“做”中感悟推理論證

文／王競(jìng)進(jìn)

第2章軸對(duì)稱圖形

組稿團(tuán)隊(duì)：江蘇省建湖縣王競(jìng)進(jìn)初中數(shù)學(xué)名師工作室

領(lǐng)銜人：王競(jìng)進(jìn)（正高級(jí)教師）

“軸對(duì)稱圖形”是蘇科版數(shù)學(xué)八（上）第2章的內(nèi)容。在小學(xué)階段，我們已經(jīng)了解了線段、角，認(rèn)識(shí)了等腰三角形、等邊三角形，進(jìn)入初中后，還學(xué)習(xí)了平行線、全等三角形，掌握了它們的概念、性質(zhì)和應(yīng)用，并發(fā)展了我們的思考和表達(dá)能力。對(duì)于本章內(nèi)容，我們?cè)撊绾芜M(jìn)行學(xué)習(xí)呢？接下來，我們來一起了解本章學(xué)習(xí)的整體思路，以期幫助同學(xué)們構(gòu)建完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

一、在“做”中感悟概念

本章的內(nèi)容包括軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形、軸對(duì)稱的性質(zhì)、設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案、線段與角的軸對(duì)稱性以及等腰三角形的軸對(duì)稱性，需要同學(xué)們親自體會(huì)、認(rèn)識(shí)并概括出它們的概念和基本性質(zhì)。比如，線段是軸對(duì)稱圖形，同學(xué)們往往不借助實(shí)踐操作，以為它的對(duì)稱軸只有這條線段的垂直平分線，但通過動(dòng)手操作，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它還有另外一條對(duì)稱軸，就是這條線段所在的直線；又如，我們沿著等腰三角形ABC（如圖1）頂角的角平分線AD進(jìn)行折疊，發(fā)現(xiàn)△ABD、△ACD是能夠完全重合的，進(jìn)而猜想、概括等腰三角形的性質(zhì)。

圖1

同學(xué)們?cè)凇白觥钡倪^程中，逐漸領(lǐng)悟本章的這些知識(shí)點(diǎn)。從知識(shí)結(jié)構(gòu)上來看，它們之間也是密切聯(lián)系、相輔相成的，是一個(gè)完整的、有機(jī)的整體。其關(guān)系可以用圖2表示，彰顯出數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求，讓我們從生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象抽象出生活中的軸對(duì)稱或軸對(duì)稱圖形，也使得我們經(jīng)歷了從特殊到一般的過程，感受類比思想和方法。

圖2

二、在論證中培養(yǎng)推理能力

教材在本章還安排了折紙、畫圖、猜想等多種形式的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓我們感受到軸對(duì)稱圖形的數(shù)學(xué)本質(zhì)。在經(jīng)歷實(shí)踐操作、猜想的過程中，我們進(jìn)行驗(yàn)證和恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)分析，證明自己發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是正確的，從而培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力以及邏輯推理能力。

例如，對(duì)于上述等腰三角形的性質(zhì)，應(yīng)用全等三角形的條件與性質(zhì)進(jìn)行如下的推理與證明。

如圖1，因?yàn)锳D=AD，∠BAD=∠CAD，AB=AC，所以△ABD≌△ACD（SAS），所以∠B=∠C，BD=CD。

三、在一題多解中提升思維品質(zhì)

等腰三角形的判定條件“有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形”，也就是如圖3，在△ABC中，∠B=∠C。那么，我們?nèi)绾巫C明AB=AC呢？

圖3

如圖4，我們可以作∠BAC的角平分線AD，也可以作中線AD，還可以作高線AD，都能夠得到△ABD≌△ACD，進(jìn)而得到AB=AC。其實(shí)，我們還可以根據(jù)其他三角形全等，證明AB=AC。如圖3，∠C=∠B，BC=CB，∠B=∠C，所以△ABC≌△ACB，所以AB=AC。

圖4

無論是在研究平行線的性質(zhì)與條件、全等三角形的性質(zhì)與條件，還是研究本章學(xué)習(xí)的軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)與條件時(shí)，我們都要能夠在“做”數(shù)學(xué)的過程中感悟方法、學(xué)會(huì)推理論證，養(yǎng)成善于思考、樂于反思的好習(xí)慣，不斷提升自己的思維品質(zhì)。