α-塊對角占優(yōu)矩陣與兩類迭代法的收斂性

傅河清，蔡 靜，高壽蘭

(湖州師范學(xué)院 理學(xué)院, 浙江 湖州 313000)

塊對角占優(yōu)矩陣是具有對角占優(yōu)特性的分塊矩陣.對各種形式的塊對角占優(yōu)矩陣開展性質(zhì)和迭代法研究，有助于深入了解塊矩陣的性質(zhì)，加快線性方程組的計算速度，降低矩陣的運算規(guī)模，使大數(shù)據(jù)處理更加方便、快捷.目前，很多文獻(xiàn)討論了各類對角占優(yōu)矩陣的相關(guān)性質(zhì)和對應(yīng)線性方程組迭代法的收斂性.文獻(xiàn)[1]證明了對角占優(yōu)矩陣的非奇異性，以及當(dāng)系數(shù)矩陣對角占優(yōu)時，解線性方程組Ax=b的Jacobi迭代法和Guass-Seidel迭代法的收斂性.文獻(xiàn)[2]和[3]探討了線性方程組幾種常用迭代法的收斂性條件.文獻(xiàn)[4]提出了弱塊對角占優(yōu)矩陣的一個等價定義.文獻(xiàn)[5]給出了廣義對角占優(yōu)矩陣的判定條件，指出了廣義對角占優(yōu)矩陣與非奇異H-矩陣的等價性.文獻(xiàn)[6]利用 Ostrowski對角占優(yōu)矩陣給出了非奇異H-矩陣的判定條件.文獻(xiàn)[7]～[10]研究了乘冪形式和行列相加形式的α-對角占優(yōu)矩陣，并確定了這些矩陣的非奇異性，以及Jacobi迭代法、Guass-Seidel迭代法、SOR迭代法和AOR迭代法的收斂性.文獻(xiàn)[11]研究了塊對角占優(yōu)矩陣的非奇異性，以及塊Jacobi迭代法和塊Guass-Seidel迭代法的收斂性.文獻(xiàn)[12]探討了更廣泛的α-塊對角占優(yōu)矩陣，得到了等價表征，并拓展了塊H-矩陣的判定條件.

本文針對兩類塊α-對角占優(yōu)矩陣，證明當(dāng)線性方程組的系數(shù)矩陣為這兩類塊對角占優(yōu)矩陣時，塊Jacobi迭代法和塊Guass-Seidel迭代法均收斂.

考慮分塊矩陣：

其中，Akl=(aij)∈Cnknl，k、l=1,2,…,n,對角線上的矩陣為方陣.

則稱A為α-冪乘塊對角占優(yōu)矩陣，記為A∈GD1.

定義2[11]若對任意i=1,2,…,n，存在α∈[0,1],均滿足

則稱A為α-行列相加塊對角占優(yōu)矩陣，記為A∈GD2.

引理1[12]若A∈GD1，則det(A)≠0.

引理2[1]解線性方程組Ax=b的迭代法x(k+1)=Bx(k)+f收斂，其充分必要條件為:迭代矩陣的譜半徑ρ(B)<1.

引理3[12]若A∈GD2，則det(A)≠0.

1 主要結(jié)果

定理1若A∈GD1，則解線性方程組Ax=b的Jacobi迭代法收斂.

證明將A分裂如下：

Jacobi迭代矩陣為：

令E為B的同階單位矩陣,假設(shè)ρ(B)≥1,則存在B的某一特征值λ，滿足λ|≥1,且

det(λE-B)=det(λE+D-1(L+U))=0，

(1)

所以，當(dāng)λE-B∈GD1時，根據(jù)引理1得det(λE-B)≠0.這與式(1)矛盾，假設(shè)不成立.由此可知，當(dāng)ρ(B)<1時，解線性方程組Ax=b的Jacobi迭代法收斂.

定理2若A∈GD1，則解線性方程組Ax=b的Guass-Seidel迭代法收斂.

證明將A作同樣分裂，則Guass-Seidel迭代矩陣為：

BG=-(D+L)-1U.

假設(shè)ρ(BG)≥1,則存在BG的某一特征值λ，滿足|λ|≥1，且

det(λE-BG)=det(λE+(D+L)-1U)= det(D+L)-1det(λ(D+L)+U)= det(D+L)-1det(D)det(λ(E+D-1L)+D-1U)=0，

從而易知det(D+L)-1≠0，det(D)≠0.

det(C)=0.

(2)

因為，

Ri((λE)-1C)αSi((λE)-1C)1-α=

定理3若A∈GD2，則解線性方程組Ax=b的Jacobi迭代法收斂.

證明Jacobi迭代矩陣為：

令E為B同階單位矩陣，假設(shè)ρ(B)≥1,則存在B的某一特征值λ，滿足|λ|≥1，且

det(λE-B)=det(λE+D-1(L+U))=0，

(3)

因為，

αRi(λE-B)+(1-α)Si(λE-B)=

所以，當(dāng)λE-B∈GD2時，根據(jù)引理3得det(λE-B)≠0.這與證明中的式(3)矛盾，假設(shè)不成立.由此可得，當(dāng)ρ(B)<1時，解線性方程組Ax=b的Jacobi迭代法收斂.

定理4若A∈GD2，則解線性方程組Ax=b的Guass-Seidel迭代法收斂.

證明迭代矩陣BG=-(D+L)-1U.

假設(shè)ρ(BG)≥1,則存在λ為某一特征值，使得|λ|≥1，則有：

det(λE-BG)=det(λE+(D+L)-1U)=

det(D+L)-1det(λ(D+L)+U)=

det(D+L)-1det(D)det(λ(E+D-1L)+D-1U)=0，

從而易知det(D+L)-1≠0，det(D)≠0.

det(C)=0.

(4)

2 結(jié) 論

塊對角占優(yōu)矩陣是對角占優(yōu)矩陣在分塊矩陣領(lǐng)域的推廣，但與對角占優(yōu)矩陣相關(guān)的迭代法收斂性結(jié)果并不能直接推廣到塊對角占優(yōu)矩陣.本文在現(xiàn)有成果的基礎(chǔ)上，探討更具有一般性的塊α-冪乘塊對角占優(yōu)矩陣和塊α-行列相加塊對角占優(yōu)矩陣，證明了這些矩陣對應(yīng)的塊Jacobi迭代法和塊Guass-Seidel迭代法的收斂性.這對分塊矩陣的研究和應(yīng)用具有重要意義.