基于小波包分解的EHO-ELM 與EHO-DELM日徑流多步預(yù)報(bào)模型研究

李新華，崔東文

（1.云南興電集團(tuán)有限公司，云南文山 663000；2.云南省文山州水務(wù)局，云南文山 663000）

0 引言

日徑流時(shí)間序列預(yù)報(bào)被廣泛應(yīng)用于水庫實(shí)時(shí)運(yùn)行調(diào)度、水電系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行及航運(yùn)、防洪等領(lǐng)域，尤其是時(shí)間序列分析及多步預(yù)報(bào)一直是日徑流預(yù)報(bào)研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。目前日徑流時(shí)間序列預(yù)報(bào)方法有自回歸模型（Auto Regressive，AR）［1］、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Artificial Neural Network，ANN）［1］、自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)（Adaptive Neural Fuzzy Inference System，ANFIS）［1］、長短時(shí)記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Long Short-Term Memory，LSTM）［2］、支持向量機(jī)（Support Vector Machine，SVM）［3-5］等，但還沒有一種統(tǒng)一和普遍適用的方法。由于日徑流受天文、氣象、地理等多重因素的影響，常表現(xiàn)出較強(qiáng)的非線性、非平穩(wěn)性和多尺度等特征，傳統(tǒng)單一預(yù)測方法難以獲得較好的預(yù)報(bào)效果。當(dāng)前，基于“分解方法+預(yù)測器”模式的多種方法混合預(yù)報(bào)模型被嘗試用于日徑流時(shí)間序列預(yù)報(bào)研究，并取得較好的預(yù)報(bào)效果。孫望良［2］等引入變分模態(tài)分解（Variational Mode Decomposition，VMD）、去趨勢波動分析（Detrended Fluctuation Analysis，DFA）和LSTM方法，提出DFA-VMD-LSTM 日徑流預(yù)報(bào)模型，并將其應(yīng)用于三峽水庫日徑流預(yù)報(bào)研究，取得較好預(yù)報(bào)精度；黃景光［3］等基于小波分解（WD）方法和SVM 建立組合日徑流預(yù)報(bào)模型，將其應(yīng)用于宜昌站日徑流預(yù)報(bào)，驗(yàn)證了該模型具有更好預(yù)報(bào)穩(wěn)定性；黃巧玲［4］等將小波變換與支持向量機(jī)結(jié)合，提出小波支持向量機(jī)回歸模型（Wavelet Support Vector Machine，WSVR），利用所建立的WSVR 模型對張家山站日徑流進(jìn)行預(yù)報(bào)，結(jié)果顯示W(wǎng)SVR 模型可有效模擬和預(yù)報(bào)日徑流；任化準(zhǔn)［5］等融合WD 方法、粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法和SVM，提出WPSO-SVR 日徑流預(yù)報(bào)模型對金沙江中游石鼓站日徑流進(jìn)行預(yù)報(bào)，表明該模型在日徑流預(yù)報(bào)中具有較強(qiáng)的適應(yīng)性。然而，上述模型［2-5］及大多數(shù)日徑流預(yù)報(bào)僅針對預(yù)見期為1 d 的單步預(yù)報(bào)，在實(shí)際應(yīng)用中，預(yù)見期為1 d 的單步預(yù)報(bào)無法滿足日徑流預(yù)報(bào)實(shí)際需求，往往需要根據(jù)歷史數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)更多尺度的超前多步預(yù)報(bào)，即實(shí)現(xiàn)未來更為長遠(yuǎn)的日徑流時(shí)間點(diǎn)預(yù)報(bào)［6］。

