基于驅(qū)動譜迭代修正算法的三軸隨機(jī)振動控制研究

陳廣初，鄧彬，陳旭雯

(1.佛山市南海區(qū)質(zhì)量技術(shù)監(jiān)督檢測所，廣東佛山 528200;2.浙江大學(xué)流體動力與機(jī)電系統(tǒng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江杭州 310027;3.浙江譜麥科技有限公司，浙江寧波 315103)

0 前言

振動試驗(yàn)的目的是通過模擬設(shè)備或者產(chǎn)品在真實(shí)環(huán)境中所受到的各種振動激勵，來研究振動環(huán)境對產(chǎn)品可靠性的影響過程和程度，廣泛應(yīng)用于航空航天、機(jī)械制造、車輛與船舶、橋梁與建筑等眾多工程測試和結(jié)構(gòu)減振領(lǐng)域。振動試驗(yàn)系統(tǒng)從激振方向上分為單軸和多軸振動試驗(yàn)系統(tǒng)，從激勵數(shù)目上分為單點(diǎn)激勵和多點(diǎn)激勵振動試驗(yàn)系統(tǒng)。多軸多激勵振動試驗(yàn)系統(tǒng)可提供更大的推力，實(shí)現(xiàn)應(yīng)力的非均勻分布，提高信號的信噪比，縮短試驗(yàn)時間，提高故障的發(fā)現(xiàn)率等。

美國學(xué)者SMALLWOOD分析了單軸多激勵、多軸多激勵振動實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)隨機(jī)振動控制驅(qū)動信號閉環(huán)修正算法，解決了多輸入多輸出耦合控制問題。國內(nèi)高貴福等將矩陣微分法應(yīng)用到多維隨機(jī)振動控制中，實(shí)現(xiàn)了對自功率譜密度、互譜密度、互譜相位和相干系數(shù)的同時控制。但是矩陣微分法需要進(jìn)行矩陣分解和矩陣微分等運(yùn)算，計算量大，對振動控制器性能要求高，不利于實(shí)時應(yīng)用。本文作者針對一類低相干系數(shù)的多軸隨機(jī)振動試驗(yàn)場景，利用牛頓法建立了驅(qū)動譜迭代修正算法，該算法無需進(jìn)行復(fù)雜的矩陣分解或微分等運(yùn)算，易于實(shí)時應(yīng)用；進(jìn)行了算法仿真和試驗(yàn)研究，結(jié)果表明：算法具有良好的控制精度，可滿足工程應(yīng)用需要。

1 基于牛頓法的驅(qū)動譜迭代修正算法推導(dǎo)

三軸振動試驗(yàn)控制系統(tǒng)可以表述為多輸入多輸出系統(tǒng)模型，如圖1所示。

圖1 多輸入多輸出系統(tǒng)模型

將圖1中的函數(shù)關(guān)系寫為頻域形式如下：

()=()()

(1)

其中:()為振動臺響應(yīng)信號頻譜向量;()為振動臺激勵信號頻譜向量;()為頻響函數(shù)矩陣。假定()為目標(biāo)參考功率譜。由參考譜對角線元素獲得目標(biāo)參考幅頻向量()，由非對角線元素獲得參考相頻參考向量(),定義振動臺控制算法第次迭代誤差為

()=()ej()-()

(2)

其中:

()ej()=[()e(),()e(),,

()e()]

(3)

()=[(),(),,()]

(4)

()=[(),(),,()]

(5)

定義目標(biāo)函數(shù)如下：

(6)

此時方程(6)的解，即為使得誤差()=0時的最優(yōu)驅(qū)動譜()。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)牛頓法，驅(qū)動譜()迭代方程為

(7)

牛頓法引入了目標(biāo)函數(shù)的二階導(dǎo)，是一種高效的最優(yōu)迭代算法。在工程應(yīng)用中，為防止迭代過快造成的系統(tǒng)失穩(wěn)，通常采用一個固定步長因子來限制驅(qū)動譜迭代步進(jìn)值，從而提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。求解方程(7)，并加入步長因子的驅(qū)動譜迭代修正方程為

