“線性代數(shù)”課程思政元素挖掘的思維路徑

景元萍，許 超，魏 巍

（洛陽理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與物理教學(xué)部，河南 洛陽 471000）

引言

2020年6月，教育部印發(fā)了《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》，明確要求全面推進高校課程思政建設(shè)，深度挖掘高校各學(xué)科門類專業(yè)課程蘊含的思想政治教育資源。“線性代數(shù)”作為理工類本科各專業(yè)的一門公共基礎(chǔ)必修課，是一門非常重要的大學(xué)數(shù)學(xué)課程，在培養(yǎng)高素質(zhì)人才中越來越顯示出其獨特的、不可替代的重要作用。“線性代數(shù)”為構(gòu)建大學(xué)生的專業(yè)知識體系奠定了基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生科學(xué)地認識世界，其課程特點決定了其必然要遵循課程思政建設(shè)的教育要求。但是由于“線性代數(shù)”課程內(nèi)容抽象，不易理解，要想水乳交融地引入課程思政有一定的難度，因此目前針對“線性代數(shù)”教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法的思想政治教育探討并不多。筆者結(jié)合自己在“線性代數(shù)”課程思政建設(shè)過程中的探索與實踐，分析和探討了挖掘“線性代數(shù)”課程思政元素的思維路徑。

一、開展“線性代數(shù)”課程思政的必要性

（一）課程性質(zhì)的重要性決定課程思政建設(shè)的必要性

課程思政建設(shè)的基礎(chǔ)是課程?！熬€性代數(shù)”是學(xué)生在大學(xué)期間重要的基礎(chǔ)課之一，因此學(xué)生非常重視。課程本身應(yīng)用范圍廣泛，覆蓋自然學(xué)科和社會學(xué)科的各個方面，在處理高維問題時，課程中的向量空間和矩陣運算部分更是這些學(xué)科的理論基礎(chǔ)與基本工具。例如：在設(shè)計飛機時，工程師會使用三維建模和計算流體動力學(xué)，線性代數(shù)在這個過程中起到了關(guān)鍵作用，因為在研究飛機表面氣流時需要對大型的線性方程組進行反復(fù)求解。還有虛擬場景的設(shè)計與實現(xiàn)，涉及線性代數(shù)中的透視變換，圖像識別要用到矩陣變換、矩陣特征值等方面的知識，等等。由于線性代數(shù)與計算機的緊密結(jié)合，使得其在很多前沿領(lǐng)域中都會被作為基礎(chǔ)性的工具，應(yīng)用廣泛。在這門課程中開展思想政治教育，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)學(xué)生科技報國的家國情懷和使命擔(dān)當(dāng)，鼓勵學(xué)生努力進步是非常有必要的。

（二）廣泛的受益學(xué)生群體和恰當(dāng)?shù)恼n程時間節(jié)點是課程思政建設(shè)的優(yōu)勢

課程思政建設(shè)的成效在學(xué)生。“線性代數(shù)”課程是面對全校的理工科學(xué)生，教學(xué)受眾面廣，“線性代數(shù)”的教學(xué)時段為大二上學(xué)期，此階段學(xué)生年齡小，但是經(jīng)過大一階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)對大學(xué)生活有所了解，對于在陌生的生活環(huán)境中如何與同學(xué)相處、在更為自由的學(xué)習(xí)環(huán)境下如何把握自己、在沒有家長的情況下遇到事情如何處理等問題已逐漸形成了自己的認知。作為“網(wǎng)絡(luò)原住民”的一代，突出個性、種類繁多的新媒體無時無刻不在影響著學(xué)生的思考和判斷，所以大二上學(xué)期是一個關(guān)鍵時期，尤其需要教師適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)，因此在這個時間節(jié)點開展課程思政教育是必要且重要的。

（三）課程思政建設(shè)能夠促進教師教育教學(xué)水平的提升

課程思政建設(shè)的關(guān)鍵在教師。在課程思政建設(shè)中，“課程”與“思政”的關(guān)系應(yīng)當(dāng)是“如春在花，如鹽入味”而非“眼中金屑，米中摻沙”。要達到潤物無聲的隱性思想政治效果，就需要教師深入、系統(tǒng)、精準地挖掘和梳理“線性代數(shù)”課程中蘊含的課程思政內(nèi)容，因此教師必須通曉課程的發(fā)展歷史，厘清授課知識體系的來龍去脈；注重知識點的提煉和升華，能夠講出其背后的數(shù)學(xué)思想；關(guān)注前沿動態(tài)，注重傳統(tǒng)知識點與前沿知識的結(jié)合。所以，課程思政建設(shè)從另外一個角度對教師的教育教學(xué)水平提出了更高的要求，能夠有效促進教師教育教學(xué)水平的提升，因此開展課程思政建設(shè)是極其必要的。

