張 進，楊 震，陳青全，羅亞中，梁彥剛

（國防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院，長沙 410073）

理論研究、科學(xué)實驗和科學(xué)計算是現(xiàn)代科學(xué)研究的三大支柱。計算方法作為科學(xué)計算的基礎(chǔ)，研究計算機處理各種問題的數(shù)值計算理論與方法。計算方法課程在工科專業(yè)廣泛開設(shè)，在國防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院作為學(xué)科基礎(chǔ)課，主要面向航空航天類專業(yè)大二本科生開設(shè)，每年約5～6 個班次。課程在高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)和計算機程序設(shè)計等公共基礎(chǔ)課之上，融合數(shù)學(xué)與編程實踐，能為專業(yè)課的課程實踐打下良好基礎(chǔ)。

在培養(yǎng)目標(biāo)方面：知識上主要使學(xué)生掌握數(shù)值計算的基礎(chǔ)原理和方法，包括解線性方程組的直接法、插值法與最小二乘法、數(shù)值積分與微分、常微分方程數(shù)值解法和逐次逼近法等；能力上著重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)值建模、開展航空航天工程應(yīng)用的素養(yǎng)和能力；價值上塑造學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的科學(xué)思維，追求精確與工程近似的辯證思維，以及志在空天、追求卓越的內(nèi)在品質(zhì)。

一、課程面臨的教學(xué)難題

（一）實踐內(nèi)容簡單，與空天工程領(lǐng)域結(jié)合不緊密

計算方法需要將數(shù)學(xué)理論與編程應(yīng)用進行緊密聯(lián)系，編程實踐非常重要，學(xué)生必須學(xué)會將公式轉(zhuǎn)換為程序。傳統(tǒng)實驗內(nèi)容大多為數(shù)值求解簡單數(shù)學(xué)表達式，缺乏空天問題引導(dǎo)，與工程領(lǐng)域結(jié)合不緊密，導(dǎo)致學(xué)生缺乏興趣，實踐效果較差。

（二）教學(xué)內(nèi)容分支多，知識體系構(gòu)建與綜合運用難

由圖1 可知，課程主要內(nèi)容包括5 大類30 余種具體方法，分支較多，學(xué)生很難理順課程知識體系內(nèi)在邏輯關(guān)系和算法相互依托關(guān)系，更難開展綜合運用。

圖1 課程教學(xué)內(nèi)容分支

（三）課時緊張，理論與實踐難平衡

在改革開展前后，課程均為32 學(xué)時。改革后，新加入4 個實驗與1 個綜合研討，使得原本并不寬裕的理論講授課時被大大壓縮，但仍然需要講授如此多的方法，課內(nèi)學(xué)時更加捉襟見肘。

二、線上線下混合式教學(xué)改革

線上線下混合式教學(xué)為解決上述難題提供了新的思路。為實現(xiàn)“高效教、主動學(xué)”的效果，針對三大重點難題，課程通過競賽性實驗與在線測試激發(fā)學(xué)生興趣，促使學(xué)生追求優(yōu)秀；通過多維度全過程考核體系激勵學(xué)生開展實踐、開展自學(xué)；基于異步SPOC（Small Private Online Course）搭建線上課堂，課內(nèi)強調(diào)重難點，課外拓展知識面，提高效率；建設(shè)貫穿全程的航天案例體系，幫助構(gòu)建知識體系，貫徹學(xué)以致用。總體可概括為“基礎(chǔ)理論線下學(xué)，實踐能力線上練，知識延展線上研，航天案例穿針線”，如圖2 所示。

圖2 混合式教學(xué)改革總體思路

在線上線下內(nèi)容與課時分配方面，核心章節(jié)理論部分22 學(xué)時，主要以線下課堂講授為主，線上SPOC 等為輔；實驗及綜合研討10 學(xué)時，以線上實驗為主，線下引導(dǎo)為輔。

