由一個(gè)平拋運(yùn)動(dòng)的錯(cuò)誤解答引發(fā)的思考

曹 芳

(廣東惠州市東江高級(jí)中學(xué))

平拋運(yùn)動(dòng)是高中物理學(xué)中最重要的物理模型之一,在近5年的全國(guó)卷和單獨(dú)命題的省份試卷中每年都會(huì)有涉及.本文以飛機(jī)投彈這一經(jīng)典模型為例,從一道經(jīng)典例題的錯(cuò)誤解答入手,分析錯(cuò)誤的根源,利用平拋運(yùn)動(dòng)的基本特點(diǎn),通過(guò)兩種特殊方法,尋找求解飛機(jī)投彈類問(wèn)題的鑰匙,以期達(dá)到觸類旁通的目的.

例如圖1 所示,戰(zhàn)斗機(jī)沿水平方向勻速飛行,先后釋放三顆炸彈,分別擊中山坡上等間距的A、B、C三點(diǎn),已知 擊中A、B的時(shí)間間隔為t1,擊中B、C的時(shí)間間隔為t2,不計(jì)空氣阻力,則().

圖1

A.t1＜t2B.t1＝t2

C.t1＞t2D.無(wú)法確定

錯(cuò)誤解析高中物理多種教輔資料中均有本題,答案多數(shù)選的是A,分析過(guò)程如下:如圖2 所示,A、B、C三點(diǎn)等間距,由幾何關(guān)系可知,AA1、BB1的豎直高度差相同.設(shè)1、2兩炸彈在空中運(yùn)行的時(shí)間差為Δt1,2、3兩炸彈在空中運(yùn)行的時(shí)間差為Δt2,則Δt1為炸彈1從A1到A的時(shí)間,Δt2為炸彈2從B1到B的時(shí)間,由于平拋運(yùn)動(dòng)在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng),越往下豎直分速度越大,故Δt1＜Δt2,從而得到t1＜t2,故選項(xiàng)A 正確.

圖2

此解法錯(cuò)誤的原因是把炸彈在空中運(yùn)行的時(shí)間差和落地的時(shí)間間隔等同了,只有三顆炸彈同時(shí)投出,才能得到這一結(jié)論.實(shí)際上這三顆炸彈是從同一架戰(zhàn)斗機(jī)上先后投出的,炸彈落地的時(shí)間間隔由投彈時(shí)間間隔和炸彈在空中運(yùn)行的時(shí)間差共同決定.設(shè)三顆炸彈投彈的時(shí)間間隔分別為t12和t23,則t1＝t12－Δt1,t2＝t23－Δt2,本題t12和t23的大小關(guān)系不明確,故無(wú)法直接由Δt1＜Δt2得到t1＜t2.對(duì)于t1＝t12－Δt1關(guān)系式,可這樣類比:1、2兩位同學(xué)先后從教室出發(fā)去食堂吃飯,出發(fā)的時(shí)間間隔t12為5分鐘,但是在去往食堂的路上1同學(xué)走得比較慢,比2同學(xué)多花的時(shí)間Δt1為1分鐘,兩位同學(xué)到達(dá)食堂的時(shí)間間隔t1就應(yīng)該等于t12－Δt1,為4分鐘.

圖3

拓展1試比較三顆炸彈投彈的時(shí)間間隔t12和t23的大小關(guān)系.

分析由前面的分析可知t1＝t12－Δt1,t2＝t23－Δt2,因t1＝t2,Δt1＜Δt2,故t12＜t23,即只有逐漸增大投彈的時(shí)間間隔,在山坡上擊中的A、B、C三點(diǎn)才能等間距.

拓展2若飛機(jī)順坡投彈,三顆炸彈分別擊中圖4 中山坡上等間距的A、B、C三點(diǎn),擊中A、B和B、C的時(shí)間間隔分別為t1、t2,三顆炸彈投彈的時(shí)間間隔分別為t12和t23,試比較t1和t2、t12和t23的大小關(guān)系.

圖4

分析三顆炸彈分別擊中山坡上的A、B、C三點(diǎn)時(shí),戰(zhàn)斗機(jī)分別位于A、B、C三點(diǎn)的正上方,因AB＝BC,故t1＝t2.設(shè)1、2兩炸彈在空中運(yùn)行的時(shí)間差為Δt1,2、3兩炸彈在空中運(yùn)行的時(shí)間差為Δt2,由前面分析可知Δt1＞Δt2,因炸彈1先投且在空中運(yùn)行的時(shí)間更 短,故t1＝t12＋Δt1,同理有t2＝t23＋Δt2,故t12＜t23,即只有逐漸增大投彈的時(shí)間間隔,在山坡上擊中的A、B、C三點(diǎn)才能等間距.

小結(jié)不管飛機(jī)是迎坡投彈還是順坡投彈,若要擊中山坡上等間距的點(diǎn),投彈時(shí)間間隔都要逐漸增大,而炸彈落地的時(shí)間間隔總是相同的.

變式1如圖5 所示,一架戰(zhàn)斗機(jī)沿水平方向勻速飛行,等時(shí)間間隔先后釋放三顆炸彈,分別擊中山坡上的A、B、C三點(diǎn),則三個(gè)擊中點(diǎn)的間距關(guān)系為().

