呂 睿，薛禹勝，黃天罡，薛 峰

（1. 南京理工大學自動化學院，江蘇省南京市 210094；2. 南瑞集團有限公司（國網電力科學研究院有限公司），江蘇省南京市 211106；3. 智能電網保護和運行控制國家重點實驗室，江蘇省南京市 211106）

0 引言

能源轉型［1-2］及超大規(guī)模新能源與電力電子裝備入網，給交直流混合電網的安全運行及暫態(tài)穩(wěn)定性分析（transient stability analysis，TSA）帶來巨大挑戰(zhàn)［3］。TSA 要求以盡量小的計算量提取正確的定性知識，更希望能提取定量知識。為此，必須先獲取電力系統的受擾軌跡，再從中提取定性或定量的知識。

基于受擾軌跡的TSA 失穩(wěn)判據包括：低電壓與時間所圍面積判據［4-5］、轉角軌跡包絡距離判據［6-7］、相軌跡凹凸性判據［8-9］及擴展等面積準則（extended equal area criterion，EEAC）［10］等。它們都按各自的準則選取目標變量，并從其軌跡中提取知識。評估空間可能是單個狀態(tài)變量（如轉角、轉速、加速度、電壓、或功率）的時間響應曲線，也可能是以2 個狀態(tài)變量（或函數）形成的平面軌跡，又稱為相軌跡或擴展相軌跡。

低電壓與時間所圍面積判據取振蕩中心附近的若干機組、母線或線路為對象，以其電壓與時間軌跡v（t）作為特征軌跡。文獻［4］挖掘轉角軌跡同電壓軌跡間的相關性，將關鍵母線電壓加權平均得到綜合電壓軌跡，以該軌跡對時間的積分面積來定性判穩(wěn)；文獻［5］還計入了電壓下降速率。文獻［11］則認為電壓在電流方向上的投影能更好地反映等值機群間的轉角變化，但文獻［12］認為電壓幅值與轉角擺開的動態(tài)關系非常復雜，不能支撐上述假設。

轉角軌跡包絡距離判據基于數值積分或同步相量 測 量 裝 置（synchrophasor measurement unit，PMU）獲得多機轉角軌跡δ（t）后，按其上下包絡線間的距離是否超過經驗性閾值來定性判穩(wěn)。許多文獻在可用傳輸能力計算［13］或最優(yōu)潮流［14］算法中將其作為約束條件。但由于其結果對經驗性閾值極其敏感［15］，故難以實用。

相軌跡凹凸性判據因以轉速ω與轉角δ平面為研究對象，無法用于多機系統。文獻［8］針對自治的單機無窮大（one-machine infinite-bus，OMIB）系統，以相軌跡由凹變凸的拐點來判定系統失穩(wěn)。文獻［10］指出在相平面上只可能量化失穩(wěn)軌跡的穩(wěn)定性，而無法量化穩(wěn)定軌跡的穩(wěn)定性，因此無法支持靈敏度分析及極限值搜索。

文獻［16］在假設主導模式已知的前提下，探索其在多機系統中的應用效果。但由于轉速與轉角構成的相軌跡平面上無法比較不同穩(wěn)定模式的穩(wěn)定程度，因此無法識別主導模式。文獻［17-18］提出對多機軌跡進行實時分群來識別主導模式。但是，主導模式的識別必須基于完整的受擾軌跡，而不能僅基于特定時間點處的信息。而主導模式的錯誤識別會導致相軌跡凹凸性判據出錯［9］。

為了減少在多機系統的等值單機相軌跡中由于遇到病態(tài)拐點而造成誤判的概率，文獻［16］在判據中增加了不平衡功率ΔP與轉角構成的相軌跡ΔP（δ）也呈凸特性的要求。但經驗表明，即使增加了擴展相平面中的計算量，該附加判據仍不可靠。

由加速度γ與轉速組成的擴展相平面軌跡γ（ω）的切線判據通過γ（ω）的切線在ω軸上的截距符號來判斷穩(wěn)定［10］。文獻［19］在經典模型的OMIB系統中加入定常阻尼項，但類似于相軌跡凹凸性判據，無法識別多機系統的主導模式。