+1()=()+g()()

(8)

文中采用了線性平均的估計方法對振動臺頻響函數(shù)矩陣進(jìn)行在線辨識，取為權(quán)重因子(0<<1)，頻響函數(shù)矩陣的在線更新方程為

(9)

圖2 驅(qū)動譜迭代修正算法框圖

2 算法收斂性分析

假設(shè)振動臺的系統(tǒng)估計頻響與真實(shí)頻響之間存在誤差，即：

(10)

式(8)左乘振動臺的真實(shí)頻響()，得：

()+1()=()()+g()()()

(11)

式(10)右乘()，并化簡得：

(12)

將式(12)代入式(11)得：

()+1()=()()+[+Δ()]()

(13)

將式(1)代入式(13)可得

+1()=()+[+Δ()]()

(14)

用參考譜向量減去式(14)兩邊，有：

+1()=()ej()-+1()=()ej()-()-

[+Δ()]()={-[+Δ()]}()

(15)

將式(15)遞歸迭代求解，可得：

(16)

為保證誤差()收斂到0，應(yīng)滿足：

(17)

按同樣的方式對式(9)遞歸展開可得

(18)

考慮振動臺頻響函數(shù)的初始值可以通過預(yù)實(shí)驗(yàn)獲得，即：

(19)

由式(18)可知，振動臺系統(tǒng)頻響估計是對真實(shí)頻響的一個加權(quán)平均估計。考慮到振動臺系統(tǒng)頻響估計是對真實(shí)頻響的一個加權(quán)平均估計，其誤差為一個有限值，即

(20)

則式(17)可以轉(zhuǎn)化為

(21)

(22)

可以解得

(23)

3 控制算法仿真試驗(yàn)

下面利用數(shù)值仿真對算法進(jìn)行驗(yàn)證。仿真系統(tǒng)采用三輸入三輸出系統(tǒng)，系統(tǒng)頻響采用單位矩陣代替，頻響估計通過向頻響矩陣輸入噪聲辨識獲得。仿真中采樣率設(shè)置為20 kHz，參考譜采用相同譜型，頻率范圍為5～2 000 Hz,其中5～80 Hz為上升譜，80～500 Hz為平譜，500～2 000 Hz為下降譜，具體自譜參數(shù)見表 1，分析譜線取為800線。

表1 隨機(jī)參考譜設(shè)置

在仿真中設(shè)置報警限為±3 dB，仿真結(jié)果如圖 3、圖 4和圖 5所示，分別是響應(yīng)1、響應(yīng)2和響應(yīng)3的自譜曲線；從圖 3—圖5中可看出：各軸向響應(yīng)的自譜控制效果較好，雖然存在波動，但是都在±3 dB報警限之內(nèi)；在轉(zhuǎn)折頻率處波動相對更大，主要原因是分析譜線限制，參考譜離散，導(dǎo)致轉(zhuǎn)折頻率附近相對存在更大誤差?？紤]到實(shí)際應(yīng)用中，試件在不同振動量級下吸收的能量不同，疲勞破壞損傷結(jié)果也相差很大，振動量級是從能量方面衡量控制結(jié)果好壞的一項重要指標(biāo)，一般用總均方根植表示振動量級。上述仿真中，響應(yīng)1、響應(yīng)2和響應(yīng)3的參考譜和響應(yīng)結(jié)果的總均方根值及誤差如表2所示，各響應(yīng)的總均方根值相對誤差都在5%以內(nèi)，從能量角度再次說明了控制算法的有效性。