為提高日徑流時(shí)間序列多步預(yù)報(bào)精度，針對上述問題，本文基于以下因素，提出基于小波包分解（WPD）、象群優(yōu)化（EHO）算法和極限學(xué)習(xí)機(jī)（ELM）、深度極限學(xué)習(xí)機(jī)（DELM）多種方法的WPD-EHO-ELM、WPD-EHO-DELM 日徑流時(shí)間序列混合預(yù)報(bào)模型，并應(yīng)用于云南省景東水文站日徑流時(shí)間序列多步預(yù)報(bào)。①WPD 能同時(shí)將低頻、高頻信號進(jìn)行再次分解，提取出更具規(guī)律的子序列分量，克服WD 方法不對高頻信號再次分解的不足；同時(shí)，WPD較小的分解層即能獲得較好的分解效果。②目前，日徑流時(shí)間序列預(yù)測器主要有BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、SVM、LSTM等，但BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型存在設(shè)置參數(shù)多、易陷入局部最優(yōu)等缺點(diǎn)；SVM 模型存在對參數(shù)敏感、大容量樣本預(yù)報(bào)中表現(xiàn)不佳等不足；LSTM 模型雖然預(yù)測性能較好，但存在內(nèi)存資源消耗大、運(yùn)行時(shí)間長等缺陷。ELM、DELM 預(yù)測器不但預(yù)測性能好，且在日徑流預(yù)報(bào)研究中應(yīng)用不多。③ELM、DELM 網(wǎng)絡(luò)輸入層權(quán)值和隱含層偏置是制約其性能提高的關(guān)鍵因素，本文采用EHO 算法優(yōu)化ELM、DELM 輸入層權(quán)值和隱含層偏置，以期提高ELM、DELM預(yù)測器性能。

1 研究方法

1.1 小波包分解（WPD）

小波包分解（WPD）衍生于小波分解（WD），與之不同的是，WD 只對低頻信號再次分解，不分解高頻信號，而WPD 同時(shí)將低頻、高頻信號再次分解，并能根據(jù)信號特性和分析要求自適應(yīng)地選擇相應(yīng)頻帶與信號頻譜相匹配。對于波動信號，采用WPD能夠凸出信號的細(xì)節(jié)特征。小波包分解算法公式［7-10］為：

重構(gòu)算法為：

1.2 象群優(yōu)化（EHO）算法

象群優(yōu)化（EHO）算法是Wang等人于2016年提出了一種新的群體智能優(yōu)化算法。EHO 算法源于自然界中大象的畜牧行為，并基于以下假設(shè)：①象群分為幾個(gè)氏族，每個(gè)氏族中母象作為首領(lǐng)；每一代中，一定數(shù)量的雄象會離開氏族。②女族長是氏族中適應(yīng)度最好的大象，每頭大象的位置根據(jù)其位置和女族長的位置進(jìn)行更新；族長的位置根據(jù)氏族中心的位置進(jìn)行更新。③EHO 算法包括氏族更新操作和分離操作兩個(gè)階段，氏族更新代表著局部搜索，雄象離開氏族執(zhí)行全局搜索［11，12］。

EHO算法數(shù)學(xué)描述如下［11，12］：

（1）氏族更新。隨機(jī)初始化大象種群，將大象種群分為n個(gè)氏族，每個(gè)氏族中有j頭大象，在每次迭代中，每頭大象j的位置都會隨氏族ci中族長（適應(yīng)度值最好的位置）移動。位置更新數(shù)學(xué)描述為：

式中：xnew，ci，j表示隨氏族ci中第j頭大象更新后的位置；xci，j表示氏族ci中第j頭大象上一代位置；xbest，ci表示氏族ci中適應(yīng)度值最好的位置；α∈[0，1]表示最佳女族長對大象個(gè)體xci，j的影響比例因子；r表示［0，1］范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。

氏族ci中女族位置更新數(shù)學(xué)描述為：

式中：β∈[0，1]表示氏族中心控制參數(shù)；nci表示氏族ci中大象的數(shù)量；xci，j表示氏族ci中大象個(gè)體。

（2）氏族分離。EHO 算法中，每個(gè)氏族ci中具有最差適應(yīng)度函數(shù)值的恒定數(shù)量的大象會被移動到新的位置。其位置更新數(shù)學(xué)描述為：

式中：xworst，ci表示氏族ci中具有最差適應(yīng)度函數(shù)值的大象位置；xmax、xmin表示搜索空間上下限值；rand表示［0，1］范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。