（一）線上教學(xué)環(huán)境構(gòu)建

基于東北大學(xué)的國家精品MOOC 數(shù)值分析，構(gòu)建SPOC 線上課堂，老師專門分配部分易學(xué)或拓展知識點作為自學(xué)內(nèi)容，學(xué)生基于MOOC 視頻、課件和在線習(xí)題開展自主學(xué)習(xí)，部分緩解課內(nèi)教學(xué)課時有限的問題；并利用雨課堂開展前測、后測與課堂互動，進行作業(yè)發(fā)布與批改、平時成績統(tǒng)計等；利用騰訊會議、QQ 群課堂進行在線教學(xué)、集體答疑與研討教學(xué)，利用微信群分享課程資料，全天候輔導(dǎo)答疑，打破學(xué)生與老師交流的時空限制。

（二）線下教學(xué)改革

線下教學(xué)改革重點是幫助學(xué)生建立知識體系架構(gòu)，理順知識點內(nèi)在邏輯。圍繞交會對接任務(wù)不同階段涉及的數(shù)值計算需求，針對課程內(nèi)容設(shè)計貫穿課程主要知識點的案例體系，如圖3 所示：火箭上升與初始軌道確定需要用到插值與最小二乘，遠(yuǎn)距離軌道機動計算需要求解非線性方程，近距離軌道機動計算需要求解線性方程組，組合體軌道外推需要求解常微分方程組，機動參數(shù)的優(yōu)化計算中需要用到數(shù)值微分。

圖3 貫穿主要知識點的案例體系

課程思政方面，從我國數(shù)學(xué)家推動計算方法發(fā)展及Euler、Kepler 等相關(guān)著名科學(xué)家勵志故事入手，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美、程序之美及對立統(tǒng)一思想等，激勵學(xué)生志在空天、追求卓越。例如：講線性方程組求解的直接法時，通過《九章算術(shù)》中“上禾三秉”相關(guān)內(nèi)容引入，激發(fā)學(xué)生興趣與民族自豪感；講解常微分方程求解的Euler 法時，介紹Euler 膝上抱著孩子推公式的故事及失明后仍然發(fā)表數(shù)百篇論文的故事，激勵學(xué)生排除干擾、刻苦學(xué)習(xí)；講解非線性方程的迭代解法時，以航天領(lǐng)域的Kepler 方程為例題，并介紹Kepler 雖然視力不佳但通過對老師Tycho Brahe 觀測數(shù)據(jù)的分析提出行星運動三大定律的故事，引導(dǎo)學(xué)生不畏艱難，找到適合自己的發(fā)展道路。

（三）線上實踐訓(xùn)練

建設(shè)了由純數(shù)學(xué)漸入航空航天工程實踐的4 組15個實驗案例，每組實驗都有案例源自空天工程。解線性方程組實驗引入了交會對接近距離導(dǎo)引機動計算的線性方程組求解案例；插值與最小二乘實驗引入了火箭上升段大氣密度插值計算案例與小行星軌道確定案例；數(shù)值積分實驗引入了航天器軌道橢圓積分案例；常微分方程組數(shù)值解實驗引入了二體軌道步進求解案例等。上述案例分別與空天飛行力學(xué)、空氣動力學(xué)等專業(yè)課相關(guān)，夯實數(shù)值計算基礎(chǔ)的同時，建立了高等數(shù)學(xué)、計算機程序設(shè)計等基礎(chǔ)課知識與專業(yè)課內(nèi)容間的聯(lián)系。

參考團隊獲得世界冠軍的國際空間軌道競賽模式，開發(fā)在線實驗平臺（圖4），對學(xué)生程序進行自動驗證，并基于正確性、提交時間和運行效率進行排名，并向所有學(xué)生實時發(fā)布，提高教師審核效率，激勵學(xué)生爭創(chuàng)優(yōu)秀；基于SPOC 對在線實驗中遇到的理論知識進行回顧與加強；基于微信群實時分享最新問題、編程錯誤、結(jié)果，實現(xiàn)實驗中同學(xué)間、師生間實時充分交流。