二、“線性代數(shù)”課程挖掘思政元素的思維路徑

（一）“線性代數(shù)”與馬克思主義哲學(xué)

從馬克思主義哲學(xué)切入，深入挖掘思政元素，樹立學(xué)生的辯證唯物主義和科學(xué)方法論。數(shù)學(xué)是一門客觀、嚴謹?shù)淖匀豢茖W(xué)，很多概念和方法都體現(xiàn)了豐富的唯物論和辯證法的哲學(xué)思想及科學(xué)方法論。例如，在學(xué)習(xí)“二次型化為標準型的過程”時，教師可以引出“對立和統(tǒng)一”的辯證關(guān)系。切入點：二次型化為標準型的過程中對二次型做各種變換得到的標準型從形式上來看往往有很大差異，表現(xiàn)出形式上的對立性；從本質(zhì)上來看對二次型進行變換，將問題簡單化，把不一樣的形式統(tǒng)一成一個規(guī)范型，利于分析問題的本質(zhì)，便于問題的解決。同時，標準型中正負項的個數(shù)保持一致，即正定性保持不變，從而在幾何形態(tài)上表示同一種類型，體現(xiàn)了實質(zhì)上的統(tǒng)一性?！熬€性代數(shù)”課程中還有很多概念，如方程組的有解和無解、向量組的相關(guān)與不相關(guān)、矩陣的可逆與不可逆、方陣的可對角化與不可對角化都可以認為是對立和統(tǒng)一的結(jié)合。由于對立所以能由此及彼，又因統(tǒng)一所以能互為利用，構(gòu)成了線性代數(shù)層次清晰、內(nèi)容豐富的知識體系。在學(xué)習(xí)“矩陣的秩”時，教師可以引出“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”的哲學(xué)思想。切入點：矩陣的秩為排除矩陣中冗余信息后，真正起作用的列向量的個數(shù)。計算秩的目的不在于數(shù)字本身，而在于洞察其背后的意義。在學(xué)習(xí)“向量組的極大線性無關(guān)組”時，教師可以引入“抓住主要矛盾”的哲學(xué)思想。切入點：只要找出向量組的極大線性無關(guān)組，就能夠把握該向量組的核心特征。從這個意義上來講，尋求向量組的極大線性無關(guān)組充分體現(xiàn)了唯物辯證法中抓住主要矛盾的哲學(xué)思想。教育學(xué)生在面對復(fù)雜的問題時，首先要抓住主要矛盾，把它作為解決一切矛盾的根本點和出發(fā)點。在學(xué)習(xí)“矩陣的分塊法”時，教師可以引出“笛卡爾方法論”。切入點：矩陣太大時，不適合存儲在高速計算機內(nèi)存中，將矩陣分塊進行矩陣運算更有效，好比將一頭豬放入冰箱，不好放，但分成若干小塊再放則容易得多，這與積分思想也有共通之處，這就是“笛卡爾方法論”：將研究的復(fù)雜問題，盡量分解為多個比較簡單的小問題，一個一個地分開解決。在學(xué)習(xí)“n階行列式的定義式”時，教師可以引入“不能產(chǎn)生思維定式”的科學(xué)方法論意義。切入點：一、二、三階行列式均有對角線法則，四階及以上不滿足對角線法則；類似的一、二、三維空間在現(xiàn)實中均有對應(yīng)，但四維及以上無現(xiàn)實對應(yīng)；漢字一、二、三、四不再用堆疊的橫線表示。教育學(xué)生做事情要打破思維定式，具備質(zhì)疑精神和創(chuàng)新精神。