1.3 極限學(xué)習(xí)機(jī)（ELM）

極限學(xué)習(xí)機(jī)（ELM）是一種廣義的單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，具有較快的學(xué)習(xí)速度和良好的泛化能力。給定M個(gè)樣本Xk={xk，yk}，k=1，2，…，M，其中xk為輸入數(shù)據(jù)，yk為真實(shí)值，f(·)為激活函數(shù)，隱層節(jié)點(diǎn)為m個(gè)，ELM輸出可表示為［13，14］：

式中：oj為輸出值；Wi={ωi1，ωi2，…，ωim}'為輸入層節(jié)點(diǎn)與第i個(gè)隱含層節(jié)點(diǎn)的連接權(quán)值；bi為第i個(gè)輸入節(jié)點(diǎn)和隱含層節(jié)點(diǎn)的偏值；λi為第i個(gè)隱含層節(jié)點(diǎn)與輸出節(jié)點(diǎn)的連接權(quán)值。

1.4 深度極限學(xué)習(xí)機(jī)（DELM）

深度極限學(xué)習(xí)機(jī)（DELM）從結(jié)構(gòu)上看相當(dāng)于把多個(gè)極限學(xué)習(xí)機(jī)（ELM）連接到一起，能更全面地捕捉到數(shù)據(jù)之間的映射關(guān)系，有效提高處理高維度、非線性數(shù)據(jù)的能力。設(shè)DELM 有Q組訓(xùn)練數(shù)據(jù){(xi，yi)|i=1，2，…，Q}和M個(gè)隱含層，將輸入訓(xùn)練數(shù)據(jù)樣本根據(jù)自編碼器極限學(xué)習(xí)機(jī)（ELM-AE）理論得到第一個(gè)權(quán)值矩陣β1，接著得到隱含層特征向量H1，…，以此類推，能夠得到M層的輸入層權(quán)重矩陣βM和隱含層特征向量HM。DELM 數(shù)學(xué)模型表述式為［15-17］：

式中：L為隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)；Z為隱含層神經(jīng)元對應(yīng)的衍生神經(jīng)元個(gè)數(shù)；為第j個(gè)隱含層神經(jīng)元對應(yīng)的第k個(gè)衍生神經(jīng)元與輸出層的權(quán)值向量；gjk為第j個(gè)隱含層神經(jīng)元激活函數(shù)的k階導(dǎo)函數(shù)；n為輸入層神經(jīng)元個(gè)數(shù)；為輸入層與第j個(gè)隱含層神經(jīng)元之間的權(quán)值向量；bj為第j個(gè)隱含層節(jié)點(diǎn)的偏置。

1.5 建模流程

WPD-EHO-ELM、WPD-EHO-DELM 模型預(yù)報(bào)步驟如下：

步驟一：為兼顧模型預(yù)報(bào)精度和計(jì)算規(guī)模，本文基于dmey小波包基，采用2 層WPD 將景東水文站2016-2020 年逐日時(shí)序數(shù)據(jù)分解為4 個(gè)子序列分量［2，1］～［2，4］；作為對比方法，采用WD 將實(shí)例日徑流時(shí)序數(shù)據(jù)分解為4 個(gè)子序列分量S1～S4，見圖1、2。

圖1 景東站W(wǎng)PD分解3D效果圖Fig.1 Jingdong Station WPD decomposition 3D renderings

圖2 景東站W(wǎng)D分解3D效果圖Fig.2 Jingdong Station WD decomposition 3D renderings

從圖1、2 可以看出，［2，4］、S4 主要為低頻部分，聚集了原始日徑流時(shí)間序列的大部分能量，描述了日徑流序列的趨勢；［2，1］、S1 為所有分解分量中的高頻成分，也是幅值較低的分量，描述了日徑流序列的波動情況。