EEAC 通過互補群慣量中心- 相對運動（complementary cluster center of inertia-relative motion，CCCOI-RM）的保熵降階線性變換，將該多機系統保熵解耦為一系列時變的OMIB 系統。相應地，也將整個系統的受擾軌跡映射到一系列單機映像的功率與轉角軌跡上，其上的動態(tài)鞍點（dynamic saddle point，DSP），即映像系統的鞍結分岔點，對應的系統動能則反映了失穩(wěn)的程度。

EEAC 嚴格反映了穩(wěn)定的充要條件，是針對受擾軌跡的觀察窗口而言的。其窗口后的軌跡態(tài)勢將由相應的時變特性決定。若算例主導映像的時變性足夠強，那么即使功率P與轉角構成的相軌跡P（δ）已越過某擺次的DSP，但其后仍有可能在同一方向上遇到最遠點（far end point，FEP），而表示一個穩(wěn)定擺次的結束及下一個擺次的開始。此時，該DSP 就被稱為病態(tài)DSP（ill-conditioned DSP，IDSP）［20-21］，并表征了該映像系統的強時變特性。這就好比在水平桌面上滾動的球，一旦其重心的軌線與桌邊相交，就可判斷它將墜落；但若要知道該球此后是否會在外力作用下被托回桌面，就必須繼續(xù)觀察下去。

FEP 是映像系統穩(wěn)定擺次的最遠點，也是下一擺反向運動的起始點。EEAC 根據該時刻的模式能量與其壁壘值之間的相對大小來量化那些穩(wěn)定映像系統的穩(wěn)定性，并在多機受擾軌跡的全部互補群組合中，將有正有負的穩(wěn)定裕度中最小者所對應的互補群識別為主導模式，從而實現了多機系統同步穩(wěn)定性的量化分析。文獻［22］討論了病態(tài)FEP（illconditioned FEP，IFEP）及其識別問題。除EEAC之外，其他判據都不能定量評估穩(wěn)定軌跡的穩(wěn)定程度，也就無法分析多機系統的穩(wěn)定性，當然也就談不上類似FEP 的病態(tài)問題。

包括EEAC 在內，所有基于（擴展）相平面的失穩(wěn)軌跡判據，在單機系統中都可能遇到病態(tài)現象。一般可以通過增加積分及觀察的時長來克服，以保證系統在其后的穩(wěn)定性不再有定性的改變。為了盡量減少計算量的增加，應該分析各種判據對最短積分時段的要求。因此，揭示時變因素對不同判據強壯性的影響機理，不但對非線性動力學理論有重大意義，也直接影響到判據的工程效用。

上述思路已被用于算例篩選（case filtering，CF）的研究中。文獻［23］融合了數據驅動與模型驅動的思想，在算例分類器中引入因果型特征變量，并構建2 層分類框架。通過比較精度不同的算法分析結果［24］，挖掘主導模式的易變性知識［25］，設計一系列反映算例時變特性的量化指標，實現穩(wěn)定算例篩除［26］及對算例的多分類［27］，對于被CF 框架識別為不確定類的算例，也可按其時變特性確定觀察時段，并得到工程化的應用［28］。進一步的研究包括從軌跡振蕩特性的序列指標中提取模式能量的變化率［29-30］。

本文通過理論剖析和實例驗證，評述了基于受擾軌跡的各種TSA 方法，并比較了不同的失穩(wěn)判據在強時變算例中對病態(tài)現象的強壯性；厘清了在保證不會將失穩(wěn)算例判為穩(wěn)定的前提下，盡量減少TSA 總計算量的工程實踐。

