能譜.

3.3 非布洛赫拓?fù)鋽?shù)與拓?fù)潴w邊對應(yīng)關(guān)系

本節(jié)基于3.2 節(jié)得到的廣義布里淵區(qū),計(jì)算疇壁邊界條件下的非布洛赫拓?fù)洳蛔兞?構(gòu)建非厄米系統(tǒng)中的拓?fù)潴w邊對應(yīng)關(guān)系.由系統(tǒng)的布洛赫哈密頓量(14)可知,系統(tǒng)具有手征對稱性,其拓?fù)洳蛔兞靠梢杂蒢ak 相定義:

這里νL和νR分別代表左邊區(qū)域和右邊區(qū)域的拓?fù)鋽?shù),兩者之差如果非0,疇壁上就會出現(xiàn)邊緣態(tài),這就是傳統(tǒng)意義上疇壁邊界條件下的體邊對應(yīng)關(guān)系.但是對于非厄米系統(tǒng)來說,需采用非布洛赫能帶理論,將積分區(qū)間從布里淵區(qū)修正為廣義布里淵區(qū).因此將β=r(p)eip和h(β) 代入(30)式便可得到非布洛赫拓?fù)鋽?shù)的計(jì)算公式:

需要注意的是,從圖4(c)和圖4(d)可以看出,廣義布里淵區(qū)方程一般會求得r(p) 的兩支解,也就是說(32)式中有兩個可以選擇的積分區(qū)間分別對應(yīng)βα,1和βα,2在復(fù)平面上形成的封閉曲線.在非厄米SSH 模型中可以證明,同一個參數(shù)下求得的兩個廣義布里淵區(qū)上積分得到的非布洛赫拓?fù)鋽?shù)是一致的[44].

圖5(d)—(f)分別把布洛赫和非布洛赫拓?fù)鋽?shù)和數(shù)值計(jì)算的能譜做對比,確認(rèn)了非布洛赫體邊對應(yīng)性.在厄米的情況下γ=0,非布洛赫和布洛赫拓?fù)鋽?shù)的結(jié)果一致,即當(dāng)時(shí)系統(tǒng)存在零模.隨著γ增加,布洛赫和非布洛赫拓?fù)鋽?shù)之間的區(qū)別便顯現(xiàn)出來,左右區(qū)域非布洛赫拓?fù)鋽?shù)的差值可以正確地預(yù)測邊緣零模的出現(xiàn)與消失,而布洛赫拓?fù)鋽?shù)無法做到這一點(diǎn).這進(jìn)一步說明,相比于布洛赫拓?fù)鋽?shù),基于廣義布里淵區(qū)的非布洛赫拓?fù)鋽?shù)更能正確地判斷系統(tǒng)拓?fù)湫再|(zhì)的變化.

圖5 (a)—(c)顏色欄在 - 平面能譜絕對值的最小值.這里選取 N =40 .圖(a)中 γ =0,圖(b)中 γ =0.67 t2,圖(c)中γ=1.33 t2 .黑色線對應(yīng)參數(shù)=,此時(shí)疇壁構(gòu)型會退化回周期邊界條件的均勻格點(diǎn)模型.玫紅色的虛線對應(yīng)的參數(shù)為=-.圖(a)—(c)里的紅色點(diǎn)劃線給出了用在圖(d)—(f)里的參數(shù),即=1.5 t2 .(d)—(f)能譜絕對值(上部)和拓?fù)鋽?shù)(下部).圖中下部給出了左鏈的布洛赫拓?fù)鋽?shù) νL (玫紅虛線) 和右鏈的非布洛赫拓?fù)鋽?shù) ν R (黑色虛線),以及左鏈的非布洛赫拓?fù)鋽?shù) (紅色實(shí)線)和右鏈的非布洛赫拓?fù)鋽?shù) (藍(lán)色實(shí)線)[44]Fig.5.(a)—(c) Contour plots of absolute values of the energy-spectrum minimum on the -plane.Here,we take N =40 .We also take γ =0 for (a),γ =0.67 t2 for (b) and γ =1.33 t2 for (c).The black solid lines are given by =,where the domainwall configuration is reduced to single homogeneous bulk with a periodic boundary condition.The magenta dashed lines are given by =-.The red dashed-dotted line in panels (a)—(c) correspond to parameters we use in panels (d)—(f) with =1.5 t2 .(d)—(f) The absolute values of the energy spectrum (upper panels) and various winding numbers (lower panels).In the lower panel,we show the Bloch winding numbers for the left bulk νL (magenta dashed lines) and the right bulk ν R (black dashed lines),as well as non-Bloch winding numbers for the left bulk (red solid lines) and the right bulk (blue solid lines)[44].