步驟二：為便于各分量預(yù)測結(jié)果重構(gòu)，在延遲時(shí)間為1的條件下，采用Cao 方法確定各子序列分量的嵌入維度m，即選取景東水文站前m 天的徑流量來預(yù)報(bào)當(dāng)日（1 d）、第二日（2 d）、……、第5日（5 d）的日徑流量。經(jīng)計(jì)算，Cao方法確定子序列分量［2，1］～［2，4］m值分別為13、24、12、13；確定子序列分量S1～S4m值分別為28、24、26、15；確定原日徑流序列m值為25。并選取景東水文站2016-2018年逐日徑流作為訓(xùn)練樣本，2019-2020年逐日徑流作為預(yù)報(bào)樣本。

步驟三：利用訓(xùn)練樣本均方誤差（MSE）作為EHO 優(yōu)化ELM、DELM輸入層權(quán)值和隱含層偏值的適應(yīng)度函數(shù)minf。

步驟四：設(shè)置最大迭代次數(shù)T，種群規(guī)模N；隨機(jī)初始化大象位置。

步驟五：計(jì)算大象個(gè)體的適應(yīng)度值，確定并保存當(dāng)前最佳大象位置xbest。令迭代次數(shù)t=1。

步驟六：利用式（3）更新種群中大象個(gè)體位置；利用式（4）更新當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體位置；利用式（5）更新當(dāng)前最差個(gè)體位置，保留更好個(gè)體位置。

步驟七：計(jì)算更新之后大象種群個(gè)體適應(yīng)度值，比較并保存當(dāng)前最佳大象位置xbest。

步驟八：令t=t+1。判斷是否滿足終止條件，若是，輸出xbest，算法結(jié)束；否則轉(zhuǎn)至步驟六。

步驟九：輸出最佳大象位置xbest，xbest即為ELM、DELM 輸入層權(quán)值和隱含層偏值最佳矩陣。利用最優(yōu)ELM、DELM 輸入層權(quán)值和隱含層偏值矩陣建立EHO-ELM、EHO-DELM 模型對各分量進(jìn)行多步預(yù)測，將預(yù)測結(jié)果疊加重構(gòu)后即得到實(shí)例多步日徑流預(yù)報(bào)結(jié)果。

步驟十：利用平均絕對百分比誤差（MAPE）、平均絕對誤差（MAE）、確定性系數(shù)（DC）和合格率（PR）對預(yù)報(bào)模型進(jìn)行評估，見式（9）。

2 實(shí)例應(yīng)用

景東站位于云南省普洱市景東縣錦屏鎮(zhèn)，建于2000 年1月，系紅河流域李仙江干流控制站，控制徑流面積5 521 km2，水文站至源頭河長90 km，河道坡度6.68‰，為省級重要水文站和省級報(bào)汛站。李仙江發(fā)源于大理州南澗縣寶華鄉(xiāng)東北部，流經(jīng)普洱市景東、鎮(zhèn)沅等縣，于普洱市江城縣與紅河州綠春縣的界河流入越南，出境后稱黑水河。李仙江云南境內(nèi)河道長473 km，落差1 790 m，流域面積19 309 km2，多年平均流量約460 m3/s，主要支流有阿墨江、勐野江、泗南江等。

本文以景東水文站2016-2020 年日徑流預(yù)報(bào)為研究對象，日徑流變化曲線見圖3。從圖3 可以看出，景東水文站日徑流時(shí)序數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出典型的多尺度、高度非線性特征，其最大與最小實(shí)測徑流之比高達(dá)89.7，起伏變化十分激烈。

圖3 景東站2016-2020年逐日徑流變化曲線圖Fig.3 Daily runoff change curve of Jingdong Station from 2016 to 2020

2.1 模型參數(shù)設(shè)置

設(shè)置EHO 算法最大迭代次數(shù)T=100，種群規(guī)模N=50，其他采用算法默認(rèn)值；ELM 網(wǎng)絡(luò)激活函數(shù)選擇sigmoid，隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)為2m-1（m為輸入維數(shù)），輸入層權(quán)值和隱含層偏值搜索空間設(shè)置為［-1，1］；DELM 采用3 隱層網(wǎng)絡(luò)，隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)為［2m m m］（m為輸入維數(shù)），激活函數(shù)選擇sigmoid 函數(shù)，輸入層權(quán)值和隱含層偏值搜索空間設(shè)置為［-1，1］；所有模型數(shù)據(jù)均采用［-1，1］進(jìn)行歸一化處理。

