挖掘真題背景 把握命題方向
——對2011年浙江理數(shù)第21題和2021年全國甲卷第20題的一般性推廣

沈海全

(浙江省紹興市越州中學(xué) 312000)

2021年全國甲卷第20題解析幾何中三切線問題的出現(xiàn)感覺耳目一新但又似曾相識，與2011年浙江理數(shù)第21題有類似的背景和解法，筆者對這兩個問題進(jìn)行了深度挖掘并作了一般性推廣，為讀者在教學(xué)研究中提供一種思路.

1 真題呈現(xiàn)

真題1(2011年浙江理數(shù)第21題)如圖1所示，已知拋物線C1:x2=y，圓C2:x2+(y-4)2=1的圓心為點M.

圖1

(1)求點M到拋物線C1的準(zhǔn)線的距離；

(2)已知點P是拋物線C1上一點(異于原點)，過點P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A,B兩點，若過M，P兩點的直線l垂直于AB，求直線l的方程.

真題2(2021年全國甲卷第20題)拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，直線l:x=1交C于P，Q兩點，且OP⊥OQ.已知點M(2,0)，且⊙M與l相切.

(1)求C，⊙M的方程；

(2)設(shè)A1，A2，A3是C上的三個點，直線A1A2，A1A3均與⊙M相切.判斷直線A2A3與⊙M的位置關(guān)系，并說明理由.

2 試題解法

限于篇幅僅對真題2給出解法.

所以拋物線C的方程為y2=x.

因為⊙M與l相切，所以⊙M:(x-2)2+y2=1.

(2)設(shè)A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3).

(2)當(dāng)A1，A2，A3都不是坐標(biāo)原點時，直線A1A2的方程為x-(y1+y2)y+y1y2=0，

所以直線A2A3的方程為

令M(2,0)到直線A2A3的距離為d，則有

所以此時直線A2A3與⊙M相切.

綜上，直線A2A3與⊙M相切.

3 一般性推廣

兩題均以拋物線上的任一動點向定圓作切線為背景，都可采用同構(gòu)的思想來解決問題，但2021年全國甲卷第20題顯得更為特殊，第三條交點弦仍與圓相切，引起了筆者的思考，現(xiàn)將結(jié)論推廣到一般的拋物線和橢圓.

推廣1已知A1為拋物線C:y2=2px(p>0)上的動點，過點A1作⊙M:(x-4p)2+y2=4p2的兩條切線分別交拋物線C于A2，A3兩點，證明：直線A2A3與⊙M相切.

聯(lián)立直線A1A2與拋物線方程可得x=6p.

所以此時直線A2A3與⊙M相切.

(2)當(dāng)A1，A2，A3都不是坐標(biāo)原點時，設(shè)A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)，即x1≠x2≠x3，此時直線A1A2的方程為2px-(y1+y2)y+y1y2=0.

由直線A1A2與圓相切可得

所以直線A2A3的方程為

令M(4p,0)到直線A2A3的距離為d，則有

此時直線A2A3與⊙M相切.

綜上，直線A2A3與⊙M相切.

波利亞說：“要充分利用一般化、特殊化與類比在變更問題方面中的功能.通過對問題的觀察、猜測、推廣，體會數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，提高創(chuàng)造性思維能力.”因此筆者并不滿足于得到上述的推廣，而是繼續(xù)深入探索，利用類比的思想將結(jié)論進(jìn)一步推廣到橢圓，通過研究，發(fā)現(xiàn)橢圓也有如下完全類似的結(jié)論.

聯(lián)立直線A1A2與橢圓方程,得

所以此時直線A2A3與⊙M相切.

(2)當(dāng)A1，A2，A3都不是橢圓左、右頂點時，設(shè)A1(acosα,bsinα)，A2(acosβ,bsinβ)，A3(acosγ,bsinγ)，

整理,得

整理,得

(a+b)cosα(acosβ)+(a+b)sinα(bsinβ)+ab=0.

同理可得

(a+b)cosα(acosγ)+(a+b)sinα(bsinγ)+ab=0.

即A2(acosβ,bsinβ)，A3(acosγ,bsinγ)在直線(a+b)cosαx+(a+b)sinαy+ab=0上.

所以直線A2A3方程為

(a+b)cosαx+(a+b)sinαy+ab=0.

令O(0,0)到直線A2A3的距離為d，則有

此時直線A2A3與⊙M相切.

綜上，直線A2A3與⊙M相切.

證明同推廣2，限于篇幅不再贅述.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出：“數(shù)學(xué)教育承載著立德樹人的根本任務(wù)，發(fā)展素質(zhì)教育的功能，數(shù)學(xué)教育幫助學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必須的數(shù)學(xué)知識、技能、思想和方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界，促進(jìn)學(xué)生思維能力、實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展.”這對我們一線教師的專業(yè)水平提出了更高的要求，而深度研究高考真題，挖掘真題背景是提升教師專業(yè)素養(yǎng)、提高教學(xué)站位、準(zhǔn)確把握教學(xué)方向的重要途徑.