此外,我們還發(fā)現(xiàn),即使疇壁某一側(cè)的參數(shù)不變化,其非布洛赫拓?fù)鋽?shù)的計(jì)算卻依賴于廣義布里淵區(qū),進(jìn)而會受到另一側(cè)參數(shù)的影響.例如,圖5(f)中右側(cè)區(qū)域的非布洛赫拓?fù)鋽?shù)會在0.16 附近從 0 變化為 0.5,而此時(shí)右鏈的參數(shù)始終保持不變.這是疇壁邊界條件下的非厄米系統(tǒng)又一個獨(dú)特的性質(zhì).

4 一維量子行走體系中的非厄米趨膚效應(yīng)

在第3 節(jié)討論的非厄米SSH 模型中,已經(jīng)從理論上推導(dǎo)了廣義布里淵區(qū)和非布洛赫拓?fù)鋽?shù),并基于此重新構(gòu)建了非厄米系統(tǒng)中的拓?fù)潴w邊對應(yīng)關(guān)系.但是如何在實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中模擬非厄米趨膚效應(yīng)并驗(yàn)證非厄米體邊對應(yīng)關(guān)系,依然是一個重要的問題.本節(jié)將介紹如何在一維光量子行走的實(shí)驗(yàn)平臺中模擬具有非厄米趨膚效應(yīng)的有效哈密頓量,并在該模型中討論廣義布里淵區(qū)和非布洛赫拓?fù)鋽?shù)的計(jì)算,再次驗(yàn)證非厄米體邊對應(yīng)關(guān)系[17].

4.1 模 型

量子行走是一類高度可控的周期驅(qū)動系統(tǒng),被廣泛應(yīng)用于量子算法[50,51]和量子模擬[52—55]的研究.近些年來,人們開始致力于在離散量子行走平臺中模擬和研究非厄米拓?fù)湎郲56—58],這為研究具有非厄米趨膚效應(yīng)的拓?fù)浞瞧接鼓Ｐ吞峁┝艘粋€良好的基礎(chǔ).

在量子行走系統(tǒng)中,選定如下的非幺正時(shí)間演化算符:

通過對角化實(shí)空間的時(shí)間演化算符,得到了所有的本征態(tài)波函數(shù),如圖6(b)所示.可以看到,隨著γ的增加,體態(tài)波函數(shù)會漸漸局域在疇壁邊界附近.由此可以判斷系統(tǒng)具有非厄米趨膚效應(yīng).該模型還具有手征對稱性,σxUσx=U-1,所以也可以在其中探討非厄米拓?fù)湎嘧兒腕w邊對應(yīng)關(guān)系.接下來將在第4.2 節(jié)討論該模型中的廣義布里淵區(qū)的計(jì)算,在第4.3 節(jié)討論非布洛赫拓?fù)鋽?shù)的計(jì)算.

圖6 具有非厄米趨膚效應(yīng)的量子行走 (a) 疇壁邊界條件示意圖;(b) 體態(tài)波函數(shù)(黑色)和邊緣態(tài)波函數(shù)(紅色)的空間分布,其中是手征對稱算符的本征態(tài);(c) 左邊(右邊)區(qū)域的廣義布里淵區(qū) β L(R),i,i=1,2 代表 β 有兩支解.標(biāo)準(zhǔn)的廣義布里淵區(qū)是單位圓(黑色實(shí) 線).參數(shù)選取為 N =30 ,=0.1875π,=-0.3333π,=0.2π,=-0.6667π,以及 γ =0.5 [17]Fig.6.Quantum walks with non-Hermitian skin effect: (a) Schematic illustration of the domain-wall configuration.(b) Spatial distribution of the projected norms of bulk (black) and edge (red) states,withare eigenstates of the chiral-symmetry operator.(c) Generalized Brillouin zones for left (right) bulk β L(R),i,i =1,2 indicates two solutions of β .Whereas the standard Brillouin zones are indicated by unit circles (solid black line).Parameters: N =30,=0.1875π,=-0.3333π,=0.2π,=-0.6667π,γ=0.5 [17].