2.2 預(yù)測結(jié)果及分析

利用所構(gòu)建的WPD-EHO-ELM、WPD-EHO-DELM 等6 種模型對景東水文站2016-2020 年日徑流進(jìn)行訓(xùn)練及多步預(yù)報(bào)，結(jié)果見表2。并利用上述評估指標(biāo)對模型性能進(jìn)行評估。各模型預(yù)報(bào)相對誤差效果圖見圖4。

依據(jù)表1及圖4可以得出以下結(jié)論：

表1 各模型景東站多步預(yù)測結(jié)果對比Tab.1 Comparison of multi-step prediction results of each model Jingdong Station

（1）WPD-EHO-ELM、WPD-EHO-DELM 模型對景東水文站預(yù)見期為1～5 d 日徑流預(yù)報(bào)的MAPE分別在0.25%～8.25%、0.52%～9.44%之間，MAE在0.050～1.269 m3/s、0.103～-1.342 m3/s之間，PR≥89.2%，DC≥0.990 0，精度評價(jià)等級均為甲級（合格率≥85%、確定性系數(shù)≥0.90），預(yù)報(bào)精度優(yōu)于WD-EHO-ELM 等其他模型。其中預(yù)見期為1～3 d 日徑流預(yù)報(bào)的MAPE≤1.81%、PR 均為100%，DC≥0.999 6，預(yù)報(bào)效果尤為理想?？梢姡琖PD-EHOELM、WPD-EHO-DELM 模型日徑流多步預(yù)報(bào)結(jié)果可靠性較強(qiáng)，均能夠很好的逼近實(shí)測日徑流值，將其用于日徑流時(shí)間序列多步預(yù)報(bào)是可行和可靠的。相對而言，WPD-EHO-ELM 模型預(yù)報(bào)效果略優(yōu)于WPD-EHO-DELM 模型。

（2）從基于WPD、WD 方法構(gòu)建的不同模型預(yù)報(bào)效果來看，WPD-EHO-ELM、WPD-EHO-DELM 模型預(yù)報(bào)精度優(yōu)于WDEHO-ELM、WD-EHO-DELM 模型，表明WPD 能充分挖掘日徑流時(shí)序數(shù)據(jù)的潛藏規(guī)律，同時(shí)將低頻、高頻信號進(jìn)行再次分解，提取出更具規(guī)律的子序列分量，其分解效果要優(yōu)于WD方法。

（3）從WPD-EHO-ELM、WPD-EHO-DELM 兩種模型預(yù)報(bào)效果對比來看，雖然DELM 相當(dāng)于把多個(gè)ELM 連接到一起，能更全面地捕捉到數(shù)據(jù)之間的映射關(guān)系，但過多的ELM 組合不但增加模型復(fù)雜度，同時(shí)也增加優(yōu)化DELM 輸入層權(quán)值和隱含層偏值的難度；ELM 雖然只有1 個(gè)隱層，但通過EHO 算法優(yōu)化獲得最佳ELM 輸入層權(quán)值和隱含層偏值，同樣可以獲得理想的預(yù)報(bào)效果。

（4）WD-EHO-ELM、WD-EHO-DELM 模型僅在單步預(yù)報(bào)情形下（預(yù)見期為1 d）能達(dá)到《水文情報(bào)預(yù)報(bào)規(guī)范》（GB/T22482-2008）預(yù)報(bào)精度等級甲級；在預(yù)見期為2 d情形下，WDEHO-ELM 模型預(yù)報(bào)精度等級為乙級，WD-EHO-DELM 模型為丙級；在預(yù)見期為3 d 情形下，WD-EHO-ELM 模型預(yù)報(bào)精度等級為乙級，WD-EHO-DELM 模型已不能滿足預(yù)報(bào)精度要求。在日徑流時(shí)序數(shù)據(jù)未經(jīng)分解情形下，即便在預(yù)見期為2 d 情形下，EHO-ELM、EHO-DELM 模型預(yù)報(bào)精度均不理想，僅EHODELM模型預(yù)報(bào)精度等級達(dá)到丙級，EHO-ELM 模型已不能滿足預(yù)報(bào)精度要求。

