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      粗糙核分?jǐn)?shù)次積分及其交換子在局部“互補(bǔ)”廣義變指數(shù)Morrey空間中的有界性

      2022-10-31 11:35:42萬曉英陶雙平楊東升
      關(guān)鍵詞:交換子互補(bǔ)無界

      萬曉英,陶雙平,楊東升

      (1.西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 蘭州 730070; 2.國(guó)防科技大學(xué)信息通信學(xué)院公共基礎(chǔ)訓(xùn)練教研室,陜西 西安 710000)

      0 引言

      設(shè)0≤α1)為n上的零階齊次函數(shù), 其中n-1表示n中的單位球面. 粗糙核分?jǐn)?shù)次積分定義為:

      (1)

      (2)

      近年來,變指標(biāo)函數(shù)空間上算子的有界性受到人們的廣泛關(guān)注[1-4]. 2015年, Tan-Liu 得到了TΩ,α在變指標(biāo)Lebesgue, Hardy和Herz型Hardy空間上的有界性[5]. 隨后,TΩ,α及其交換子[b,TΩ,α]在變指標(biāo)Morrey空間上的有界性由文獻(xiàn)[6]得到. 2021年, Shao-Tao 得到了變量核分?jǐn)?shù)次積分及其交換子在廣義消失變指標(biāo)Morrey空間上的加權(quán)估計(jì)[7]. 更多的結(jié)果可參見文獻(xiàn)[8-10]. 2020 年, Aykol-Badalov-Hasanov 證明了無界集上的位勢(shì)算子及其交換子在局部“互補(bǔ)”廣義變指標(biāo)Morrey空間上的有界性[11]. 受上面研究啟發(fā), 本文中將研究無界集上粗糙核分?jǐn)?shù)次積分TΩ,α及其交換子[b,TΩ,α]在局部“互補(bǔ)”廣義變指標(biāo)Morrey空間上的有界性.

      設(shè)D?n,用(D)表示滿足下面條件的可測(cè)函數(shù)p(·)構(gòu)成的集合:

      變指標(biāo)Lebesgue空間定義為:

      其上的Luxemburg-Nakano范數(shù)為:

      定義2[11]變指標(biāo)BMOp(·)(D)空間定義為:

      定義3[12]設(shè)D?n,p(·)∈(D).如果存在常數(shù)C>0, 成立

      (3)

      (4)

      1 主要結(jié)果

      定理1設(shè)D?n是一個(gè)無界開集,且n-1)(1

      (5)

      那么對(duì)任意的f∈Lp(·)(D),存在與f,x0和t無關(guān)的常數(shù)C>0, 使得

      (6)

      定理2設(shè)D?n是一個(gè)無界開集,如果非負(fù)可測(cè)函數(shù)ω1(r)和ω2(r)滿足條件

      (7)

      定理3設(shè)D?n是一個(gè)無界開集,且n-1)(1

      (8)

      那么對(duì)任意的f∈Lp(·)(D),存在與f,x0和t無關(guān)的常數(shù)C>0, 使得

      (9)

      定理4在定理3的條件下,如果非負(fù)可測(cè)函數(shù)ω1(r)和ω2(r)滿足

      (10)

      2 定理的證明

      為了證明定理, 我們需要以下引理.

      引理1[6]設(shè)D?n是一個(gè)無界開集,且則算子TΩ,α是從Lp(·)(D)到Lq(·)(D)上有界的.

      引理2[13]設(shè)D?n是一個(gè)無界開集,p(x)滿足式(3), 且<∞.那么存在與x和r無關(guān)的常數(shù)C>0, 有

      引理3[11]設(shè)D?n是一個(gè)無界開集,則范數(shù)‖·‖BMOp(·)(D)與‖·‖*是相互等價(jià)的, 其中‖·‖*為經(jīng)典有界平均振蕩空間BMO(D)的范數(shù), 即

      則Mb是Lp(·)(n)上有界算子的充分必要條件是b∈BMO(n).

      引理5[6]設(shè)b∈BMO(n),D?n是一個(gè)無界開集,且則[b,TΩ,α]是從Lp(·)(D)到Lq(·)(D)上有界算子, 即

      [b,TΩ,α]f‖Lq(·)(D)≤C‖b‖*‖f‖Lp(·)(D).

      引理6[15]設(shè)b∈BMO(D), 則

      其中,C>0為與b,x,r和t無關(guān)的常數(shù).

      則有

      由引理1,

      因此,

      當(dāng)z∈B(x0,h)時(shí),有

      因此, 由引理 2 得

      綜合上面的估計(jì), 即完成了定理 1 的證明.

      利用(7)式, 得到

      即定理 2 得證.

      由引理 5 可知

      ≤C‖b‖*‖f1‖Lp(·)(D)

      因此,

      =I1+I2.

      先估計(jì)I1.由于

      =H1+H2.

      由引理2得

      ≤Chθm(x0,h)‖b‖*.

      由定理 1 的證明, 有

      因此,

      結(jié)合H1,H2的估計(jì), 有

      最后估計(jì)I2.由廣義H?lder不等式得

      結(jié)合I1,I2的估計(jì),并利用引理 2 和引理 4, 得

      綜合上面的估計(jì), 得

      定理3證畢.

      因此,利用條件(10)得

      因此, 定理4得證.

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