1 TSA 的量化算法

1.1 從受擾軌跡中提取穩(wěn)定性知識

強壯的TSA 算法必須包含2 個步驟：首先要根據指定的數學模型與擾動場景，獲取完整的仿真軌跡，或者基于PMU 提供的實測軌跡；然后從受擾軌跡中提取關于其穩(wěn)定性的知識。缺少任何一個步驟都不可能滿足TSA 對強壯性的要求。例如單純的數值積分法缺乏從軌跡數據中提取量化知識的可靠技術，而只能依靠經驗來判定軌跡的穩(wěn)定性；單純的人工智能方法則缺乏完整的動態(tài)信息，不但難以做到強壯，更無法實現量化分析?；谲壽E的人工智能技術即使包含了這2 個步驟，也難以滿足定性分析的強壯性及量化分析的必要條件［31］。

1.2 軌跡穩(wěn)定裕度的提取離不開數學模型

電力系統的同步穩(wěn)定性由同步機組的運動微分方程、各種控制器的微分方程，以及潮流的代數方程在機電時間尺度上組成的微分代數方程組（differential algebraic equations，DAE）描述。TSA必須采用滿足精度要求的數學模型，以足夠小的數值積分步長或物理模擬［32］來獲取受擾軌跡。

PMU 技術不需要系統模型就可獲得真實發(fā)生的受擾軌跡［33］，對穩(wěn)定性的實時監(jiān)測及離線模型校核非常有用。但由于評估軌跡裕度時無法繞過系統模型，故仍然無法避開模型誤差的影響。此外，在通過靈敏度分析來搜索最優(yōu)控制時，需要對目標參數攝動后，重新評估穩(wěn)定裕度。由于PMU 無法像模型仿真那樣提供并未真實發(fā)生過的受擾軌跡，TSA量化分析也就離不開數學模型。后者必須滿足具體應用的需求，不應該盲目簡化。

1.3 必須評估足夠長時段內的受擾軌跡

提前終止數值積分是減少TSA 計算量的重要手段。對DAE 數值積分后，將代數變量的軌跡代入該DAE，原問題就成為時變的常微分方程（ordinary differential equation，ODE）的穩(wěn)定性問題，才有可能量化受擾軌跡的穩(wěn)定性。由于引入了時變因素，觀察時段內的分析結論不能可靠地外推到后續(xù)的軌跡，擬合［34-35］及預測［36-37］技術都存在誤判的風 險。由 混 沌 引 起 的 再 同 步 現 象［38］及IFEP/IDSP 現象［21-22］等，都深刻地驗證了任何TSA 方法都不可能嚴格保證觀察時段外的系統穩(wěn)定性。

除非具體應用中并不需要考慮這么長的時段，或者能夠確保積分時段之外的時變性足夠微弱，否則就不能隨意提前終止積分。因此，要協調好TSA的強壯性與高效性，必須有機理分析的支撐。

1.4 將評估空間與積分空間分離

數值仿真將受擾DAE 的穩(wěn)定性問題轉換為積分空間中受擾軌跡的有界穩(wěn)定性問題。但在高維的積分空間中不易直接識別非自治系統穩(wěn)定充分條件，直到EEAC 提出CCCOI-RM 保穩(wěn)降階變換，才實現了評估空間與積分空間的分離。通過評估映像平面上的運動軌跡來識別高維DAE 的鞍結分岔點，進而嚴格定義了運動軌跡的穩(wěn)定裕度。該思路也成為研究非自治非線性系統受擾軌跡穩(wěn)定性的基礎。

1.5 知識提取應該基于物理的因果概念

一些TSA 算法僅僅根據單個機組的狀態(tài)變量的時間響應曲線來判穩(wěn)，而沒有考慮到振蕩（或失步）現象的本質是一對互補群之間的相對運動。

其他一些算法則直接將δ(t)曲線的包絡距離與經驗性的閾值比較，這相當于只關注處于包絡位置的2 個機組，而忽略了所有處于非包絡位置的機組狀態(tài)對同步穩(wěn)定性的影響。因此，只能將觀察時間與角度閾值均設為很大，從而增加了不少計算量，否則難以獲得可靠的定性結論。