圖4 競賽性在線數(shù)值實驗平臺

（四）考核方式改革

課程考核采用“形成性考核+期末閉卷考試”模式，形成性考核占比30%，包括SPOC 學(xué)習(xí)記錄、數(shù)值實驗在線排名、數(shù)值實驗報告和綜合性大作業(yè)報告等過程數(shù)據(jù)，激勵學(xué)生主動開展在線學(xué)習(xí)、數(shù)值實驗、追求卓越。

教學(xué)實踐中，由于實時在線排名的壓力，原本只在上課時才看實驗內(nèi)容的學(xué)生，開始注重課前預(yù)習(xí)；原本課后一周還不能完全完成的數(shù)值程序?qū)嶒?，一小半學(xué)生課內(nèi)就能完成，剩下的大部分學(xué)生課后當(dāng)天晚上就能完成。

由于采用開放式大作業(yè)命題，學(xué)生們沒有受困于題目本身，充分發(fā)揮了各自的聰明才智：有的同學(xué)用插值來估計疫情的發(fā)展趨勢，有的用擬合來完善化學(xué)反應(yīng)方程式，有的采用外插方法預(yù)測房價，有的用擬合來分析導(dǎo)彈軌跡，還有的用簡單迭代法解出了平時解不出來的復(fù)雜非線性方程。為了完成好大作業(yè)匯報，學(xué)生之間分工協(xié)作，嘗試以更恰當(dāng)?shù)姆绞秸故咀约旱某晒?。綜合性大作業(yè)既鍛煉了學(xué)生的實踐能力、交流表達能力，也幫助學(xué)生從老師角度換位思考，有益于后續(xù)課程的學(xué)習(xí)。

為了避免學(xué)生形成理論考試與編程實踐是完全分割的錯誤觀點，在近年的閉卷考試中堅持保留程序填空類題型，如圖5 所示。

圖5 數(shù)值計算程序填空題示例

三、改革成效

一年多來，團隊將混合式教學(xué)改革逐步推行至航空航天類專業(yè)全部教學(xué)班次，參與學(xué)生超過300 人，取得了顯著成效。學(xué)生對課程滿意度明顯上升，課程負(fù)責(zé)人近年教學(xué)班次學(xué)生評教平均98.7 分；調(diào)查問卷中87%的學(xué)生反饋編程實踐能力明顯增強；為學(xué)生學(xué)習(xí)空天飛行力學(xué)、飛行器總體設(shè)計等專業(yè)課程提供了更好的實踐基礎(chǔ)，真正架設(shè)了基礎(chǔ)課與專業(yè)課的橋梁。助力學(xué)生獲國際空間軌道設(shè)計大賽冠軍、國際數(shù)模競賽特等獎、載人月面著陸飛行器設(shè)計大賽特等獎和中國國際飛行器設(shè)計挑戰(zhàn)賽一等獎等。計算方法課程被評為2021 年湖南省線上線下混合式一流課程。

四、結(jié)論

針對計算方法課程課時緊張、教學(xué)內(nèi)容分支多及實踐內(nèi)容與航空航天工程領(lǐng)域結(jié)合不緊密等問題，課程教學(xué)團隊開展了線上線下混合式教學(xué)改革。通過競賽性實驗與在線測試激發(fā)學(xué)生興趣，促使學(xué)生追求優(yōu)秀；通過多維度全過程考核體系激勵學(xué)生開展實踐與自學(xué)；搭建SPOC 線上課堂，課內(nèi)強調(diào)重點與難點，課外拓展知識面，提高效率；建設(shè)貫穿全程的航天案例體系，幫助學(xué)生構(gòu)建知識體系，貫徹學(xué)以致用?？傮w可概括為“基礎(chǔ)理論線下學(xué)，實踐能力線上練，知識延展線上研，航天案例穿針線”，在已完成的300 多名學(xué)生的教學(xué)中取得了良好的教學(xué)效果，可為相關(guān)課程的線上線下教學(xué)改革提供參考。

①https：//www.icourse163.org/learn/NEU-1002089009?tid=1450247479#/learn/announce.

②https：//www.icourse163.org/spoc/course/NUDT-1462396166.

③http：//202.197.9.198：8081/index.php.