（5）從圖4 可以看出，WPD-EHO-ELM、WPD-EHO-DELM模型對景東水文站預(yù)見期為1～3 d 絕大多數(shù)日徑流預(yù)報(bào)的相對誤差均在-2%～2%范圍內(nèi)波動，具有更小的預(yù)報(bào)誤差和更高的預(yù)報(bào)精度。

圖4 各模型預(yù)報(bào)相對誤差3D效果圖Fig.4 3D rendering of the relative error of each model forecast

3 結(jié)論

為提高日徑流時(shí)間序列多步預(yù)報(bào)精度，基于WPD 方法、EHO 算法和ELM、DELM 網(wǎng)絡(luò)，研究提出WPD-EHO-ELM、WPD-EHO-DELM 日徑流時(shí)間序列多步預(yù)報(bào)模型，并構(gòu)建WDEHO-ELM、WD-EHO-DELM、EHO-ELM、EHO-DELM 作對比分析模型，通過云南省景東水文站日徑流時(shí)間序列多步預(yù)報(bào)實(shí)例對各模型進(jìn)行驗(yàn)證，得到如下結(jié)論：

（1）WPD-EHO-ELM、WPD-EHO-DELM 模型對景東水文站預(yù)見期為1～5 d日徑流預(yù)報(bào)均達(dá)到《水文情報(bào)預(yù)報(bào)規(guī)范》（GB/T22482-2008）預(yù)報(bào)精度等級甲級，預(yù)報(bào)效果優(yōu)于其他對比模型。其中，預(yù)見期為1～3 d日徑流預(yù)報(bào)的MAPE≤1.81%、PR均達(dá)100%，DC≥0.999 6，預(yù)報(bào)效果最理想?？梢?，將WPD-EHOELM、WPD-EHO-DELM 模型用于日徑流時(shí)間序列多步預(yù)報(bào)是可行、可靠的。模型及方法可為實(shí)現(xiàn)日徑流時(shí)間序列精準(zhǔn)預(yù)報(bào)提供新的途徑。

（2）WPD-EHO-ELM、WPD-EHO-DELM 模型預(yù)報(bào)精度優(yōu)于WD-EHO-ELM、WD-EHO-DELM 模型，表明WPD 能充分挖掘日徑流時(shí)序數(shù)據(jù)的潛藏規(guī)律，同時(shí)將低頻、高頻信號進(jìn)行再次分解，提取出更具規(guī)律的子序列分量，其分解效果要優(yōu)于WD方法。

（3）相較于WPD-EHO-DELM 模型，WPD-EHO-ELM 模型表現(xiàn)出更簡潔、更高效的預(yù)報(bào)效果。雖然DELM 能更全面地捕捉到數(shù)據(jù)之間的映射關(guān)系，但過多的ELM 組合不但增加模型復(fù)雜度，同時(shí)也增加EHO 算法優(yōu)化DELM 輸入層權(quán)值和隱含層偏值的難度；雖然ELM 網(wǎng)絡(luò)僅有1 個(gè)隱層，但通過EHO 算法優(yōu)化獲得最佳ELM 輸入層權(quán)值和隱含層偏值，同樣可以獲得更好的預(yù)報(bào)效果。

（4）WPD-EHO-ELM、WPD-EHO-DELM 模型能充分發(fā)揮WPD 方法、EHO 算法和ELM、DELM 網(wǎng)絡(luò)優(yōu)勢，表現(xiàn)出較好的預(yù)報(bào)精度和穩(wěn)定性能，模型的預(yù)報(bào)精度隨著預(yù)見期天數(shù)的增加而降低。