即使對于OMIB 系統的穩(wěn)定算例，只要存在非保守的模型因素（例如機械阻尼系數），除EEAC 外的其他方法都無法量化其穩(wěn)定程度。

CCCOI-RM 保穩(wěn)降階變換不但是可逆的線性變換，而且與一般的正交投影不同，其每個映像系統都對應于一種獨立的振蕩模式。換句話說，該變換矩陣是按同步穩(wěn)定性的物理概念而建立的，這對揭示同步穩(wěn)定性機理極為重要。此外，對于原DAE 的所有狀態(tài)變量及參變量來說，每個映像系統都是可控的，這對靈敏度分析來說極為重要。

2 啟發(fā)式判據的誤判

2.1 轉角軌跡包絡距離判據的判穩(wěn)思路

對于失穩(wěn)算例，領前機組與滯后機組的δ(t)軌跡終將相互發(fā)散，而穩(wěn)定算例則均會回擺。通常在給定的觀察時段tob內監(jiān)測多機δ(t)曲線的包絡距離δenv，以其全程不超過給定的閾值ε作為暫態(tài)穩(wěn)定判據：

文獻［26］將誤判算例分為2 類：1）將實際穩(wěn)定的算例誤判為失穩(wěn)，稱為降效性誤判；2）將實際失穩(wěn)的算例誤判為穩(wěn)定，稱為風險性誤判。

2.2 降效性誤判算例

算例1 取南方電網2011 年某運行方式，0 s 時刻在500 kV 線路安順—八河的首端發(fā)生三相永久短路故障，0.24 s 故障清除，受擾軌跡如圖1 所示。圖中：δenv，1和δenv，2分 別 為 在t1時 刻 和t2時 刻 的 包 絡距離。

圖1 多機系統轉角曲線Fig.1 Rotor angle curves of multi-machine system

包絡距離在t1=0.29 s 時達到常用判穩(wěn)閾值180°并在t2=0.58 s 時達到241°，故 被 判 為 失 穩(wěn)。但后續(xù)軌跡表明系統首擺及后續(xù)擺次均保持同步穩(wěn)定。在該運行方式下，掃描各500 kV 線路上的189 個三相短路故障，在0.18～0.60 s 的區(qū)間內隨機抽樣來設置故障清除時間，觀察時間取為5 s。當判穩(wěn)閾值取180°（或210°）時，誤判率高達6.76%（或1.35%），顯然無法滿足可靠性要求。

文獻［41］展示了IEEE 3 機系統多擺失穩(wěn)的一個算例。其中，第2 臺發(fā)電機與第3 臺發(fā)電機一起相對于第1 臺發(fā)電機從0 s 開始振蕩，振幅逐擺衰減，但在數十秒后為單調發(fā)散而失穩(wěn)。這是由于同步穩(wěn)定性由主導模式的能量裕度來反映，即不平衡功率與擺幅這2 個維度所張成的P-δ平面上的面積。由于不同擺次的DSP 也在變化，功角搖擺的振幅強弱并不能單獨地嚴格反映系統的同步穩(wěn)定性。

3 因果型判據的誤判

3.1 基于相平面的判穩(wěn)思路

已有文獻根據轉速與轉角構成的ω(δ)相軌跡的凹凸性來判定同步穩(wěn)定性：對于自治的OMIB 系統，穩(wěn)定算例的相軌跡相對于故障后穩(wěn)定平衡點總是凹的；而失穩(wěn)算例的相軌跡在故障清除或其后的一小段時間會呈現凸特性［8］。除ω(δ)［8］外，還有其他相軌跡被提出用于暫態(tài)穩(wěn)定性的判定［9，17］，其中大部分研究基于單個相軌跡特性［8-9］，亦有研究同時結合2 種相軌跡特性［17］。

基于加速度與轉速構成的γ(ω)軌跡空間，文獻［19］認為：在自治哈密頓OMIB 系統中僅加入定常阻尼項，若γ(ω)軌跡在第1 象限內切線的γ軸截距小于0 或在第4 象限內切線的γ軸截距大于0，則原受擾軌跡暫態(tài)失穩(wěn)。

