萬曉英,陶雙平,楊東升
(1.西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 蘭州 730070; 2.國(guó)防科技大學(xué)信息通信學(xué)院公共基礎(chǔ)訓(xùn)練教研室,陜西 西安 710000)
設(shè)0≤α
(1)
(2)
近年來,變指標(biāo)函數(shù)空間上算子的有界性受到人們的廣泛關(guān)注[1-4]. 2015年, Tan-Liu 得到了TΩ,α在變指標(biāo)Lebesgue, Hardy和Herz型Hardy空間上的有界性[5]. 隨后,TΩ,α及其交換子[b,TΩ,α]在變指標(biāo)Morrey空間上的有界性由文獻(xiàn)[6]得到. 2021年, Shao-Tao 得到了變量核分?jǐn)?shù)次積分及其交換子在廣義消失變指標(biāo)Morrey空間上的加權(quán)估計(jì)[7]. 更多的結(jié)果可參見文獻(xiàn)[8-10]. 2020 年, Aykol-Badalov-Hasanov 證明了無界集上的位勢(shì)算子及其交換子在局部“互補(bǔ)”廣義變指標(biāo)Morrey空間上的有界性[11]. 受上面研究啟發(fā), 本文中將研究無界集上粗糙核分?jǐn)?shù)次積分TΩ,α及其交換子[b,TΩ,α]在局部“互補(bǔ)”廣義變指標(biāo)Morrey空間上的有界性.
設(shè)D?n,用(D)表示滿足下面條件的可測(cè)函數(shù)p(·)構(gòu)成的集合:
變指標(biāo)Lebesgue空間定義為:
其上的Luxemburg-Nakano范數(shù)為:
定義2[11]變指標(biāo)BMOp(·)(D)空間定義為:
定義3[12]設(shè)D?n,p(·)∈(D).如果存在常數(shù)C>0, 成立
(3)
(4)
定理1設(shè)D?n是一個(gè)無界開集,且n-1)(1
(5)
那么對(duì)任意的f∈Lp(·)(D),存在與f,x0和t無關(guān)的常數(shù)C>0, 使得
(6)
定理2設(shè)D?n是一個(gè)無界開集,如果非負(fù)可測(cè)函數(shù)ω1(r)和ω2(r)滿足條件
(7)
定理3設(shè)D?n是一個(gè)無界開集,且n-1)(1
(8)
那么對(duì)任意的f∈Lp(·)(D),存在與f,x0和t無關(guān)的常數(shù)C>0, 使得
(9)
定理4在定理3的條件下,如果非負(fù)可測(cè)函數(shù)ω1(r)和ω2(r)滿足
(10)
為了證明定理, 我們需要以下引理.
引理1[6]設(shè)D?n是一個(gè)無界開集,且則算子TΩ,α是從Lp(·)(D)到Lq(·)(D)上有界的.
引理2[13]設(shè)D?n是一個(gè)無界開集,p(x)滿足式(3), 且<∞.那么存在與x和r無關(guān)的常數(shù)C>0, 有
引理3[11]設(shè)D?n是一個(gè)無界開集,則范數(shù)‖·‖BMOp(·)(D)與‖·‖*是相互等價(jià)的, 其中‖·‖*為經(jīng)典有界平均振蕩空間BMO(D)的范數(shù), 即
則Mb是Lp(·)(n)上有界算子的充分必要條件是b∈BMO(n).
引理5[6]設(shè)b∈BMO(n),D?n是一個(gè)無界開集,且則[b,TΩ,α]是從Lp(·)(D)到Lq(·)(D)上有界算子, 即
[b,TΩ,α]f‖Lq(·)(D)≤C‖b‖*‖f‖Lp(·)(D).
引理6[15]設(shè)b∈BMO(D), 則
其中,C>0為與b,x,r和t無關(guān)的常數(shù).
則有
由引理1,
因此,
當(dāng)z∈B(x0,h)時(shí),有
因此, 由引理 2 得
綜合上面的估計(jì), 即完成了定理 1 的證明.
利用(7)式, 得到
即定理 2 得證.
有
由引理 5 可知
≤C‖b‖*‖f1‖Lp(·)(D)
因此,
=I1+I2.
先估計(jì)I1.由于
=H1+H2.
由引理2得
≤Chθm(x0,h)‖b‖*.
由定理 1 的證明, 有
因此,
結(jié)合H1,H2的估計(jì), 有
最后估計(jì)I2.由廣義H?lder不等式得
結(jié)合I1,I2的估計(jì),并利用引理 2 和引理 4, 得
綜合上面的估計(jì), 得
定理3證畢.
因此,利用條件(10)得
因此, 定理4得證.