圖3 響應(yīng)1自功率譜仿真結(jié)果

圖4 響應(yīng)2自功率譜仿真結(jié)果

圖5 響應(yīng)3自功率譜仿真結(jié)果

表2 參考譜和響應(yīng)結(jié)果總均方根值及相對誤差

4 三軸振動試驗(yàn)控制系統(tǒng)試驗(yàn)研究

為進(jìn)一步驗(yàn)證算法有效性，搭建了三軸振動試驗(yàn)系統(tǒng)進(jìn)行試驗(yàn)研究。三軸振動臺試驗(yàn)現(xiàn)場如圖6所示：圖(a)為總體布置圖；圖(b)為振動臺面?zhèn)鞲衅鞑贾脠D，傳感器類型為加速度傳感器，耦合方式為IEPE，靈敏度分別為：軸96.7 mV/(10 m·s)，軸95.4 mV/(10 m·s)，軸97.1 mV/(10 m·s)，圖(c)為功率放大器；圖(d)為控制器連線，從上至下為、、軸，左右兩側(cè)分別為輸出和輸入。試驗(yàn)系統(tǒng)中的三軸振動實(shí)驗(yàn)臺是由杭州億恒科技有限公司提供，振動控制器選用了由杭州億恒科技有限公司開發(fā)的PREMAX多軸振動控制器，該控制器具有110 dB動態(tài)范圍、精度高，多通道DSP(Digital Signal Processor)并行高速實(shí)時處理，可滿足文中算法實(shí)時性要求。

圖6 三軸振動臺現(xiàn)場試驗(yàn)

首先在預(yù)實(shí)驗(yàn)中，利用估計法進(jìn)行振動臺系統(tǒng)辨識。對角線系統(tǒng)辨識結(jié)果如圖7所示，非對角線系統(tǒng)辨識結(jié)果如圖8所示，系統(tǒng)辨識頻率范圍為20～2 000 Hz。

圖7 對角線傳遞函數(shù)曲線

圖8 非對角線傳遞函數(shù)曲線

由圖7和圖8可見，三軸振動臺對角線傳遞函數(shù)在傳遞特性中占絕對主導(dǎo)位置，非對角線傳遞函數(shù)較對角線小得多，但是在某些頻率位置則急劇變大，三軸之間耦合關(guān)系明顯。三軸振動臺在低頻分段具有較好的傳遞特性，而頻率較高分段(大于500 Hz)傳遞特性變差，存在明顯共振點(diǎn)和反共振點(diǎn)。

隨后進(jìn)行了隨機(jī)振動試驗(yàn)，隨機(jī)自功率譜目標(biāo)譜設(shè)置如表3所示，三軸設(shè)置相同，分析譜線為3200線。

表3 隨機(jī)參考譜設(shè)置

三軸振動臺功率譜復(fù)現(xiàn)試驗(yàn)結(jié)果如圖 9—圖 11所示。

圖9 x軸控制結(jié)果

圖10 y軸控制結(jié)果

圖11 z軸控制結(jié)果

由三軸振動試驗(yàn)系統(tǒng)功率譜控制試驗(yàn)結(jié)果可知：設(shè)置的頻率范圍內(nèi)的功率譜都達(dá)到很好的控制效果，各軸控制響應(yīng)譜均在目標(biāo)譜的±3 dB范圍內(nèi)。目標(biāo)加速度均方根值比較如表 4所示?？芍赫`差均在5%以內(nèi)，控制精度高。

表4 加速度均方根值比較

5 結(jié)論

對三軸隨機(jī)振動控制算法進(jìn)行研究，利用牛頓法建立驅(qū)動譜迭代修正方程，相比于矩陣微分多軸隨機(jī)振動控制算法，不需要進(jìn)行矩陣分解和微分運(yùn)算，易于實(shí)時應(yīng)用。對算法收斂性進(jìn)行了分析。利用數(shù)值仿真和試驗(yàn)對算法有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。在仿真和試驗(yàn)中，在目標(biāo)譜頻率范圍內(nèi)各軸上控制響應(yīng)譜均在目標(biāo)譜的±3 dB范圍內(nèi)，獲得了良好的控制精度，滿足工程試驗(yàn)要求。