此外，EEAC 法在擴展相平面P-δ中進行判穩(wěn)。以正向擺次為例（反向擺次同理），首擺軌跡經過FEP 而回擺，表明系統加速積累的動能恰好被減速過程耗散的動能抵消，此時動能為0，首擺穩(wěn)定；首擺軌跡經過DSP 而發(fā)散，表明系統加速積累的動能無法被完全抵消，此時動能不為0 而再次進入加速過程，首擺失穩(wěn)（見附錄A 圖A1）。因此，以FEP 處仍能注入的最大動能（在維持系統臨界穩(wěn)定的前提下）來量化穩(wěn)定裕度，以DSP 處動能來量化失穩(wěn)裕度，具有明確的物理意義，由此可實現定量分析。對于多機系統，則據其主導模式，利用CCCOI-RM 變換得到等值單機映像系統，然后執(zhí)行上述分析［10］。

單機系統因果型失穩(wěn)判據可以分為以下5 種判據。

判據1：若ω(δ)由凹變凸，則在拐點時刻將算例判為失穩(wěn)；否則認為算例穩(wěn)定。

判據2：若ω(δ)由凹變凸，且ΔP(δ)在拐點時刻呈凸特性，則在拐點時刻將算例判為失穩(wěn)；否則認為算例穩(wěn)定。

判據3：若轉速與轉角的歐幾里得范數ωE和δE構成的相軌跡ωE(δE)由凹變凸，則在拐點時刻將算例判為失穩(wěn)；否則認為算例穩(wěn)定。

判據4：若γ(ω)切線的γ軸截距在第1 象限中某時刻小于0，或在第4 象限中某時刻不小于0，則在該時刻將算例判為失穩(wěn)；否則認為算例穩(wěn)定。

判據5：若擴展相平面P(δ)中的軌跡越過DSP，則在該時刻將算例判為失穩(wěn)；否則，若軌跡遇到FEP 則認為算例穩(wěn)定。

其中，判據1 至判據4 屬于純幾何特征的判據；判據5 屬于能量判據，目前該類判據只有判據5。

3.2 降效性誤判算例

3.2.1 純幾何特征判據（判據1 至判據4）在首擺產生的誤判

針對IEEE 3 機9 節(jié)點系統［42-43］（系統拓撲及參數見附錄B），機組采用經典二階模型，負荷選取恒阻抗模型?？紤]如下算例（記為算例2）：母線9 在0 s 時刻發(fā)生三相短路故障，持續(xù)0.270 s 后故障自動消失，仿真步長設置為1 ms。觀察主導模式下等值OMIB 映 像 系 統 的 首 擺ω(δ)、ΔP(δ)、ωE(δE)、γ(ω)、P(δ)曲線及多機δ(t)曲線，分別如圖2（a）至圖2（f）所示。圖中：Pm和Pe分別為機械功率和電磁功率；δ0、δE0、δFEP分別為初始轉角、初始轉角的歐幾里得范數、FEP 處的轉角；ω0為初始轉速。

如圖2（a）所示，ω(δ)軌跡在首擺t1=0.278 s 時由凹變凸，根據判據1 算例在t1時刻失穩(wěn)；如圖2（b）所示，ΔP(δ)軌跡在t1=0.278 s 時呈凸特性，此時，ω(δ)軌跡亦由凹變凸，根據判據2 算例在t1時刻失穩(wěn)；如圖2（c）所示，ωE(δE)軌跡在首擺t2=0.508 s 時由凹變凸，根據判據3 算例在t2時刻失穩(wěn)；如圖2（d）所示，γ(ω)軌跡在第1 象限中切線的γ軸截距始終為正，當t3=0.276 s 時軌跡仍在第1 象限，而此時該截距由正變負，根據判據4 算例在t3時刻失穩(wěn)；如圖2（e）所示，P(δ)軌跡在t4=0.584 s 時遇到首擺FEP而回擺，根據判據5 算例首擺為穩(wěn)定，且通過計算潛在動能增加面積可求得穩(wěn)定裕度為11.8%。然而，由圖2（f）可明確看出該算例首擺穩(wěn)定，判據1 至判據4 均產生降效性誤判。