圖5

A.AB＞BCB.AB＜BC

C.AB＝BCD.無(wú)法確定

常規(guī)賽后半段已經(jīng)在緊鑼密鼓地進(jìn)行，西王2019年的“后”希望，也在于需要大紀(jì)和大龍動(dòng)員一切可能的力量，絕境反擊，在強(qiáng)敵環(huán)繞中殺出一條血路來(lái)，畢竟，兩軍相遇勇者勝，大紀(jì)和大龍都是身經(jīng)百戰(zhàn)的老江湖了，他們懂得，上賽季總決賽四強(qiáng)的隊(duì)伍，不應(yīng)該人見(jiàn)人欺，倘不能扭轉(zhuǎn)這一窘境，那大紀(jì)和大龍，也就尷尬了。

解法1(幾何法) 因戰(zhàn)斗機(jī)沿水平方向勻速飛行,故三顆炸彈在空中運(yùn)動(dòng)的軌跡完全相同,如圖6所示,作出三顆炸彈在空中的運(yùn)動(dòng)軌跡,過(guò)B點(diǎn)作水平線與另外兩條拋物線分別相交于A1、C1,過(guò)A1、C1分別作兩拋物線的切線,切線與山坡的交點(diǎn)分別為D、E,故A1D∥C1E,因三顆炸彈是等時(shí)間間隔先后釋放的,故A1B＝BC1,從而△A1DB≌△C1EB,故DB＝EB,AB＞BC,答案選A.

圖6

解法2(假設(shè)法) 假設(shè)AB＝BC,由前面分析可知,投彈時(shí)間間隔為t12＜t23,根據(jù)已知條件t12＝t23,炸彈2相比AB＝BC情況應(yīng)延遲一點(diǎn)投出,則炸彈2落點(diǎn)必定落在BC之間,故答案是AB＞BC.

拓展設(shè)炸彈擊中A、B的時(shí)間間隔為t1,擊中B、C的時(shí)間間隔為t2,試比較t1和t2的大小關(guān)系.

分析如圖3所示,三顆炸彈分別擊中山坡上的A、B、C三點(diǎn)時(shí),戰(zhàn)斗 機(jī)分別 位于A、B、C三點(diǎn)的正上方,因AB＞BC,故水平位移x12＞x23,因戰(zhàn)斗機(jī)沿水平方向勻速飛行,故t1＞t2.

小結(jié)從同一戰(zhàn)斗機(jī)上等時(shí)間間隔先后釋放的三顆炸彈,落在山坡上的時(shí)間間隔會(huì)逐漸減小,彈坑的間距也逐漸減小,此結(jié)論同樣適用于逆坡投彈.

變式2如圖7所示,甲、乙、丙三架戰(zhàn)斗機(jī)排成一列縱隊(duì),且相鄰兩架飛機(jī)間距相同,它們沿水平面以相同速度勻速飛行,某時(shí)刻它們同時(shí)釋放一顆炸彈,分別擊中山坡上的A、B、C三點(diǎn),則三個(gè)擊中點(diǎn)的間距關(guān)系為().

圖7

A.AB＞BCB.AB＜BC

C.AB＝BCD.無(wú)法確定

解法1(幾何法) 因三架戰(zhàn)斗機(jī)飛行速度相同,故三顆炸彈在空中的運(yùn)行軌跡也完全相同,變式1的解法1同樣適用于本題,不再?gòu)?fù)述.

解法2(假設(shè)法) 三顆炸彈下落的高度不同,在空中運(yùn)行的時(shí)間也不同,且有t丙＜t乙＜t甲,如圖8所示,當(dāng)乙炸彈擊中B點(diǎn)時(shí),乙戰(zhàn)斗機(jī)恰好位于B點(diǎn)的正上方B1點(diǎn),此時(shí)甲炸彈還未到達(dá)A點(diǎn),故甲戰(zhàn)斗機(jī)在A1后方,設(shè)甲戰(zhàn)斗機(jī)離A1的距離為s1,丙戰(zhàn)斗機(jī)已經(jīng)飛離了C1,設(shè)丙戰(zhàn)斗機(jī)此時(shí)離C1的距離為s2.假設(shè)AB＝BC,則有A1B1＝B1C1,DA＝EB .設(shè)甲、乙兩炸彈在空中運(yùn)行的時(shí)間差為Δt1,乙、丙兩炸彈在空中運(yùn)行的時(shí)間差為Δt2,根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)可知Δt1＜Δt2.設(shè)三架戰(zhàn)斗機(jī)水平飛行的速度為v,則s1＝vΔt1,s2＝vΔt2,很顯然s1＜s2,即只有s甲乙＜s乙丙時(shí),才有AB＝BC.若要滿足假設(shè),在三架戰(zhàn)斗機(jī)等間距排列情況下,應(yīng)該讓乙戰(zhàn)斗機(jī)的位置往前靠一些,則乙投出的炸彈落點(diǎn)必定落在BC之間,故AB＞BC.

圖8

小結(jié)無(wú)論是一架飛機(jī)等時(shí)間間隔先后投彈,還是三架等間距飛機(jī)同時(shí)投彈,在斜坡上留下的彈坑間距都是逐漸減小的.值得注意的是,若三顆炸彈是先后投放的,擊中目標(biāo)的時(shí)間間隔不止與炸彈在空中運(yùn)行的時(shí)間差有關(guān),還跟投彈的時(shí)間間隔有關(guān);若三顆炸彈是同時(shí)投出的,則擊中目標(biāo)的時(shí)間間隔僅與三顆炸彈在空中運(yùn)行的時(shí)間差有關(guān).

綜上所述,解決飛機(jī)投彈類問(wèn)題的關(guān)鍵是三點(diǎn):1)抓住炸彈在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn),找出炸彈在空中運(yùn)行的時(shí)間關(guān)系;2)抓住其水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn),找到飛機(jī)和炸彈的位置關(guān)系;3)找準(zhǔn)炸彈落地時(shí)間間隔和投彈時(shí)間間隔、炸彈在空中運(yùn)行的時(shí)間差的關(guān)系.抓住了以上三點(diǎn),此類問(wèn)題便能迎刃而解.

(完)