閆 妍，趙志欣

(長春師范大學數(shù)學學院，吉林 長春 130032)

0 引言

共因故障是在短時間內(nèi)或者同一時間，多個相關部件由于共同原因而發(fā)生失效的現(xiàn)象.目前，復雜的工業(yè)系統(tǒng)中共因故障普遍存在，特別是在高可靠性設備中，如核設施和航空航天器等.一般地，具有共因故障的可修復系統(tǒng)雖然會增加系統(tǒng)可靠性建模分析的難度，但是其分析結果也更接近實際情況.結合共因故障，許多學者都對系統(tǒng)可靠性進行了廣泛研究.SINGH[1]研究了具有檢測不完全和共因故障的多部件并聯(lián)系統(tǒng)，得到了系統(tǒng)有效性的測度；ALIZADEH[2]結合共因故障給出了冗余安全相關系統(tǒng)模型，分析了系統(tǒng)可靠性指標；CHENG[3]給出了具有逆變器、不可靠轉換開關和共因故障太陽能電力系統(tǒng)模型，提出了可靠性指標顯式解的算法；黃泰俊[4]提出了概率共因失效的多狀態(tài)可靠度計算方法，解決了單元和系統(tǒng)狀態(tài)丟失的問題.這些研究多集中于系統(tǒng)的可靠性及相關指標，本文將在文獻[1]的基礎上對系統(tǒng)非負時間依賴解的存在唯一性進行研究.

1 系統(tǒng)模型

系統(tǒng)由兩個相同的部件并聯(lián)組成，每個部件由C個串聯(lián)可維修的獨立組件構成.部件有兩種狀態(tài)，即工作狀態(tài)和故障狀態(tài).系統(tǒng)有一個檢測器，用于維修設備和更換設備.當部件發(fā)生故障時，檢測器進行檢測.如果檢測器成功檢測出部件中故障的組件，則維修故障組件；如果檢測器未檢測出部件中故障的組件，則更換該部件.維修遵循先壞先修的原則，維修后立即返回系統(tǒng)使用，同時假定修后如新.在維修期間，檢測器監(jiān)測維修過程.只有一個以上部件運行時共因故障才會發(fā)生.檢測、維修、共因故障和更換相互獨立，部件或組件的故障率均假定為常數(shù)，系統(tǒng)維修時間服從一般分布.

系統(tǒng)狀態(tài)如下：狀態(tài)S0表示兩部件處于工作狀態(tài)，系統(tǒng)正常運行且處于完好狀態(tài)；狀態(tài)S1，一個部件發(fā)生故障，另一個部件處于工作狀態(tài)，系統(tǒng)正常運行；狀態(tài)S2，檢測器檢測出故障部件中第c個組件故障，并對故障組件進行維修，另一部件處于工作狀態(tài)，系統(tǒng)正常運行；狀態(tài)S3，檢測器未檢測出部件中故障組件，對其進行更換，另一部件處于工作狀態(tài)，系統(tǒng)正常運行；狀態(tài)S4，對故障部件中的組件進行維修，另一部件發(fā)生故障并等待檢測，系統(tǒng)失效；狀態(tài)S5，部件發(fā)生故障并進行更換，另一部件發(fā)生故障并進行檢測，系統(tǒng)失效；狀態(tài)S6，部件發(fā)生故障并進行檢測，另一部件發(fā)生故障并等待檢測，系統(tǒng)失效；狀態(tài)S7，部件發(fā)生故障并進行更換，另一部件發(fā)生故障并檢測出第c個組件故障，故障組件進行維修，系統(tǒng)失效；狀態(tài)S8，部件發(fā)生故障并進行替換，另一部件發(fā)生故障并等待更換，系統(tǒng)失效；狀態(tài)S9，共因故障導致處于系統(tǒng)失效.結合文獻[1]，利用隨機過程并全概率分析的方法，系統(tǒng)可以用微分-積分方程組描述為

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

邊界條件為

P9(0,t)=β(P0(t)+P1(t)+P2(t)+P3(t)).

(11)

初值條件為

P0(0)=1，其余為0.

其中，P9(x)絕對連續(xù).D(B)=X，系統(tǒng)方程可以轉化為Banach空間X中的抽象Cauchy問題：

(12)

2 主要結論

系統(tǒng)轉化為抽象Cauchy問題后，為了證明該系統(tǒng)解的存在唯一性，先討論系統(tǒng)算子的相關性質(zhì).

證明 對任意給定的Y=(y0,y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7,y8,y9(x))∈X, 考慮方程(rI-A)P=Y, 即

結合邊界條件, 解得

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

由(13)～(22)并結合Fubini定理, 可以得到

定理2D(A)在X中稠.

由定理1、定理2和Hille-Yoside定理，算子A生成一個C0半群.易得‖BP‖≤N‖P‖，這里N=max{2α,pcpγ+qγ+α,μ+α,η+α,μ,η+pcpγ+qγ,pcpγ+qγ,η,η+μ,M}.顯然算子B為有界線性算子.再由C0半群有界線性算子擾動定理，則可以得到如下定理.

定理3系統(tǒng)算子A+B生成一個C0半群T(t).

定理4系統(tǒng)算子A+B是耗散算子.

證明 對?P=(P0,P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8,P9(x))T∈D(A)，取

這里，

結合邊界條件，可得

[-(α+β+pcpγ+qγ)[P1]++2α[P0]++μ[P4]++η[P5]+]+[-(α+β+μ)[P2]++

pcpγ[P1]++η[P7]+]+[-(α+β+η)[P3]++qγ[P1]++μ[P7]++η[P8]+]+

[-μ[P4]++α[P2]++pcpγ[P6]+]+[-(η+pcpγ+qγ)[P5]++α[P3]++qγ[P6]+]+

[-(pcpγ+qγ)[P6]++α[P1]+]+[-(η+μ)[P7]++pcpγ[P5]+]+[-η[P8]++qγ[P5]+]-

由定理3、定理4和Philps定理[6]，A+B生成一個正壓縮C0半群T(t).

定理5系統(tǒng)(12)存在唯一非負時間依賴解，且‖P(t,·)‖=1.