圖2 首擺相軌跡與搖擺軌跡Fig.2 Phase trajectories and swing trajectories of the first swing

綜上，針對算例2 首擺，無論是基于單軌跡凹凸性（ω(δ)或ωE(δE)）進行判定，還是同時結合ω(δ)和ΔP(δ)兩者的凹凸性進行綜合判定，均產生了誤判；采用擴展相軌跡γ(ω)的方法亦有誤判；而終止積分觀察最晚的EEAC 法未發(fā)生誤判。由此可見，在特定情形下，基于（擴展）相軌跡幾何特征的幾類判據雖節(jié)省了少量計算時間，但增加了誤判的風險。

3.2.2 能量判據（判據5）的誤判

仍以算例2 為例，圖3 給出第8 擺（反向擺次）功率與轉角軌跡P(δ)曲線。圖中δFEP，7和δFEP，8分別為第7 擺次和第8 擺次FEP 處的轉角。

圖3 第8 擺次功率與轉角相軌跡Fig.3 Phase trajectory of power and angle in the 8th swing

圖3 表明，該擺次P(δ)曲線在t4=4.341 s 時遇到了IDSP［21］而被誤判為失穩(wěn)，需繼續(xù)執(zhí)行積分直至準確的第8 擺FEP 才獲得正確結論。實際上，判據5 雖然并未同其他判據那樣在算例2 首擺中產生誤判，而EEAC 法對其首擺正確判穩(wěn)。但在一定時間的累積后，軌跡于第8 擺涌現出了IDSP 現象。這是由于該算例中故障清除時間τ（0.270 s）與臨界故障清除時間（critical clearing time，CCT）（0.273 s）非常接近，使得算例所含的時變因素非常強烈。由此再次說明了數值積分不應盲目地提前終止，如此提升TSA 方法效用的思路并不可取。

3.2.3 誤判情況在參數帶上的分布

盡管上述判據在強時變性算例中均有誤判的可能性，但由于各方法所依賴的機理不同，故其可靠性仍存在高低差異。基于算例2，現以0.001 s 為間隔掃描不同的τ值（0～0.400 s），分別以判據1 至判據5進行判定，其結果如圖4 所示。其中，橫軸對應于τ值的分布，各判據對應的結果縱向排列；τCCT、τ0、τend分別為CCT、故障清除時間下界、故障清除時間上界。

圖4 結果顯示，判據5 在τ參數帶上的誤判域（出現誤判情形的參數區(qū)間）最小（0.257～0.286 s），且 誤 判 算 例 的τ值 集 中 于CCT 附 近；判 據1 和2 的誤判域較大，在τ遠離CCT 時同樣可能產生誤判，并且判據2 以ΔP(δ)凹凸性作為輔助判據并未取得實質的效果（同為0.150～0.288 s）；判據4 同理；判據3 的誤判域最大（0.026～0.288 s）。因此，在該算例中可靠性最低。

圖4 不同判據的誤判情形在τ 軸上的分布Fig.4 Distribution of misjudgment conditions in τ axiswith different criterions

此外，針對更多故障點亦有類似測試結果。如表1 所示，當故障點設為母線4 時，上述5 種判據均可能產生誤判，其中判據5 與判據3 的誤判域稍?。划敼收宵c設為母線8 時，判據5 的誤判域為空，而其余判據仍存在誤判。需要說明的是，所得結果是未對所有故障點做窮盡式測試得到的結果。

表1 不同判據的測試結果Table 1 Testing results of different criterions

判據1 至判據4 均采用了軌跡的凹凸性或切線截距等幾何特征作為失穩(wěn)判據，通過提前終止積分來提升TSA 方法效用。然而，在時變因素及多機特性的交互影響下，觀察時間最長的判據5 仍可能因IDSP 現象而導致觀察時間不足而誤判。因此，減少積分時長會導致TSA 方法可靠性降低，必須考慮時變因素的影響，并通過動態(tài)改變積分精度和時長來提升TSA 方法效用。