4.2 廣義布里淵區(qū)的計(jì)算

為了計(jì)算廣義布里淵區(qū),先給出波函數(shù)本征態(tài)的通解形式:

于是便可得到形式上與(29)式完全一樣的廣義布里淵區(qū)方程,并可按照3.2 節(jié)中的方法求解廣義布里淵區(qū).圖6(c)給出了左右區(qū)域廣義布里淵區(qū)的例子.

4.3 非布洛赫拓?fù)鋽?shù)與體邊對應(yīng)關(guān)系

接下來,基于廣義布里淵區(qū),計(jì)算量子行走模型中的非布洛赫拓?fù)鋽?shù).需要注意的是,量子行走是周期驅(qū)動系統(tǒng),即使是對于傳統(tǒng)的幺正時(shí)間演化算符,其拓?fù)湫再|(zhì)與靜態(tài)哈密頓量的情況也有所區(qū)別.對于靜態(tài)哈密頓量,如系統(tǒng)滿足手征對稱性,那么其能譜一定是關(guān)于E=0 對稱分布,能隙也一定出現(xiàn)在零能處.但是對于周期驅(qū)動的系統(tǒng)來說,其準(zhǔn)能量分布在 [-π,π) 區(qū)間,如果系統(tǒng)有手征對稱性,那么準(zhǔn)能量不僅關(guān)于E=0 對稱,也關(guān)于E=π對稱,所以拓?fù)浣^緣體的能隙會出現(xiàn)在準(zhǔn)能量ε=0 和ε=π 兩個位置.因此當(dāng)系統(tǒng)處于拓?fù)浞瞧接箙^(qū)時(shí),其邊緣態(tài)能量會有 0 和 π 兩個模式,相應(yīng)地,也需計(jì)算 0 模和 π 模兩種拓?fù)鋽?shù)ν0和νπ.關(guān)于Floquet 系統(tǒng)中的拓?fù)淅碚?在過往的文章中有過很多討論[59—63].這里先對布洛赫拓?fù)鋽?shù)ν0和νπ的計(jì)算方法做簡單介紹.首先可以定義另一個時(shí)間框架下的時(shí)間演化算符:

U′和U相當(dāng)于選取了不同的時(shí)間起始點(diǎn),他們具有相同的準(zhǔn)能量能譜,都滿足手征對稱性,對稱性算符均為σx.然后參照(30)式中的方法,分別計(jì)算不同時(shí)間框架下的布洛赫拓?fù)鋽?shù)ν和ν′.注意(30)式中的χk和ψk分別是時(shí)間演化算符的左右本征矢,定義為

對于傳統(tǒng)的幺正量子行走系統(tǒng),ν0(π)即可預(yù)測系統(tǒng)0(π)模的拓?fù)溥吘墤B(tài),但是在本文討論的非幺正量子行走系統(tǒng)中,布洛赫拓?fù)鋽?shù)并不能正確地刻畫非厄米系統(tǒng)中的拓?fù)湫再|(zhì),因此,還需根據(jù)廣義布里淵區(qū)的計(jì)算結(jié)果和拓?fù)鋽?shù)的計(jì)算公式(32),計(jì)算不同框架下的非布洛赫拓?fù)鋽?shù)和,進(jìn)而得到0(π)模的非布洛赫拓?fù)鋽?shù):

圖7 黑色實(shí)線為準(zhǔn)能量能譜,紅色實(shí)線和藍(lán)色實(shí)線分別代表零模拓?fù)洳蛔兞康牟钪岛?π 模拓?fù)洳蛔兞康牟钪?灰色虛線和橙色虛線分別代表左右兩邊零模拓?fù)洳蛔兞康牟钪岛?π 模拓?fù)洳蛔兞康牟钪?藍(lán)色點(diǎn)代表圖8 選取的參數(shù).參數(shù)選 擇: =9π/16,=π/4,=3π/4,以 及γ=0.2746[17]Fig.7.Black solid line represents quasienergy spectrum.Red solid line and blue solid line represents zero-mode and π-mode topological invariant difference,respectively.Grey dashed line and orange dashed line represents zero-mode and π -mode topological invariant difference,respectively.The blue dot indicates the parameter for Fig.8.Parameters:=9π/16,=π/4,=3π/4,and γ =0.2746 [17].

