關(guān)注“平均變化率” 速解函數(shù)應(yīng)用問題

劉 瑛

(甘肅省隴南禮縣第一中學(xué) 742299)

隨著核心素養(yǎng)的提出，與圖象有關(guān)的函數(shù)應(yīng)用問題是近年高考數(shù)學(xué)的熱點，這類問題往往考查學(xué)生對函數(shù)自變量和因變量變化情況的分析能力，在解題中借助“平均變化率”達到簡潔求解之目的，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力以及數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識.

1 理論闡述

圖1 圖2 圖3

類似分析可得，圖2對應(yīng)“平均變化率”越來越小；圖3、圖4對應(yīng)“平均變化率”越來越大；圖5、圖6對應(yīng)“平均變化率”不變.

圖4 圖5 圖6

2 應(yīng)用舉例

圖7

“平均變化率”的特征比較明顯，學(xué)生易于掌握，教師引導(dǎo)學(xué)生明確上述圖形及其相關(guān)特點，在具體問題中應(yīng)該結(jié)合“平均變化率”的實際特點，將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為“平均變化率”問題，則求解此類相關(guān)問題即可達“事半功倍”之效.

2.1 具體求解，不涉及分類討論

例1 如圖7所示，現(xiàn)有一個計時漏斗，開始時盛滿沙子，沙子從上部均勻漏下，經(jīng)過5分鐘漏完，h(厘米)是該沙漏中沙面下降的高度，則h與下漏時間t(分鐘)的函數(shù)關(guān)系式用圖象表示應(yīng)該是( ).

圖8

評注結(jié)合所給實物圖形，理清整個實際變化過程是準確求解的切入點；其次，要注意學(xué)會觀察、分析給定的函數(shù)圖象.

牛刀小試1 某學(xué)生離家去學(xué)校，為了鍛煉身體，一開始跑步前進，跑累了再走余下的路程，現(xiàn)用縱軸表示離學(xué)校的距離，橫軸表示出發(fā)后的時間，則下列四個圖形中較符合該學(xué)生的走法的是( ).

圖9

化簡,得kx-y+k+1=0.

2.2 具體求解，涉及分類討論

例2如圖10所示，直角梯形ABCO中，AB∥OC，BC⊥OC,AB=1,OC=BC=2，直線l：x=t截此梯形所得位于l左方圖形的面積為S，則函數(shù)S=f(t)的圖象大致為( ) .

圖10

圖11

綜上，易知選項C正確.

圖12

圖13

綜上，易知選項D正確.

因此，使得不等式f(2a-3)

總之，從數(shù)形結(jié)合的角度，準確理解、掌握描述兩個變量之間的變化關(guān)系的量——“平均變化率”，可幫助我們順利求解以圖形為載體，考查有關(guān)函數(shù)的實際應(yīng)用問題，進而增強學(xué)生的識圖、用圖能力，有利于較好地培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力以及推理、判斷能力.