3.3 風險性誤判的算例

針對華中和華北聯網系統2013 年的工況（同文獻［44］中的方式1），發(fā)電機采用計及調速器和勵磁系統的詳細模型，網內負荷采用恒阻抗和感應電動機綜合模型。預想故障設置為四川電網內某500 kV主變壓器0 s 三相短路，并于0.110 s 開斷主變壓器三側，隨后于0.200 s切除四川二灘機組共計709.5 MW，其主導映像的P(δ)、ω(δ)軌跡分別如圖5（a）和圖5（b）所示。可看出，受擾軌跡即使已經遇到符合FEP 定義的點，仍有可能在強時變因素作用下很快地反向，從而進入新的動能增加過程，最終功角失穩(wěn)。不論是擴展相平面中的P(δ)軌跡，還是相平面中的ω(δ)軌跡，穩(wěn)定的定性判定均由軌跡在δ軸上擺動最遠的FEP 決定，故該算例中這2 類判據將同樣產生風險性誤判。此外，對于擴展相平面中的γ(ω)軌跡來說，穩(wěn)定的定性判定依賴于首擺運動中ω值，與FEP 本質相同，并不能保證后續(xù)軌跡不再發(fā)散。

圖5 華中和華北聯網中的IFEP 現象Fig.5 IFEP phenomenon in central-north China interconnected power grid

由此可見，如何在嚴格的穩(wěn)定性機理指導下，快速準確地鎖定最小無誤判觀察區(qū)間，仍有待深入探索；而對恰當時變因素指標的提取需要重點研究。需要說明的是，本文討論的是失穩(wěn)軌跡的穩(wěn)定裕度。對于穩(wěn)定軌跡的穩(wěn)定裕度，則只有在P-δ擴展相平面上才能定義，其他相平面都無法實現。

3.4 分析與討論

文獻［8］采用的失穩(wěn)判據ωd2ω/dδ2＞0 的物理意義為：當ω＞0 時（即正向擺次），該判據成立意味著ω(δ)曲線的演化趨勢向著“ω與δ呈正相關且遞增”的方向推進，這將可能導致δ發(fā)散趨勢增強；若ω＜0（即反向擺次），該判據成立則意味著ω(δ)曲線的演化趨勢向著“ω與δ呈正相關且遞減”的方向推進，同樣致使發(fā)散趨勢增強。這2 種情形都使得系統趨于失穩(wěn)。類似地，文獻［17］中輔助失穩(wěn)判據ωd2ΔP/dδ2＞0 的物理意義反映了不利于穩(wěn)定的趨勢性。

而文獻［9］中的δE表征各機δ間的擺開程度：系統失穩(wěn)則對應于δE(t)發(fā)散。d2ωE/dδ2E＞0 的物理意義為：dωE/dδE與δE呈正相關?？紤]到dωE/dδE=dωE/(ωEdt)=γE/ωE，則γE/ωE與δE正相關；此外，由于ωE=dδE/dt、γE=dωE/dt，可得γE和ωE必然同δE正相關，形成正反饋效應，有利于δE快速地趨于發(fā)散，系統失穩(wěn)。其中，γE為機組加速度的歐幾里得范數。

另有文獻［18］指出，相軌跡凹凸性判據僅在二階單機自治系統中有效；在多機非自治時變系統中的正確性難以保證。此外，該文希望通過實時分群方法，并補充輔助判據加以改進。然而所提實時分群思路并不符合客觀物理本質；且所提輔助判據仍基于經驗性閾值，在多機系統中的適用性問題仍未解決。

綜上，（擴展）相軌跡的幾何特性可以表明系統在當前時段趨于失穩(wěn)。但該趨勢僅反映了當前觀察時段內的趨勢，而不能保證后續(xù)趨勢不變。因此，僅根據系統在某一時間斷面處是否呈現“趨于穩(wěn)定（失穩(wěn)）”的態(tài)勢來提前判穩(wěn)，并不能保證強壯性，而據此來衡量切機效果［45］亦不可行。