（二）“線性代數(shù)”與人生觀、價值觀

從數(shù)學(xué)知識點切入，挖掘思政元素，樹立學(xué)生正確的人生觀、價值觀。從“線性代數(shù)”的具體知識點出發(fā)，提煉數(shù)學(xué)思想，將講授的內(nèi)容上升到哲學(xué)層面，實現(xiàn)與德育教育的連接，在傳授知識的同時塑造價值觀。例如，在講解定理“若向量組A可以由向量組B線性表出，則R（A）≤R（B）”時，提煉其中的數(shù)學(xué)思想：定理說明，不論向量組A與B自身是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，用秩的觀點來看，向量組的本質(zhì)只能以多生少。再升華進行德育教育：從秩的觀點來看，向量組的本質(zhì)只能以多生少，不能以少生多，自然界里也沒有點石成金、化水為油的捷徑，我們只能厚積薄發(fā)，注重充實自我，不斷積累，儲備永遠要比輸出多。在講解向量空間時，可以引入關(guān)于青蛙的寓言故事，說明討論高維空間的必要性。切入點：一只待在平面里的青蛙，待久了，就以為世界只有平面這么大，不會了解到還有立體事物的存在。在講解極大線性無關(guān)組的概念“線性空間中擁有向量個數(shù)最多的線性無關(guān)向量組”時，指出一個向量組的極大線性無關(guān)組是其本質(zhì)的部分，對許多問題的研究起著非常重要的作用。教育學(xué)生要做極大線性無關(guān)組式的人物，發(fā)揮關(guān)鍵的作用，并且不會被取代。

（三）“線性代數(shù)”與數(shù)學(xué)發(fā)展史

從數(shù)學(xué)發(fā)展史切入，挖掘思政元素，引出中國歷史文化，樹立民族自豪感、文化自信和責(zé)任感。例如，在講解矩陣、矩陣的初等變換及線性方程組理論時，教師可以介紹數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》。切入點：《九章算術(shù)》是我國古代經(jīng)典的數(shù)學(xué)著作之一，成于公元一世紀左右，其中的“方程”部分針對線性方程組提出了分離系數(shù)的表示方法，體現(xiàn)了現(xiàn)在的矩陣思想，同時使用直除法求解線性方程組，這與初等變換方法本質(zhì)上是一致的，是世界上最早的完整的線性方程組的解法。而西方是在行列式的概念由萊布尼茨正式提出后，在18世紀由克萊姆給出了求解完整的線性方程組的解法法則（克萊姆法則）。真正利用矩陣的思想方法求解線性方程組，是在19世紀，高斯消元法由數(shù)學(xué)家高斯命名，由拉布扎比·伊丁特改進，發(fā)表于法國，此時矩陣思想若隱若現(xiàn)，后來英國數(shù)學(xué)家凱萊首次正式提出矩陣的概念，并系統(tǒng)地對矩陣和矩陣的乘積進行了探究，在此之后矩陣才作為一種數(shù)學(xué)研究工具得以推廣和完善，并由英國數(shù)學(xué)家史密斯和道奇森進一步應(yīng)用于線性方程組的求解。在講二三階行列式的定義時，可以用《孫子算經(jīng)》中的“雞兔同籠”問題，引出二三階行列式的定義。通過上述案例，在弘揚中國文化的基礎(chǔ)上，增強學(xué)生的文化自信心和民族自豪感，同時要教育學(xué)生注意到早期中國數(shù)學(xué)的輝煌與近代中國數(shù)學(xué)的沒落，激起他們的民族責(zé)任感。在導(dǎo)言課程中，可以向?qū)W生講解線性代數(shù)中“代數(shù)”二字的譯文來源：1859年，我國數(shù)學(xué)家李善蘭首次把“algebra”譯成“代數(shù)”。李善蘭是我國近代著名數(shù)學(xué)家，在那個戰(zhàn)亂紛繁、時事動蕩的年代，能夠堅持翻譯《幾何原本》《代數(shù)學(xué)》《代微積拾級》等數(shù)學(xué)書籍，在傳播近代科學(xué)特別是數(shù)學(xué)知識方面起到了非常重要的作用。教育學(xué)生學(xué)習(xí)李善蘭先生的自律性和個人意志，以及不為外界環(huán)境左右的心性。