4.4 實(shí)驗(yàn)探測邊緣態(tài)

前面幾節(jié)已經(jīng)在理論上驗(yàn)證了非布洛赫拓?fù)鋽?shù)與非厄米系統(tǒng)中邊緣態(tài)的對應(yīng)關(guān)系,但是如何在實(shí)驗(yàn)上探測非厄米系統(tǒng)中的邊緣態(tài)依然是一個具有挑戰(zhàn)性的問題.由于非厄米趨膚效應(yīng)的存在,邊緣態(tài)的波函數(shù)分布和體態(tài)波函數(shù)一樣,都是局域在邊界上,因此很難通過直接測量波函數(shù)在實(shí)空間分布的方法識別出拓?fù)溥吘墤B(tài).為了克服這一困難,我們通過對每一步時(shí)間演化的波函數(shù)加權(quán)求和的方法直接將邊緣態(tài)模式提取出來.具體方法如下.首先定義

然后,把含時(shí)演化的波函數(shù)在本征態(tài)上做展開,得到

如果準(zhǔn)能量能譜為純實(shí)數(shù)時(shí),那么對于Enε的本征態(tài),其加權(quán)系數(shù)也就是說只要時(shí)間演化足夠長,加權(quán)求和的波函數(shù)|Φ0,π(t)〉中只會留下能量為En=0,π 的本征態(tài),也就是0 模和 π 模的拓?fù)溥吘墤B(tài).需要注意的是,在非幺正量子行走系統(tǒng)中,準(zhǔn)能量能譜不一定總是純實(shí)數(shù),所以需要選取準(zhǔn)能量為純實(shí)數(shù)的參數(shù)區(qū)間進(jìn)行探測.

圖8 給出了將該方法應(yīng)用到實(shí)驗(yàn)上得到的觀測結(jié)果.在拓?fù)洳蛔兞繚M足=(0,-1) 的參數(shù)點(diǎn),對于不同的初態(tài)選取,實(shí)驗(yàn)上都探測到了Φπ,+(x)的模式,并且其他模式占據(jù)很小.圖8(d)—(f)中也將觀測所得到的Φπ,+(x) 與實(shí)空間數(shù)值對角化得到的邊緣態(tài)模式波函數(shù)做了對比.由兩者相符可以看出Φπ,+(x) 的確提取到了ε=π 的本征邊緣態(tài)模式.在實(shí)驗(yàn)上觀測得到的拓?fù)溥吘墤B(tài)與非布洛赫拓?fù)洳蛔兞恳恢?這也再一次印證了基于廣義布里淵區(qū)構(gòu)建的非厄米拓?fù)潴w邊對應(yīng)關(guān)系.

圖8 (a)—(c) 不同初態(tài)選擇下,7 步演化之后實(shí)驗(yàn)測量得到的 Φ ε,μ(x) ; (d)—(f) 數(shù)值模擬得到 Φ π,+(x) 和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對比.圖中還給出了數(shù)值對角化 N =15 的疇壁系統(tǒng)對峰值進(jìn)行縮放之后的結(jié)果.對角化得到的邊緣態(tài)進(jìn)行縮放的比例通過擬合Φπ,+(x)的中心峰值得到.其他參數(shù)與圖7 相同[17]Fig.8.(a)—(c) Experimentally measured Φ ε,μ(x) after the seventh step with different initial states;(d)—(f) simulated Φ π,+(x) compared with experimental result.We also show the scaled norms of the edge state with ε =π by diagonalizing a domain-wall system with N =15 .Norms of the edge states from diagonalization are scaled to fit the central peak of the numerically-simulated Φ π,+(x) .Other parameters are as same as Fig.7[17].

5 總結(jié)與展望

本文主要介紹了疇壁邊界條件下具有非厄米趨膚效應(yīng)的系統(tǒng)中廣義布里淵區(qū)方程的推導(dǎo)與求解,并由此出發(fā)討論了非布洛赫能帶理論在非厄米SSH 模型和非幺正一維量子行走實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭械膽?yīng)用.基于廣義布里淵區(qū)計(jì)算的非布洛赫拓?fù)鋽?shù)可以正確預(yù)測疇壁系統(tǒng)中的拓?fù)溥吘墤B(tài),這印證了非布洛赫能帶理論在不同邊界條件下非厄米系統(tǒng)中的有效性.在不同模型中,疇壁邊界條件下的廣義布里淵區(qū)方程有一個統(tǒng)一的方程形式,對該方程背后物理內(nèi)涵的充分理解,或許可以幫助我們找到一個對多種邊界條件都普適的廣義布里淵區(qū)方程.此外,不同邊界條件下的高維系統(tǒng)中,廣義布里淵區(qū)的計(jì)算分析也尚未被充分討論,有待于日后進(jìn)一步探索.