EEAC 是目前唯一得到理論證明及工程應用的同步穩(wěn)定性量化方法。它采用保熵降階變換，將多機系統的動態(tài)行為映射到一系列與時變OMIB 系統對應的映像平面，不論后者所對應的互補群模式是否穩(wěn)定，在P-δ平面上都可以量化其穩(wěn)定度，其中的最小者就是原多機系統的裕度，對應的互補群模式就是動態(tài)行為的主導模式。文獻［10］指出，相平面ω-δ上包含的信息只能支持失穩(wěn)軌跡的量化評估，而無法支持對穩(wěn)定軌跡的分析。

EEAC 基于具體的軌跡數據，將映像系統的模型處理為分時段修正的擬哈密頓系統。只要映射整個軌跡，就很容易識別IDSP 及IFEP。但若為了減少計算量，希望遇到DSP 后提前終止積分，就應該排除IDSP 的風險。為此，需要在遇到DSP（或FEP）后，評估映像系統在該點附近的時變性，以排除遇到IDSP（或IFEP）的風險。因此，深入研究這些“病態(tài)”的機理，除了非線性科學方面的意義之外，還有工程應用方面的意義。

IDSP 現象就好像碗內的小球在滾出碗邊后，仍有可能被新發(fā)生的外力托回碗內。因此，“滾出碗邊”就只能說明發(fā)生了墜落現象，而并非是落地的可靠判據；“滾出碗邊”只說明短期的逸出，而不是長期逸出的可靠判據。為此，必須在識別出這種外力可能發(fā)生時，再多觀察一段時間。

EEAC 也證明了，互補群映像軌跡上出現FEP，是擬哈密頓系統的該擺次為穩(wěn)定的充要條件，而該點的勢能裕度則反映了映像系統的穩(wěn)定程度。但是，如果映像系統在該點附近的時變性太強，則可能隨后又在新發(fā)生的外力推動下沿原方向失穩(wěn)。就好像碗內運動的小球在前向速度降到零值并開始反向運動后，仍有可能被新發(fā)生的前向力推出碗邊。雖然這種被稱為IFEP 的涌現現象可能造成風險性誤判，但由于下述原因，本文未加討論。首先除了EEAC，無其他判據能給出穩(wěn)定軌跡的穩(wěn)定裕度，故沒有可比的對象。此外，EEAC 可以通過評估映像系統的時變程度來決定是否需要延長觀察時間。

4 結語

多機系統若不是經典模型，或者多機軌跡呈現多群模式，則其主導映像就不再具有哈密頓性質。這可能使主導映像的P(δ)軌跡嚴重偏離簡諧函數。如果映像軌跡在其穩(wěn)定擺次期間，剩余勢能的短暫減小使得相軌跡短暫地符合DSP 的定義，但隨后又顯著增加，使P(δ)軌跡進入穩(wěn)定態(tài)勢，這就涌現出IDSP 現象。

如果映像軌跡在失穩(wěn)擺次期間，剩余勢能的短暫增加使相軌跡短暫符合FEP 的定義，但隨后又顯著減少，使P(δ)軌跡上出現DSP 而失穩(wěn)，這就涌現出IFEP 現象。

IDSP 及IFEP 都是多維非線性系統固有的客觀復雜性，是由互補群群內機組的非同調性及映像系統的時變性共同形成的涌現現象。它們被冠以“病態(tài)”，恰恰反映了我們對非線性動態(tài)的了解不足。涌現現象的識別及其機理的揭示，本身就是非線性科學的研究任務之一。相軌跡的凹凸性判據可以比DSP 更早地判斷軌跡的失穩(wěn)，但也對病態(tài)更加敏感。此外，有關凹凸性判據的文獻都回避了以下的重要問題，即在相平面上無法評估穩(wěn)定軌跡的穩(wěn)定程度，并且不能應用于多機系統。本文分別討論了上述病態(tài)現象在相平面軌跡ω(δ)、擴展相平面軌跡γ(ω)，以及擴展相平面軌跡P(δ)上的表現及其機理，對于進一步認識電力系統的特性具有重要的理論和實踐意義。

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