（四）“線性代數(shù)”與科學(xué)家的故事

從科學(xué)家故事切入，挖掘思政元素，引出國家意識，樹立愛國主義情懷，歌頌自強不息的精神。介紹數(shù)學(xué)家勵志的人生經(jīng)歷和輝煌學(xué)術(shù)成就，以榜樣激勵學(xué)生不斷努力，培養(yǎng)學(xué)生追求真理、勇于探索、堅持不懈的科學(xué)精神。例如，在講解“矩陣乘法和逆矩陣”時，我們通常會引入矩陣在信息加密中的應(yīng)用（密碼學(xué)），此時可以介紹我國著名密碼學(xué)家、山東大學(xué)的王小云院士。切入點：王小云院士默默耕耘于密碼學(xué)一線，破譯世界兩大頂級密碼，讓中國人從此揚眉吐氣。上課時也可以穿插介紹無心功名、潛心研究的俄羅斯數(shù)學(xué)家佩雷爾曼；學(xué)有所成后，回國為祖國培養(yǎng)新一代數(shù)學(xué)人才的華羅庚；癡迷數(shù)學(xué)默默無聞半輩子，最終做出重大數(shù)學(xué)突破的華裔數(shù)學(xué)家張益唐；以及陳省身、丘成桐等華裔數(shù)學(xué)家的故事。既增加了課堂趣味，又進行了隱性思想政治教育。

（五）“線性代數(shù)”與實際案例

從實際案例的背景出發(fā)，挖掘思政元素，厚植愛國主義情懷，增強科技自信。例如，講解計算行列式的方法時，介紹我國超級計算機的發(fā)展，樹立科技自信。切入點：直接利用按行（列）展開通過計算代數(shù)余子式計算行列式的值不可行，對于一個25×25階的行列式，其代數(shù)余子式展開需要超過25!≈1.5×10次乘法運算，若超級計算機每秒完成1萬億次乘法運算，利用這種方式需要運行50萬年，可以展開介紹一下我國的“神威·太湖之光”超級計算機，速度高達每秒9.3億億次。在講解矩陣乘法時，可以用地震救災(zāi)物資運輸問題作為引例，厚植愛國主義情懷。切入點：制作這個例子的課件時，可以用“5·12汶川地震”或者2021年7月鄭州特大暴雨洪災(zāi)等相關(guān)圖片作為配圖，體現(xiàn)中華兒女一方有難、八方支援的優(yōu)良傳統(tǒng)，這樣即便我們不去特意展開，學(xué)生也會自然感受到中華兒女萬眾一心的精神。也可以用交通網(wǎng)絡(luò)問題作為引例，制作課件時用中國高鐵線路圖作為配圖，讓學(xué)生通過感受中國高鐵的發(fā)展，激發(fā)民族自豪感。以某課程平時成績的計算為引例，不但有助于學(xué)生對矩陣乘法的理解，而且可以在求解過程中引導(dǎo)學(xué)生端正學(xué)習(xí)態(tài)度，重視過程學(xué)習(xí)。在講解向量組的線性相關(guān)性時，可以用在新冠肺炎疫情防控期間中醫(yī)藥治療時特效藥材的配比問題作為引例，介紹中醫(yī)藥在治療新冠肺炎中的重要作用，培養(yǎng)學(xué)生的愛國主義精神、創(chuàng)新精神、大局觀等。在《特征值與特征向量》這一章，可以在布置作業(yè)時進行社會主義核心價值觀的教育。切入點：給學(xué)生布置相對復(fù)雜的應(yīng)用型問題作業(yè)“動力系統(tǒng)與斑點貓頭鷹”，讓學(xué)生利用本章知識回答“政府是應(yīng)該出臺新的伐木限制措施，以避免斑點貓頭鷹的滅絕，還是繼續(xù)現(xiàn)有的伐木措施”，并嘗試從生態(tài)學(xué)的角度深入分析，思考習(xí)近平總書記的“兩山理論”，并以小論文的形式完成作業(yè)。

除以上方面外，還有很多可以挖掘思政元素的方面，例如克萊默法則、線性方程組的矩陣表達形式、對稱矩陣等概念和方法中都蘊含著數(shù)學(xué)的簡潔美、對稱美、形式美和奇異美，可以將線性代數(shù)與美學(xué)結(jié)合起來，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、欣賞和創(chuàng)造美的能力。另外，教師要言芳行潔、以身作則，這是最直接的課程思政。

結(jié)語

“線性代數(shù)”的課程思政建設(shè)較其他課程來講是相對困難的，只要基層教師能夠發(fā)揮主觀能動性，多讀、多看、多想，深入挖掘課程內(nèi)容和教學(xué)方法中的思政元素，“線性代數(shù)”的課程思政建設(shè)同樣能夠做好、做精，將正確的價值觀、人生觀植入學(xué)生心田，真正起到立德樹人與價值塑造的作用，與思想政治理論課同向同行，實現(xiàn)協(xié)同育人的目標。